Les nombres complexes 2002

C. Lainé
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LES NOMBRES COMPLEXES _ PARTIE 2
Cours
Terminale S
Dans toute la suite de ce chapitre, le plan p est rapporté à un repère orthonormé direct
; ,O u v
.
1. Définition
Soit la fonction f :
cos sin
i
( étant un nombre réel).
cos sin
    if
est un nombre complexe ayant pour module 1 et pour
argument .
f
a pour module 1 et pour argument .
f
a pour module 1 et pour argument .
Alors
ff
a donc pour module 1 et pour argument , donc :
  f f f
.
De plus,
0 cos0 sin0 1 0 1    iif
.
La fonction f définie précédemment vérifie les propriétés d’une fonction exponentielle
étudiée en analyse ce qui conduit à la notation suivante :
Définition 1 : Pour tout réel , on a :
cos sin
i
ei
.
Remarque :
i
e
est le nombre complexe de module 1 et d’argument .
Exemples : Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants :
i
e
,
2
i
e
,
2 i
e
,
6
i
e
et
4
4
i
e
.
cos sin 1
i
ei
. Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler
(1707 ; 1783).
2cos sin
22
i
e i i
2cos 2 sin 2 1 i
ei
631
cos sin
6 6 2 2
i+e i i
422
4 4 cos sin 4 2 2 2 2
4 4 2 2
i++e i i i
2. Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Définition 2 : Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme
i z z e
où
est un argument de z.
Exemple :
6
3 2 cos sin 2
66
i
z i = i e

C. Lainé
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Application : Écrire sous la forme exponentielle les nombres suivants :
12zi
,
210z
et
6
33
 i
ze
.
122  zi
. On a alors
1
1
zi
z
.
Par suite, un argument de
1
z
est tel que
cos 0
sin 1
. On en déduit que
2
2
.
Par conséquent,
2
12
-i
ze
.
210 10  z
. On a alors
2
21
z
z
.
Par suite, un argument de
2
z
est tel que
cos 1
sin 0
. On en déduit que
2
.
Par conséquent,
210
i
ze
.
7
6
6 6 6
33 1 3 3 3
i
i i i
i
z e e e e e
3. Propriétés
Propriétés : Pour tous réels et , et pour tout entier naturel n :
i
ii
e e e
ii
i
ee
e
1
i
ie
e
n
i ni
ee
(formule de Moivre)
ii
ee
Démonstrations : Ce sont des conséquences des propriétés 3.
Remarques :  La formule de Moivre s’écrit aussi
cos sin cos sin
n
i n i n
.
 Si on pose
i ze
, on a
i ze
. On obtient donc :
cos Re 2
ii
ee
z
et
sin m 2
ii
i
ee
zI
. Ces formules sont appelées formules d’Euler.
 De la première propriété, on en déduit que
cos sin cos sin cos sin       i i i
.
D’où
cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin       ii
Par identification des parties réelles et imaginaires des deux membres, on obtient les
formules :
cos cos cos sin sin
et
sin cos sin sin cos
.
Par suite, en prenant , on obtient :
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
et
sin 2 2cos sin
.