R1 »la première boule tiré

TS DEVOIR MAISON no2correction
Exercice 1
Les questions 1et 2sont indépendantes
1. On note « R1»la première boule tirée est rouge, « N1»la première boule tirée est noire, « R2»la deuxième boule tirée
est rouge, « N2»la deuxième boule tirée est noire.
Arbre de probabilité :
R1
2/3
R2
2/3
N2
1/3
N1
1/3
R2
4/5
N2
1/5
a. p(R1∩R2) = 2
3×2 3=4 9
b. p(N2) = p(R1∩N2) + p(N1∩N2) = 2
3×1 3+1 3×1 5=13 45
c. pN2(R1) = p(N2∩R1)
p(N2)=
2
3×1 3
13
45
=10
13
2. Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 1.
Une urne contient quatre boules rouges et nboules noires indiscernables au toucher.
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque
tirage.
La variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale
de paramètres 4 et p.
a. p=4
n+ 4
b. L’événement contraire est : toutes les boules sont rouges.
Sa probabilité est : 4
n+ 4!4
Donc qn= 1 − 4
n+ 4!4
c. On cherche ntel que 1 − 4
n+ 4!4
>0,9999.
La calculatice donne n= 36
Exercice 2
1. a.
D
0,4
E1
0,7
E2
0,25
E2
0,75
E1
0,3
D
0,6

b. p(E1) = p(D ∩E1) = p(D) ×pD(E1) = 0,4×0,7 = 0,28.
c. p(F) = p(D) + p(D ∩E1) + p(D ∩E1∩E2) = 0,6 + 0,4×0,3 + 0,4×0,7×0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93.
2. a. Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d’être recruté égale
à 0,07. La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n= 5 et p= 0,07.
b. On a p(X = 2) = 5
20,072×0,933= 10 ×0,072×0,933≈0,039 à 10−3près.
3. On reprend ici la loi binomiale mais avec ncandidats chacun ayant une probabilité d’être recruté égale à 0,07.
La probabilité qu’aucun ne soit retenu est égale à : n
0×0,070×0,93n= 0,93n.
La probabilité qu’un au moins des ncandidats soit recruté est donc égale à 1 −0,93n.
On cherche ntel que : 1 −0,93n>0,999.
La calculatrice donne n= 96.
Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un
candidat.