EEXERCICE N°1(5points)

L.S.B.Amri Le 02/05/2009
Devoir de contrôle
Mrs : Sai-Riahi N03 Classes 4èmesc1&2
MATHEMATIQUES Durée : 2.h
Exercice 1(3 points) :
Pour chacun des trois questions, une seule des propositions est exacte.
Une réponse exacte (avec justification) rapporte un point, une réponse
inexacte enlève 0,5 point, l’absence de réponse est compté 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1) On considère l’équation différentielle avec condition initiale suivante
(E) :
1 1
'4 2
(0) 3
y y
y
−
= +
=
a) (E) admet pour solution : y :
1
4
2 5
x
x e
−
− + a
.
b) (E) admet pour solution : y :
1
4
1
2
x
x k e
−
+ a
.
c) (E) admet pour solution : y :
1
4
2
x
x e
−
+ a
.
2)
lim ( 1 )
x
x
x e
−
→ − ∞
+ +
est égale à :
a)
− ∞
b) 0 c)
+ ∞
3) Soit la fonction g définie sur
¡
par
( ) (3 2 )
x
g x x e
−
= −
.
Une primitive G de g sur
¡
est définie par :
a) G(x) =
(1 2 )
x
x e
−
−
.
b) G(x) =
(2 1)
x
x e
−
−
.
c) G(x) =
2
( 3 )
x
x x e
−
− +
Exercice 2 (7points) :
Soit la fonction f définie sur
] [
0,1
par
( ) ( )
1
x
f x Log x =−
.
(C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
( , , )O i j
r r
.
1) Montrer que le point I(
1
2
,0) est un centre de symétrie de (C).
2) Donner une équation de (C) au point I.
3) ) Etudier les variations de f.
4) Construire (C).

-1 1 3
_
1 _
5) Montrer que f réalise une bijection de
] [
0,1
sur
¡
.
6) Calculer
1
( )'(0)f
−
.
7) a) Calculer
1
( )f x
−
pour tout
.x ∈ ¡
b) Retrouver
1
( )'(0)f
−
.
Exercice 3 (6 points) :
Une urne contient quatre boules rouges et six boules noires.
1) On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne.
Calculer la probabilité des évènements :
A : « La première boule tirée est noire et les deux autres boules tirées
sont rouges ».
B « Obtenir une seule boule noire »
2) Soit E l’épreuve qui consiste à tirer simultanément trois boules de
l’urne.
On désigne L’évènement S : « obtenir une boule noire et deux boules
rouges ».
a) Montrer que :
3
P(S) 10 =
.
b) On répète l’épreuve E cinq fois de suite en remettant les trois boules
tirées dans l’urne après chaque tirage.
On désigne par X l’aléa numérique qui prend pour valeur le nombre de
fois où l’évènement S est réalisé.
Déterminer la loi de probabilité de X
c) Calculer
(1 2)P X ≤ ≤
.
Exercice 4(4 points) :
Soit Y une variable aléatoire dont sa fonction de répartition F est donnée
par le graphe ci-dessous :
1) Déterminer la loi de probabilité de Y.
2) Calculer
≥ P(Y 0)
.
3) Calculer E(Y) et
( )Y σ
.