Exercice C4 - XMaths

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Probabilités
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Exercices page 1 / 2
Exercice C4
1°) On peut traduire la situation par l'arbre de probabilités ci-dessous.
NB : Le tirage se faisant sans remise, après chaque boule tirée le nombre de boules restant dans l'urne
diminue d'une unité.
D'après cet arbre p(R
3
) = 1
2
x 4
9
x 3
8 = 1 2
x 1
9
x 3
2 = 1 2
x 1
3
x 1
2 donc p(R
3
) = 1
12 .
et p(R
2
) = 1
2
x 4
9
x 5
8 + 1 2
x 5
9
x 1
2 + 1 2
x 5
9
x 1
2 = 5 36 + 5 36 + 5 36 = 15 36 donc p(R
2
) = 5
12 .
2°) X est la variable aléatoire donnant le gain du joueur. On a X(Ω) = { 0 ; 45 ; 75 } .
Avec p(X = 45) = p(R
2
) = 5
12 et p(X = 75) = p(R
3
) = 1
12 .
Comme on sait que p(X = 0) + p(X = 45) + p(X = 75) = 1, on en déduit p(X = 0) = 1 - 5
12 - 1 12 = 1 2
La loi de probabilité de X est donnée par :
p(X = 0) = p(E) = 1
2 ; p(X = 45) = p(R
2
) = 5
12 ; p(X = 75) = p(R
3
) = 1
12 .
L'espérance mathématique de X est alors : E(X) = 0 x p(X = 0) + 45 x p(X = 45) + 75 x p(X = 75)
c'est-à-dire E(X) = 45 x 5
12 + 75
x 1
12 = 300 12 . Donc E(X) = 25 .
3°) a) La probabilité d'obtenir le Banco est la probabilité, d'avoir réalisé R
2
ou R
3
, puis de tirer une boule
verte parmi les 7 boules qui restent dans l'urne.
Sachant que R
3
est réalisé, il reste dans l'urne 2 boules rouges et 5 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 5
7 (les tirages sont supposés équiprobables).
Si on note B l'événement obtenir le "Banco", on a alors : p
R
3
(B) = 5
7 .
b) Sachant que R
2
est réalisé, il reste dans l'urne 3 boules rouges et 4 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 4
7 . Donc p
R
2
(B) = 4
7 .
c) Pour être qualifié pour le banco, il faut avoir réalisé R
3
ou R
2
. Donc B = (B∩R
3
) ∪ (B∩R
2
) .
Les événements (B∩R
3
) et (B∩R
2
) étant disjoints, on en déduit que p(B) = p(B ∩ R
3
) + p(B ∩ R
2
) .
En utilisant alors les probabilités conditionnelles, on obtient :
p(B) = p
R
3
(B) x p(R
3
) + p
R
2
(B) x p(R
2
) = 5
7
x 1
12 + 4 7
x 5
12 . Donc p(B) = 25 84 .
R
V
R
R
V
V
R
R
R
R
V
V
V
V
5
10 = 1 2
5
10 = 1 2
3
8
5
9
5
9
4
9
4
8 = 1 2
4
8 = 1 2
5
8
4
9
5
8
4
8 = 1 2
4
8 = 1 2
3
8

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Exercices page 2 / 2
d) Y est la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans le nouveau jeu. Y(Ω) = { 0 ; 30 ; 150 } .
Y prend la valeur 0 lorsque E est réalisé. Donc p(Y = 0) = p(E) = 1
2 .
Y prend la valeur 150 lorsque B est réalisé, donc p(Y = 150) = p(B) = 25
84 .
On sait que p(Y = 0) + p(Y = 30) + p(Y = 150) = 1, on en déduit p(Y = 30) = 1 - 1
2 - 25 84 = 17 84 .
La loi de probabilité de Y est donnée par : p(Y = 0) = 1
2 ; p(Y = 30) = 17 84 ; p(Y = 150) = 25 84 .
e) On a E(Y) = 0 x 1
2 + 30
x 17
84 + 150
x 25
84 = 4260 84 . Donc E(Y) = 355 7 .
On a E(Y) ≈ 50,71 .
L'espérance de Y est supérieure à celle de X, le deuxième jeu est plus intéressant .