Exercice C4 1°) On peut traduire la situation par l'arbre de probabilités ci-dessous. NB : Le tirage se faisant sans remise, après chaque boule tirée le nombre de boules restant dans l'urne diminue d'une unité. 4 9 R R 5 10 5 10 =1 5 9 2 = 5 9 1 2 V R 3 8 R 5 8 V 4=1 8 2 R 4=1 8 2 4=1 8 2 V R 4=1 8 2 V 5 8 R 3 8 V V 4 9 V D'après cet arbre p(R3) = 1 x 4 x 3 = 1 x 1 x 3 = 1 x 1 x 1 2 9 8 2 9 2 2 3 2 donc et p(R2) = 1 x 4 x 5 + 1 x 5 x 1 + 1 x 5 x 1 = 5 + 5 + 5 = 15 2 9 8 2 9 2 2 9 2 36 36 36 36 p(R3) = 1 . 12 donc p(R2) = 5 . 12 2°) X est la variable aléatoire donnant le gain du joueur. On a X(Ω) = { 0 ; 45 ; 75 } . Avec p(X = 45) = p(R2) = 5 et p(X = 75) = p(R3) = 1 . 12 12 Comme on sait que p(X = 0) + p(X = 45) + p(X = 75) = 1, on en déduit p(X = 0) = 1 - 5 - 1 = 1 12 12 2 La loi de probabilité de X est donnée par : p(X = 0) = p(E) = 1 ; p(X = 45) = p(R2) = 5 ; p(X = 75) = p(R3) = 1 . 2 12 12 L'espérance mathématique de X est alors : E(X) = 0 x p(X = 0) + 45 x p(X = 45) + 75 x p(X = 75) c'est-à-dire E(X) = 45 x 5 + 75 x 1 = 300 . Donc E(X) = 25 . 12 12 12 3°) a) La probabilité d'obtenir le Banco est la probabilité, d'avoir réalisé R2 ou R3, puis de tirer une boule verte parmi les 7 boules qui restent dans l'urne. Sachant que R3 est réalisé, il reste dans l'urne 2 boules rouges et 5 vertes. La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 5 (les tirages sont supposés équiprobables). 7 Si on note B l'événement obtenir le "Banco", on a alors : pR (B) = 5 . 3 7 b) Sachant que R2 est réalisé, il reste dans l'urne 3 boules rouges et 4 vertes. La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 4 . Donc pR (B) = 4 . 7 2 7 c) Pour être qualifié pour le banco, il faut avoir réalisé R3 ou R2. Donc B = (B∩R3) ∪ (B∩R2) . Les événements (B∩R3) et (B∩R2) étant disjoints, on en déduit que p(B) = p(B ∩ R3) + p(B ∩ R2) . En utilisant alors les probabilités conditionnelles, on obtient : p(B) = pR (B) x p(R3) + pR (B) x p(R2) = 5 x 1 + 4 x 5 . Donc p(B) = 25 . 3 2 7 12 7 12 84 http://xmaths.free.fr TS − Probabilités − Exercices page 1 / 2 d) Y est la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans le nouveau jeu. Y(Ω) = { 0 ; 30 ; 150 } . Y prend la valeur 0 lorsque E est réalisé. Donc p(Y = 0) = p(E) = 1 . 2 Y prend la valeur 150 lorsque B est réalisé, donc p(Y = 150) = p(B) = 25 . 84 On sait que p(Y = 0) + p(Y = 30) + p(Y = 150) = 1, on en déduit p(Y = 30) = 1 - 1 - 25 = 17 . 2 84 84 1 17 La loi de probabilité de Y est donnée par : p(Y = 0) = ; p(Y = 30) = ; p(Y = 150) = 25 . 2 84 84 1 17 25 4260 355 e) On a E(Y) = 0 x + 30 x + 150 x = . Donc E(Y) = . 2 84 84 84 7 On a E(Y) ≈ 50,71 . L'espérance de Y est supérieure à celle de X, le deuxième jeu est plus intéressant . http://xmaths.free.fr TS − Probabilités − Exercices page 2 / 2