Loi binomiale correction

Mathématique première STG lycée le Rebours
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Loi binomiale correction
1) Exercices avec arbre
Exercice 1
a) sur le graphe les événements sont
G : le dé tombe sur le « six »
P : le dé tombe sur un autre n°
b) p(x = 0) = 3
4 ×3 4 = 9 16 = 0,5625
p(x = 1) = 1
4 ×3 4 + 3 4 ×1 4 = 3 8 = 0,375
P(x = 2) = 1
4 ×1 4 = 1 16 = 0,0625
c) Cette expérience est une loi binomiale B(2 ; 0,25)
x = n ×p = 2×0,25 = 0,5
d) Si le dé était bien équilibré on aurait une loi binomiale b ( 2 ;
1
6
)
Soit X’ la variable aléatoire dans le cas d’un dé bien équilibré
La probabilité de tomber deux fois de suite sur le « six » est :
p(x’ = 2) = 1
6 ×1 6 = 1 36 ≈ 0,028
Le tricheur double ses chances de faire deux « six » de suite, 6 chances sur 100 de faire un double « six » contre à peine 3 chances sur
100 avec un dé bien équilibré
Exercice 2
Sur les 8 secteurs, 3 seulement sont gagnant. La probabilité de gagner en jouant une
fois est :
a) p = p(G) = 3
8 et celle de perdre q = p(P) = 5 8
c) Pour faire les calculs il est astucieux de remarquer que toutes les branches
correspondant à la même valeur de X ont la même probabilité
Il y a trois branches qui arrivent en x = 1. il suffit donc de multiplier par 3 la
probabilité d’une des trois branche : 3
4
P(x ≥ 1) = 3 × 3
8 × 5 8 × 5 8 = 225 512 ≈ 0,44
Exercice 3
a) Soit R l’événement la boule rouge est tirée et N l’événement, la boule noire est tirée
pour deux boules rouges il y a une boule noire
p = p(R) = 2
3 et q = p(N) = 1
3
c) P(x = 0) =
1
3
3
= 1
27
Pour p( x= 1) et p(x = 2) on utilise la même méthode que dans l’exercice 2
P(x = 1) = 3 × 2
3 × 1
3× 1
3 = 2 9
Il en est de même pour x = 2
p(x = 2) = 3 × 2
3 × 1
3× 2
3 = 4 9
P(x = 3) =
2
3
3
= 4
27
x = 2
x = 1
x = 1
x = 0
x = 3
x = 2
x = 2
x = 2
x = 1
x = 1
x = 1
x = 0
x = 3
x = 2
x = 2
x = 2
x =1
x =1
x =1
x =0

Mathématique première STG lycée le Rebours
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2) Exercices sans arbre
Exercice 4
La probabilité pour qu’un ticket soit perdant est
q = 1 – 5
100 = 0,95
La probabilité pour que les cinq billets soient perdants est :
p(x = 0) = p
5
= 0,95
5
p(x = 0) ≈ 0,77
Exercice 5
La probabilité pour qu’un dé tombe sur le « un » est :
P = 1
6 et donc q = 5 6
Pour calculer p(x ≥ 1) il faut d’abord calculer la probabilité de l’événement contraire p(x = 0)
p(x = 0) =
5
6
6
p(x ≥ 1) = 1 –
5
6
6
≈ 0,67
En lançant six fois un dé on a environ 67 chances sur 100 d’obtenir au moins un dé tombant sur « un »
Exercice 6
a) les billets de tombola suivent une loi binomiale B(3,p)
L’espérance de cette loi est
x = n × p = 0,12
On en déduit p
3×p = 0,12 ⇔ p = 0,12
3 = 0,04
Un billet a 4 chances sur 100 d’être gagnant
b) la probabilité pour que les trois billets soient gagnants est :
p(x = 3) = 0,04
3
≈ 0,000064 (environ 1 chance sur 15 000)
Exercice 7
a) Soit p la probabilité pour qu’une boule tirée soit rouge
p(x = 2) = p² = 0,64 ⇒ p = 0,64 = 0,8
b) tirer une boule blanche est le contraire de tirer une boule rouge
q = 1– p = 1 – 0,8 = 0,2
c) Comme p = 0,8 alors on a :
Nombre de boules rouges : 0,8×20 = 16
L’urne contient 16 boules rouges et 4 boules blanches
Exercice 8
De x = n × p on déduit p
4×p = 3 ⇔ p = 3
4 ⇒ q = 1
4
Connaissant q on peut en déduire p(x = 0)
p(x = 0) =
1
4
4
p( x ≥1) est le contraire de p(x = 0)
p(x ≥ 1) = 1 –
1
4
4
≈ 0,996