Loi binomiale correction

Loi binomiale correction
1) Exercices avec arbre
Exercice 1
x=2
a) sur le graphe les événements sont
G : le dé tombe sur le « six »
P : le dé tombe sur un autre n°
3 3 9
= 0,5625
b) p(x = 0) = × =
4 4 16
1 3 3 1 3
p(x = 1) = × + × = = 0,375
4 4 4 4 8
1 1 1
P(x = 2) = × = = 0,0625
4 4 16
x=1
x=1
c) Cette expérience est une loi binomiale B(2 ; 0,25)

x = n ×p = 2×0,25 = 0,5
x=0
d) Si le dé était bien équilibré on aurait une loi binomiale b(2 ; 1 )
6
Soit X’ la variable aléatoire dans le cas d’un dé bien équilibré
La probabilité de tomber deux fois de suite sur le « six » est :
1 1 1
≈ 0,028
p(x’ = 2) = × =
6 6 36
Le tricheur double ses chances de faire deux « six » de suite, 6 chances sur 100 de faire un double « six » contre à peine 3 chances sur
100 avec un dé bien équilibré
Exercice 2
x=3
Sur les 8 secteurs, 3 seulement sont gagnant. La probabilité de gagner en jouant une
fois est :
5
3
et celle de perdre
q = p(P) =
a) p = p(G) =
8
8
x=2
x=2
c) Pour faire les calculs il est astucieux de remarquer que toutes les branches
correspondant à la même valeur de X ont la même probabilité
x =1
Il y a trois branches qui arrivent en x = 1. il suffit donc de multiplier par 3 la
3
probabilité d’une des trois branche :
4
P(x ≥ 1) = 3 ×
x=2
3 5 5 225
× × =
≈ 0,44
8 8 8 512
x =1
x =1
x =0
Exercice 3
a) Soit R l’événement la boule rouge est tirée et N l’événement, la boule noire est tirée
pour deux boules rouges il y a une boule noire
2
p = p(R) =
et
q = p(N) = 1
3
3
3
1
1
c) P(x = 0) =   =
3 27
Pour p( x= 1) et p(x = 2) on utilise la même méthode que dans l’exercice 2
2
1 2
P(x = 1) = 3 × × 1× =
3 3 3 9
Il en est de même pour x = 2
2
2 4
p(x = 2) = 3 × × 1× =
3 3 3 9
3
4
P(x = 3) = 2 =
3 27
x=3
x=2
x=2
x=1
x=2
x=1
x=1
x=0
3
Mathématique
première STG
lycée le Rebours
2) Exercices sans arbre
Exercice 4
La probabilité pour qu’un ticket soit perdant est
5
q=1–
= 0,95
100
La probabilité pour que les cinq billets soient perdants est :
p(x = 0) = p5 = 0,955
p(x = 0) ≈ 0,77
Exercice 5
La probabilité pour qu’un dé tombe sur le « un » est :
1
5
P=
et donc q =
6
6
Pour calculer p(x ≥ 1) il faut d’abord calculer la probabilité de l’événement contraire p(x = 0)
5 6
p(x = 0) =  
6
5 6
p(x ≥ 1) = 1 –   ≈ 0,67
6
En lançant six fois un dé on a environ 67 chances sur 100 d’obtenir au moins un dé tombant sur « un »
Exercice 6
a) les billets de tombola suivent une loi binomiale B(3,p)
L’espérance de cette loi est

x = n × p = 0,12
On en déduit p
0,12
= 0,04
3×p = 0,12
⇔
p=
3
Un billet a 4 chances sur 100 d’être gagnant
b) la probabilité pour que les trois billets soient gagnants est :
p(x = 3) = 0,043 ≈ 0,000064 (environ 1 chance sur 15 000)
Exercice 7
a) Soit p la probabilité pour qu’une boule tirée soit rouge
p(x = 2) = p² = 0,64
⇒
p=
0,64 = 0,8
b) tirer une boule blanche est le contraire de tirer une boule rouge
q = 1– p = 1 – 0,8 = 0,2
c) Comme p = 0,8 alors on a :
Nombre de boules rouges : 0,8×20 = 16
L’urne contient 16 boules rouges et 4 boules blanches
Exercice 8

De x = n × p on déduit p
3
⇒
q=1
4
4
Connaissant q on peut en déduire p(x = 0)
1 4
p(x = 0) =  
4
p( x ≥1) est le contraire de p(x = 0)
1 4
p(x ≥ 1) = 1 –   ≈ 0,996
4
4×p = 3
4
⇔
p=
Mathématique
première STG
lycée le Rebours