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EPITA 2008 - mathématiques 2
(durée de l'épreuve : 2 heures)
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On considère dans ce problème un entier
et un polynôme à coefficients réels de degré p
et de coefficient dominant
PHXL=‚
k=0
p
ak Xk=Xp+ap-1 Xp-1+... +a1 X+a0.
1°) Evaluation du polynôme P en un réel x
On introduit les polynômes
et déterminer par récurrence l'expression de
est le quotient de la division euclidienne de
pour tout nombre réel x.
Ecrire un algorithme permettant d'obtenir
par la méthode précédente.
Combien cet algorithme nécessite-t-il d'opérations + et ä ?
2°) Recherche d'une racine réelle x du polynôme P
On considère deux nombres réels a et b (
PHanL PI1
ÅÅÅÅ
2
Han+bnLM §0.
PHanL PI1
ÅÅÅÅ
2
Han+bnLM >0.
a) Etablir que les suites
sont adjacentes.
b) Etablir, pour tout entier naturel n, qu'on a
En déduire que la limite commune x des suites
est racine de P.
c) Ecrire un algorithme permettant d'obtenir un encadrement de
Combien cet algorithme nécessite-t-il d'opérations + et ä ?
On se propose maintenant de localiser dans le plan complexe les racines du polynôme P,
afin de savoir dans quelle zone rechercher d'éventuelles racines de ce polynôme P.
On désigne à cet effet par
le nombre réel positif suivant :
M=max
0§k§p-1H†ak§L =maxH†ap-1§, ... , †a1§,†a0§L.
3°) Etude d'une fonction auxiliaire f
On considère la fonction f définie de
a) Déterminer l'unique zéro strictement positif
de sa dérivée.
Comparer les positions de
et 1 en fonction des positions de M et
b) On suppose M§1
ÅÅÅÅÅ
p. Dresser un tableau de variation de f pour r¥0.
En déduire le signe de fHrL pour r>1.
c) On suppose M>1
ÅÅÅÅÅ
p. Dresser un tableau de variation de f pour r¥0.
En déduire le signe de fHrL pour r¥M+1.