derivation-et-etude-des-fonctions-exercices-non-corriges-3

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Prof : IDRISSI Abdessamad
Dérivabilité et étude des fonction (série n°2)
2ème Année Bac
 Exercice 1 :. ........................................... ...............
 1ère partie :
Soit
f
la fonction numérique d'une variable réelle
x
définie par:
24xx
fx x
.
① - a - Déterminer
f
D
l'ensemble de définition de la fonction f .
b - Trouver les limites de f aux bornes des intervalles de l'ensemble de définition
f
D
.
② - Etudier les branches infinie de la courbe
f
C
.
③- Montrer que la courbe
f
C
admet un centre de symétrie
0,1
.
④- Etudier la dérivabilité de f en 2 à droite et interpréter le résultat géométriquement.
⑤- Calculer
'
fx
pour tout
f
xD
.
 2ème partie :
Soit
g
la fonction numérique d'une variable réelle
x
définie par :
2
; ; 2 2;
4 1 ; 2;2
g x f x x
g x x x
.
① - a - Déterminer
g
D
l'ensemble de définition de la fonction g .
b - Montrer que la restriction de
g
à l'intervalle
2;2
est une fonction paire.
② - Montrer que la fonction g est continue en 2 .
③- Etudier la dérivabilité de g en 2 à gauche et interpréter le résultat géométriquement.
④- Calculer
'
gx
pour tout
2;2x
.
⑤- Dresser le tableau de variation de g .
⑥- Tracer
g
C
dans un repère orthonormé
,,O i j
.
 3ème partie :
Soit
h
restriction de
g
à l'intervalle
2;
.
① - Montrer que la fonction
h
admet une fonction réciproque
1
h
définie sur un intervalle
J
à déterminer .
② - Montrer que la fonction
1
h
est dérivable sur J.
③- Dresser le tableau de variation de
1
h
.
④- Tracer
1
h
C
dans le repère
,,O i j
.
⑤- Calculer
1
: x J h x
.

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 Exercice 2 :. .. ........................................................
Soit
f
la fonction numérique d'une variable réelle
x
définie par:
2
312f x x x  
① - Déterminer
f
D
l'ensemble de définition de la fonction f, et calculer
lim
xfx
.
② - Calculer les limites suivantes et interpréter les résultats géométriquement :
1
lim 1
x
fx
x
et
1
lim 1
x
fx
x
et
2
lim 2
x
fx
x
.
③- a - Etudier la dérivabilité de la fonction f sur
1
f
D
.
b - Calculer
'
fx
pour tout
1
f
xD
.
c - Etudier les variations de f.
⑤- Etudier les branches infinie de la courbe
f
C
.
⑥- Tracer
f
C
dans un repère orthonormé
,,O i j
.( On prends
32 1,25
et
34 1,6
).
 Exercice 3 : ............................... ..........................
Soit
f
la fonction numérique d'une variable réelle
x
définie par:
3
1
11 f x x x
① - a - Déterminer
f
D
l'ensemble de définition de la fonction f .
b - Trouver les limites de f aux bornes des intervalles de l'ensemble de définition.
② - a - Montrer
d'équation
1yx
est une asymptote oblique à la courbe
f
C
au
voisinage de
.
b - Etudier les positions relatives de
f
C
et la droite
.
③- Etudier la dérivabilité de g en 0 à droite et interpréter le résultat graphiquement.
④- Calculer
'fx
pour tout
f
xD
, puis Dresser le tableau de variation de f.
⑤- Montrer que l'équation
0fx
admet une unique solution
tel que
27
22 8
.
⑥- Soit
g
restriction de
f
à l'intervalle
1;
.
a - Montrer que la fonction
g
admet une fonction réciproque
1
g
définie sur un
intervalle
J
que l'on déterminera .
b - Montrer que :
168g
.
c - Montrer que la fonction
1
g
est dérivable au point
06y
.
d - Calculer
1'6g
.
⑥- Tracer
f
C
,
1
g
C
et
dans un repère orthonormé
,,O i j
.