Statistiques II

Exercices
Lois de probabilités discrètes
Statistiques II
Alexandre Caboussat
[email protected]
Classe : Mardi 11h15 - 13h00
Salle : C110
http://campus.hesge.ch/caboussata
5 avril 2011
A. Caboussat, HEG
STAT II, 2011
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Exercices
Lois de probabilités discrètes
Exercice 2.12
Une enquête auprès de 100 couples mariés habitant une certaine ville
donne les résultats suivants :
nbre d'enfants (x) % des couples % des couples (avec x enfants)
où les deux conjoints travaillent
0
20
80
1
30
20
2 ou plus
50
10
Si on choisit au hasard un couple marié où les deux conjoints travaillent,
quelle est la probabilité qu'ils aient au moins un enfant?
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Exercice 2.13
Les pralinés vendus dans les boîtes ne sont pas tous totalement
recouverts de chocolat. Cela provient d'une des deux machines qui
recouvre les pralinés de chocolat. La machine A recouvre 40% des
pralinés, avec un taux de défaut de 2%. La machine B recouvre le reste
des pralinés, avec un taux de défaut de 1%.
1
2
Calculez la probabilité qu'un praliné ne soit pas totalement
recouvert de chocolat.
Quelle machine est le plus probablement en cause? (Justiez)
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Exercices
Lois de probabilités discrètes
Exercice 2.14
Le 30% des touristes d'une station hivernale reste plus de 2 semaines
dans la station. Les touristes étrangers représentent le 40% , dont la
moitié séjournent plus de 2 semaines. Si un touriste reste plus de 2
semaines, quelles est la probabilité qu'il soit étranger ?
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Lois de probabilités discrètes
Exercice 3.1
magasin
a
b
c
d
e
f
nombre de succursales
3
1
2
1
0
1
Soit X = le nombre de succursales d'un magasin choisi au hasard dans la
population.
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Lois de probabilités discrètes
Exercice 3.2
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Exercices
Lois de probabilités discrètes
Rappels
distribution de probabilité: p (x ) = P (X = x ) pour x ∈ X
fonction de répartition: F (x ) = P (X ≤ x ) pour x ∈ X
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
X
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X , notée
E(X ), est la valeur moyenne que l'on devrait obtenir si l'on observait un grand nombre de fois X . Elle correspond à la moyenne
de X dans la population.
L'espérance mathématique est dénie comme une moyenne
pondérée des modalités possibles de X :
Espérance mathématique de
E(X ) =
X
x ∈X
p (x ) x
On note µX l'espérance de X dans la population.
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance n'étant autre que la moyenne, elle possède également
la propriété de linéarité.
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance n'étant autre que la moyenne, elle possède également
la propriété de linéarité.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance n'étant autre que la moyenne, elle possède également
la propriété de linéarité.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (a · X ) = a · E (X ), où a est une constante (pas une variable
aléatoire)
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance n'étant autre que la moyenne, elle possède également
la propriété de linéarité.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (a · X ) = a · E (X ), où a est une constante (pas une variable
aléatoire)
On peut bien sûr combiner:
E (a · X + b · Y ) = a · E (X ) + b · E (Y ), où a et b sont des
constantes
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Lois de probabilités discrètes
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance n'étant autre que la moyenne, elle possède également
la propriété de linéarité.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (a · X ) = a · E (X ), où a est une constante (pas une variable
aléatoire)
On peut bien sûr combiner:
E (a · X + b · Y ) = a · E (X ) + b · E (Y ), où a et b sont des
constantes
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, on a
E (X · Y ) = E (X ) · E (Y )
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Variance d'une variable aléatoire
X
La variance d'une variable aléatoire X est dénie comme
l'espérance du carré de l'écart entre X et son espérance:
Variance de
Var(X ) = E (X − E(X ))2
=
=
X
x ∈X
X
x ∈X
p (x ) (x − µ)2
p (x ) x 2 − µ2
On note σX2 la variance de X dans la population.
L'écart-type σX de X est la racine carrée de la variance.
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Lois de probabilités discrètes
Variance d'une variable aléatoire
Prix des quotidiens:
x
2 FS 2.50 FS 3 FS
P (X = x ) 0.1
0.5
0.4
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Lois de probabilités discrètes
Variance d'une variable aléatoire
Prix des quotidiens:
x
2 FS 2.50 FS 3 FS
P (X = x ) 0.1
0.5
0.4
µX
= 0.1 · 2 + 0.5 · 2.5 + 0.4 · 3 = 2.65
σX2
= 0.1 · (2 − 2.65)2 + 0.5 · (2.5 − 2.65)2 + 0.4 · (3 − 2.65)2
= 0.1025
σX
=
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√
0.1025 = 0.3202
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Moments d'une distribution
Moments d'une distribution
Le moment d'ordre
E(X ) =
m
X
x
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m d'une distribution est déni par
x p(x )
m
∈X
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Lois de probabilités discrètes
Moments d'une distribution
Moments d'une distribution
Le moment d'ordre
E(X ) =
m
X
x
m d'une distribution est déni par
x p(x )
m
∈X
Le moment centré d'ordre
E [(X − E(X )) ] =
m
x
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m d'une distribution est déni par
X
(x − µ)
m
p(x )
∈X
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Lois de probabilités discrètes
Moments d'une distribution
Moments d'une distribution
Le moment d'ordre
E(X ) =
m
X
x
m d'une distribution est déni par
x p(x )
m
∈X
Le moment centré d'ordre
E [(X − E(X )) ] =
m
m d'une distribution est déni par
X
x
(x − µ)
m
p(x )
∈X
Il est également possible de dénir les moments d'une fonction g (X )
de la variable X en remplaçant x par g (x ) dans les formules ci-dessus.
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Lois de probabilités discrètes
Moments d'une distribution
Moments d'une distribution
Le moment d'ordre
E(X ) =
m
X
x
m d'une distribution est déni par
x p(x )
m
∈X
Le moment centré d'ordre
E [(X − E(X )) ] =
m
m d'une distribution est déni par
X
x
(x − µ)
m
p(x )
∈X
Il est également possible de dénir les moments d'une fonction g (X )
de la variable X en remplaçant x par g (x ) dans les formules ci-dessus.
Le moment d'ordre 1 d'une distribution est son espérance.
Le moment centré d'ordre 2 d'une distribution est sa variance.
L'indice d'asymétrie (skewness) est construit à partir du moment centré
d'ordre 3. L'indice d'aplatissement (kurtosis) est construit
à partir du moment centré d'ordre 4.
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
On s'intéresse à une suite de n épreuves aléatoires donnant lieu
chacune soit à un succès, soit à un échec.
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
On s'intéresse à une suite de n épreuves aléatoires donnant lieu
chacune soit à un succès, soit à un échec. Ces épreuves sont
homogènes (même probabilité de succès à chaque épreuve);
indépendantes.
Cela correspond à des tirages avec remises.
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
On s'intéresse à une suite de n épreuves aléatoires donnant lieu
chacune soit à un succès, soit à un échec. Ces épreuves sont
homogènes (même probabilité de succès à chaque épreuve);
indépendantes.
Cela correspond à des tirages avec remises.
A chaque épreuve est associée une variable aléatoire dichotomique
Xi , dite de Bernoulli, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en
cas d'échec.
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
On s'intéresse à une suite de n épreuves aléatoires donnant lieu
chacune soit à un succès, soit à un échec. Ces épreuves sont
homogènes (même probabilité de succès à chaque épreuve);
indépendantes.
Cela correspond à des tirages avec remises.
A chaque épreuve est associée une variable aléatoire dichotomique
Xi , dite de Bernoulli, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en
cas d'échec.
La probabilité de succès est notée p :
xi
0
1
p (xi ) (1 − p ) p
La probabilité p correspond à la proportion de la population
possédant la caractéristique étudiée.
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Les variables Xi sont iid: indépendantes, identiquement distribuées.
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Les variables Xi sont iid: indépendantes, identiquement distribuées.
Propriétés de Xi :
E(Xi ) = p
Var(Xi ) = (0 − p )2 (1 − p ) + (1 − p )2 p
= p (1 − p )
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Les variables Xi sont iid: indépendantes, identiquement distribuées.
Propriétés de Xi :
E(Xi ) = p
Var(Xi ) = (0 − p )2 (1 − p ) + (1 − p )2 p
= p (1 − p )
La variance maximale possible de Xi est égale à 0.25
et correspond à une probabilité p = 0.5:
Remarque:
p
p (1 − p )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.09
0.16
0.21
0.24
0.25
0.24
0.21
0.16
0.09
0
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Deux quantités peuvent être étudiées dans un processus binomial:
1
La variable aléatoire
un nombre xé
X
X
représentant le nombre de succès obtenus en
n d'épreuves aléatoires: X =
suit alors une loi binomiale de paramètres
n
X
X
i
i
=1
n et p:
X ∼ Bin(n, p)
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Deux quantités peuvent être étudiées dans un processus binomial:
1
La variable aléatoire
un nombre xé
X
X
représentant le nombre de succès obtenus en
n d'épreuves aléatoires: X =
suit alors une loi binomiale de paramètres
n
X
X
i
i
=1
n et p:
X ∼ Bin(n, p)
2
La variable aléatoire N représentant le nombre d'épreuves aléatoires
nécessaire pour obtenir un nombre xé x de succès.
N suit alors une loi binomiale négative de paramètres x et p:
N ∼ Binneg(x , p)
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Processus binomial
Deux quantités peuvent être étudiées dans un processus binomial:
1
La variable aléatoire
un nombre xé
X
X
représentant le nombre de succès obtenus en
n d'épreuves aléatoires: X =
suit alors une loi binomiale de paramètres
n
X
X
i
i
=1
n et p:
X ∼ Bin(n, p)
2
La variable aléatoire N représentant le nombre d'épreuves aléatoires
nécessaire pour obtenir un nombre xé x de succès.
N suit alors une loi binomiale négative de paramètres x et p:
N ∼ Binneg(x , p)
Dans le cas où
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x = 1, on parle de loi de Pascal de paramètre p:
N ∼ Pascal(p)
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Exemple: En 1990, 37.5% des femmes résidant en Suisse avaient
un emploi. Quelle est la probabilité que dans un échantillon de 5
femmes sélectionnées aléatoirement, il y en ait exactement 3 qui
aient un emploi?
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Exemple: En 1990, 37.5% des femmes résidant en Suisse avaient
un emploi. Quelle est la probabilité que dans un échantillon de 5
femmes sélectionnées aléatoirement, il y en ait exactement 3 qui
aient un emploi?
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de femmes ayant
un emploi parmi les 5.
n=5, p =0.375, x =3
X ∼ Bin(5, 0.375)
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Exemple: En 1990, 37.5% des femmes résidant en Suisse avaient
un emploi. Quelle est la probabilité que dans un échantillon de 5
femmes sélectionnées aléatoirement, il y en ait exactement 3 qui
aient un emploi?
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de femmes ayant
un emploi parmi les 5.
n=5, p =0.375, x =3
X ∼ Bin(5, 0.375)
Notre question est: que vaut P (X = 3)?
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Notons e pour un échec d'une épreuve aléatoire et s pour un succès
de celle-ci. Un résultat particulier de n épreuves successives se
présente donc sous la forme
s s e s e ...e s
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Notons e pour un échec d'une épreuve aléatoire et s pour un succès
de celle-ci. Un résultat particulier de n épreuves successives se
présente donc sous la forme
s s e s e ...e s
Les n épreuves aléatoires, dont la somme constitue la variable X
distribuée selon la loi binomiale, étant indépendantes, la probabilité
associée à une suite particulière de n épreuves aléatoires peut
s'écrire
P (ssese . . . es ) = p x (1 − p )n−x
où x est le nombre de succès et (n − x ) le nombre d'échecs.
A. Caboussat, HEG
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Notons e pour un échec d'une épreuve aléatoire et s pour un succès
de celle-ci. Un résultat particulier de n épreuves successives se
présente donc sous la forme
s s e s e ...e s
Les n épreuves aléatoires, dont la somme constitue la variable X
distribuée selon la loi binomiale, étant indépendantes, la probabilité
associée à une suite particulière de n épreuves aléatoires peut
s'écrire
P (ssese . . . es ) = p x (1 − p )n−x
où x est le nombre de succès et (n − x ) le nombre d'échecs.
Le problème consiste à dénombrer le nombre de situations
diérentes conduisant à un même nombre x de succès.
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Loi binomiale
Loi binomiale avec n = 3 et p =0.3.
résultat x
P (X = x )
P (X = x | p = 0.3)
eee
0
(1 − p )3
0.343
ees
ese
see
1
3p (1 − p )2
0.441
ess
ses
sse
2
3p 2 (1 − p )
0.189
3
p3
1
0.027
1
sss
Total
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Le nombre de combinaisons des x succès parmi les résultats des n
épreuves aléatoires est alors égal à
n
x
=
A. Caboussat, HEG
n!
x ! (n − x )!
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Le nombre de combinaisons des x succès parmi les résultats des n
épreuves aléatoires est alors égal à
n
x
=
n!
x ! (n − x )!
La distribution de probabilité d'une variable aléatoire X ∼ Bin(n, p )
s'écrit alors
P (X = x ) =
A. Caboussat, HEG
n
x
p x (1 − p )n−x
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Loi binomiale
Propriétés de
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X
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Loi binomiale
Propriétés de
X
µ = E(X ) = E
σ
2
" n
X
i =1
= Var(X ) = Var
=
n
X
i =1
A. Caboussat, HEG
#
Xi =
" n
X
i =1
Xi
n
X
i =1
E(Xi ) = np
#
Var(Xi ) = np (1 − p )
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Loi binomiale
Propriétés de
X
µ = E(X ) = E
σ
2
" n
X
i =1
= Var(X ) = Var
=
Remarque:
n
X
i =1
#
Xi =
" n
X
i =1
Xi
n
X
i =1
E(Xi ) = np
#
Var(Xi ) = np (1 − p )
La relation
variance de la somme = somme des variances
n'est vraie que parce que les variables Xi sont des variables
indépendantes.
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Exemple:
X ∼ Bin(5, 0.375)
E(X ) =
Var(X ) =
σX
=
P (X = 3) =
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Loi binomiale
Exemple:
X ∼ Bin(5, 0.375)
E(X ) = np = 1.875
Var(X ) = np (1 − p ) = 1.17
= 1.08
5
P (X = 3) =
0.3753 (1 − 0.375)2 = 0.206
σX
3
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Lois de probabilités discrètes
Loi binomiale
Exemple:
X ∼ Bin(5, 0.375)
E(X ) = np = 1.875
Var(X ) = np (1 − p ) = 1.17
= 1.08
5
P (X = 3) =
0.3753 (1 − 0.375)2 = 0.206
σX
3
La distribution de probabilité complète de X s'écrit
x
0
1
2
3
4
5
p (x ) 0.095 0.286 0.343 0.206 0.062 0.007
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Lois de probabilités discrètes
Exemple (exercice 2.15)
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