BAC BLANC

BAC BLANC
Exercice 1 : 6 points
Partie 1 : Etude d’une fonction f
1
On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I=]- ; + ∞ [ par f(x)=ln(1+2x)
2
1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I
1
2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers −
2
3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x)= f(x)-x
a. Etudier les variations de g sur l’intervalle I
b. Justifier que l’équation g(x)=0 admet deux solutions 0 et une autre, notée β,
appartenant à l’intervalle [1 ; 2]
c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I
4. Justifier que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;β[, f(x) appartient aussi à
]0 ;β[
Partie 2 : Etude d’une suite récurrente
On appelle ( U n ) n ≥ 0 , la suite définie par U n + 1 = f (U n ) et U 0 = 1
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
l’intervalle ]0 ;β[
2. Démontrer par récurrence que la suite ( U n ) n ≥ 0 est croissante
3. Justifier que la suite ( U n ) n ≥ 0 est convergente et déterminer sa limite
U n appartient à
Exercice 2 : 5 points
Pour les élèves ne faisant pas spécialité
r r
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; u; v ( unité graphique 1cm)
(
)
Soient A B et I les points d’affixes respectives 1+i, 3-i et 2
A tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’=z²-4z. Le point M’
est appelé image de M
1. Faire une figure et compléter cette figure tout au long de l’exercice
2. Calculer les affixes des points A’ et B’, images respectives des points A et B. Que
remarque-t-on ?
3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe -5
4. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, on a z’+4 = (z-2)²
b. En déduire une relation entre |z’+4|`et |z-2| et, lorsque z est différent de 2, une
relation entre arg(z’+4) et arg(z-2)
c. Que peut-on dire du point M’ lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2
π
5. Soient E le point d’affixe 2 + 2ei 3 , J le point d’affixe -4 et E’ l’image de E
r uur
a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle u; IE
r uuur
b. Calculer la distance JE’ et une mesure en radians de l’angle u; JE '
(
(
)
)
c. Construire à la règle et au compas le point E’ ; on laissera apparents les traits
de construction
Exercice 2 : 5 points
Pour les élèves faisant spécialité
r r
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; u; v
(
)
Soient A et B les points d’affixes respectives z A = 1 − i et z B = 7 +
7
i
2
1. On considère la droite (d) d’équation 4x+3y=1. Démontrer que l’ensemble des
points de (d) dont les coordonnées sont entières est l’ensemble des points
M k ( 3k + 1; − 4k − 1) lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs
2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui
transforme B en M − 1 ( − 2;3)
3. Soit s la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point
2
1 5
M’ d’affixe z ' = iz + − i . Déterminer l’image de A par s puis donner la
3
3 3
nature et les éléments caractéristiques de s
4. On donne B1 l’image de B par s et , pour tout entier naturel non nul,
Bn + 1 l'image de Bn par s
a. Déterminer la longueur ABn + 1 en fonction de ABn
b. A partir de quel entier n le point Bn appartient-il au disque de centre A et de rayon
10− 2
c. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont alignés
Exercice 3 : 4 points
On considère dans l’espace un cube de 3cm de côté, noté ABCDEFGH.
Soit I le barycentre des points pondérés (E ;2) et (F ;1), J celui de (F ;1) et (B ;2) et K celui de
(G ;2) et (C ;1)
On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note Δ cet ensemble.
1. Placer les points I, J et K sur le cube
2. Soit Ω le point de Δ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle
IJK ?
Pour la suite de l’exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant
1 uuur 1 uuur 1 uuur 

 A ; AD ; AB ; AE 
3
3
3


3. Donner les coordonnées des points I, J et K
4. Soit P(2 ;0 ;0) et Q(1 ;3 ;3) deux points qu’on placera sur la figure. Démontrer que la
droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK)
5. Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ;y ;z)
a. Démontrer que M appartient à l'ensemble Δ si et seulement si le triplet (x ;y ;z) est
solution de deux équations linéaires que l’on écrira. Quelle est la nature de Δ ?
b. Vérifier que P et Q appartiennent à Δ
6. a. Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne
de ce plan
b. Déterminer les coordonnées exactes de Ω
Exercice 4 : 2,5 points
Un chariot de masse 200kg se déplaceursur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis
à une force d’entraînement constante F de valeur 50N. Les forces de frottement sont
proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour
valeur absolue 25 N.m-1.s-1
La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l’origine O du
repère en fonction du temps t, exprime en secondes. On prendra t dans l’intervalle [0 ;+∞[.
Les lois de Newton conduisent à l’équation différentielle (E) : 25x’+200x’’= 50 où x’ est la
dérivée de x par rapport au temps t et x’’ est la dérivée seconde de x par rapport à t.
1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t, on rappelle que v(t)=x’(t).
Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x’ est solution de l’équation
1
1
différentielle (F) : v ' = − v + .
8
4
Résoudre l’équation différentielle (F)
2. On suppose que, à l’instant t=0, on a : x(0)=0 et x’(0)=0
a. Calculer pour tout nombre réel positif t, x’(t)
t
b. En déduire que l’on a, pour tout nombre réel positif t , x(t ) = 2t − 16 + 16e − 8
v(t ) . Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle
3. On note V = tlim
→ +∞
inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V ?
4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On
exprimera cette distance en mètres, au décimètre près
Exercice 5 : 2,5 points
Partie A : Question de cours
On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites ( U n ) et ( Vn ) sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est
décroissante et U n − Vn tend vers 0 quand n tend vers +∞
(2) si ( U n ) et ( Vn ) sont adjacentes telles que ( U n ) est croissante et ( Vn ) est décroissante
alors pour tout n appartenant à ¥ on a U n ≤ Vn
(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée
est convergente.
Démontrer la proposition suivante : « deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont
la même limite »
Partie B :
On considère une suite ( U n ) définie sur ¥ dont aucun terme n’est nul. On définit alors la
−2
suite ( Vn ) sur ¥ par Vn =
Un
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant rapidement
1. Si ( U n ) est convergente, alors ( Vn ) est convergente
2. Si ( U n ) est minoré par 2 alors ( Vn ) est minorée par -1
3. Si ( U n ) est décroissante alors ( Vn ) est croissante
4. Si ( U n ) est divergente, alors ( Vn ) e converge vers 0