Terminale S et S Lundi 27 Septembre 2010

Terminale S
1
et S
2
Lundi 27 Septembre 2010
CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES n°1 SUR LES COMPLEXES
EXERCICE 1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,
→
u ,
→
v) , on considère les points A et B d’affixes respectives 2
et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le point M′ d’affixe
z′ =
2
)2( − −
z
zz
.
1. a. Déterminer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe (1+i).
b. Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles.
c. Établir que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires.
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’ensemble des points tels que M’=M).
On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’image M′ d’un point M
quelconque du plan.
3. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre
2
2
−
−
z
z
est réel.
b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z′ +2
z −2 est réel.
c. Montrer que les droites (AM) et (BM′) sont parallèles.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c.
5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M′ image de M
par f. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i.
EXERCICE 2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,
→
u ,
→
v)
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a +bi où a et b sont deux nombre réels.
On note
z
, le nombre complexe défini par
z
= a −bi.
Questions
1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z′,
'
z
z
×
=
'
z
z
×
.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z,
(
)
n
n
zz = .
Partie B
On considère l’équation (E) : z
4
= −4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et
z
sont aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z
0
= 1+i.
a. Écrire le nombre complexe z
0
sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z
0
est solution de l’équation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
z
A
= 1+i ; z
B
= −1+i ; z
C
= −1−i et z
D
= 1−i.
Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure −π
3.
On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r.
1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r.
2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée z
E
, est égale à −1+ 3
b. Déterminer l’affixe z
F
du point F.
c. Démontrer que le quotient z
A
−z
E
z
A
−z
F
est un nombre réel.
d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?