dm complexes3
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M.Djaoui
dm complexes3
http://membres.lycos.fr/adj/
DM TS
Nombres complexes
Exercice I:
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct
(𝑂; 𝑢; 𝑣 ). On note F une transformation du plan P. Si
M(Z) est un point on note M’(Z’) l’image du point M
par F ; soit M’=F(M)…attention, il n’est pas écrit
de F. Construire les points
𝐴 −1 − 𝑖 , Ω 𝜔 , 𝐴′ = 𝐹(𝐴).
Z’=F(Z) !
1.Soit
𝐹:𝑀 𝑍 ⟶𝑀 ′ 𝑍 ′
𝑍 ′ =−2𝑍+3−6𝑖
𝐺:𝑀 𝑍 ⟶𝑀 ′ 𝑍 ′
2.Soit
1
3
3− 3
3− 3
𝑍 ′ = −2 +𝑖 2 𝑍+ 2 +𝑖 2
. Montrer
que G admet un point invariant que l’on notera S(s).
Déterminer l’affixe s de S. En déduire la nature de
G. Construire les points 𝐵 −1 + 𝑖 , 𝑆 𝑠 , 𝐵′ = 𝐺(𝐵).
. Montrer que F admet un
point invariant que l’on notera Ω(𝜔).
Déterminer l’affixe 𝜔 de Ω, Et montrer que
𝑍 ′ − 𝜔 = 𝑍 = −2(𝑍 − 𝜔). En déduire la nature
Exercice II:
Le plan P est rapporté au repère
orthonormal direct (𝑂; 𝑢; 𝑣 ). On considère des
points A,B,C deux à deux distincts dont les
affixes sont notés respectivement a ,b ,c .
1.ROC : Interpréter géométriquement les
𝑐−𝑎
𝑐−𝑎
nombres 𝑏−𝑎 et arg
(𝑏−𝑎 ) . En déduire que
2.Que peut-on dire du triangle ABC lorsque
𝑐−𝑎
𝜋
𝑐−𝑎
𝜋
= 𝑒 𝑖 3 ou 𝑏−𝑎 = 𝑒 −𝑖 3 .
𝑏−𝑎
3.Cas général :Etablir qu’un triangle est
équilatéral si et seulement si 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² =
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎.
Indication bizarre : 𝑍 =∝ 𝑜𝑢 𝑍 = 𝛽 ⇔
𝑍−∝ 𝑍 − 𝛽 = 0 ‼
4.Application : a.Soient les points A(1+i) ;
B(2+3i). Déterminer les points C1 et C2 tels
que ABC1 et ABC2 soient équilatéraux.
b.Construire ces triangles.
la relation
𝑐 − 𝑎 = 𝑒 𝑖𝜃 (𝑏 − 𝑎) signifie que C(c) est
l’image de B(b) par la rotation centre A(a) et
d’angle 𝜃.
Exercice III :
Partie I :
1.Résoudre dans ℂ les équations suivantes :
𝑎. 𝑍² − 2𝑍 + 4 = 0 𝑏. 𝑍² + 4𝑍 + 4 = 0 𝑐. 𝑍² + 6𝑍 +
4=0
2.On considère le polynôme à coefficients réels :
𝑃 𝑍 = 𝑍² − 𝑚𝑍 + 4 et on note (E) l’équation
𝑃(𝑍) = 0.
a.Montrer que 𝑃 𝑍 = 𝑃(𝑍). En déduire que
𝑠𝑖 𝑍0 𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑍0 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛.
b.Discuter suivant les valeurs prises par m, du
nombre de solutions de l’équation (E).
c.Déterminer les solutions de (E) lorsque 𝑚 <
−4; 𝑚 = 4; −4 < 𝑚 < 4 ; 𝑚 > 4
Exercice IV:
Partie II :
𝜃 ∈ [0; 2𝜋[
1.a.Exprimer 𝑐𝑜𝑠2𝜃 en fonction de 𝑐𝑜𝑠𝜃.
b.Résoudre dans ℝ l’ inéquation suivante :
2𝑐𝑜𝑠²𝜃 − 1 ≤ 0.
2.a. On note (E) l’équation 𝑍² − 2 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑍 + 1 = 0.
Pour quelles valeurs de 𝜃 (E) admet-elle une seule
solution réelle ? deux solutions réelles ? deux
solutions complexes conjuguées ?
𝜋
b.Pour quelles valeurs de 𝜃, 𝑒 𝑖 4 est-il solution de
(E) ?
Le plan P est rapporté au repère orthonormal
direct (𝑂; 𝑢; 𝑣 ). On placera les points et les figures
4.On note (F) l’ensemble des points M(Z) tels que Z’
soit imaginaire pur. Montrer que C0 appartient à (F).
Déterminer (F).
5.On note (G) l’ensemble des M(Z) tels que 𝑍′ = 1.
Déterminer (G).Montrer que C0 appartient à (G)
au fur et à mesure de l’exercice.
On note A(1) et B(2i). On considère l’application F
de P\{B} dans P vérifiant
𝐹:𝑀 𝑍 ⟶𝑀 ′ 𝑍 ′
𝑍 −1
𝑍 ′ =𝑍 −2𝑖
1.Déterminer l’affixe des images de O(0) et S(1+2i)
Déterminer l’affixe des antécédents respectifs C0
de C(i) et D0 de D(-1).
2.On pose 𝑍 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Déterminer la partie réelle et
la partie imaginaire de Z’.
3.On note (E) l’ensemble des points M(Z) tels que Z’
soit réel. Montrer que D0 appartient à (E).
Déterminer (E).
1
2
