dm complexes3

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M.Djaoui dm complexes3 http://membres.lycos.fr/adj/
DM TS
Nombres complexes
Exercice I:
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct
(; ;). On note F une transformation du plan P. Si
M(Z) est un point on note M’(Z’) l’image du point M
par F ; soit M’=F(M)… attention, il n’est pas écrit
Z’=F(Z) !
1.Soit :
=2+36 . Montrer que F admet un
point invariant que l’on notera ().
Déterminer l’affixe  de , Et montrer que
 ==2(). En déduire la nature
de F. Construire les points
1,,=().
2.Soit :
=1
2+3 2+33 2+33 2
. Montrer
que G admet un point invariant que l’on notera S(s).
Déterminer l’affixe s de S. En déduire la nature de
G. Construire les points 1 + ,,=().
Exercice II:
Le plan P est rapporté au repère
orthonormal direct (; ;). On considère des
points A,B,C deux à deux distincts dont les
affixes sont notés respectivement a ,b ,c .
1.ROC : Interpréter géométriquement les
nombres 
 et arg( ) . En déduire que
la relation
  =() signifie que C(c) est
l’image de B(b) par la rotation centre A(a) et
d’angle .
2.Que peut-on dire du triangle ABC lorsque
 =
3 ou 
 =
3.
3.Cas général :Etablir qu’un triangle est
équilatéral si et seulement si ² + ² + ² =
+ +.
Indication bizarre : =  = 
 = 0 
4. Application : a.Soient les points A(1+i) ;
B(2+3i). Déterminer les points C1 et C2 tels
que ABC1 et ABC2 soient équilatéraux.
b.Construire ces triangles.
Exercice III :
Partie I :
1.Résoudre dans  les équations suivantes :
.²2+ 4 = 0 . ² + 4+ 4 = 0 .² + 6+
4 = 0
2.On considère le polynôme à coefficients réels :
=² + 4 et on note (E) l’équation
() = 0.
a.Montrer que  =(). En déduire que
 0    0  .
b.Discuter suivant les valeurs prises par m, du
nombre de solutions de l’équation (E).
c.Déterminer les solutions de (E) lorsque <
4; = 4; 4 < < 4 ; > 4
Partie II :
  [0; 2[
1.a.Exprimer 2 en fonction de .
b.Résoudre dans  l’ inéquation suivante :
2² 10.
2.a. On note (E) l’équation ²22+ 1 = 0.
Pour quelles valeurs de  (E) admet-elle une seule
solution réelle ? deux solutions réelles ? deux
solutions complexes conjuguées ?
b.Pour quelles valeurs de , 
4 est-il solution de
(E) ?
Exercice IV:
Le plan P est rapporté au repère orthonormal
direct (; ;). On placera les points et les figures
au fur et à mesure de l’exercice.
On note A(1) et B(2i). On considère l’application F
de P\{B} dans P vérifiant
:
=1
2
1.Déterminer l’affixe des images de O(0) et S(1+2i)
Déterminer l’affixe des antécédents respectifs C0
de C(i) et D0 de D(-1).
2.On pose =+. Déterminer la partie réelle et
la partie imaginaire de Z’.
3.On note (E) l’ensemble des points M(Z) tels que Z’
soit réel. Montrer que D0 appartient à (E).
Déterminer (E).
4.On note (F) l’ensemble des points M(Z) tels que Z’
soit imaginaire pur. Montrer que C0 appartient à (F).
Déterminer (F).
5.On note (G) l’ensemble des M(Z) tels que = 1.
Déterminer (G).Montrer que C0 appartient à (G)

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