Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

x
y
ou
v
M(z)
A
B C
D E
F G
H
TS2 DEVOIR SURVEILLE N°3 (2h) J 24/09/11
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé!
Exercice 1 : ( 2 points)
Dans le plan complexe, on considère un point M d'affixe z.
Associer à chaque point du plan sur le dessin ci-dessous son affixe
Exercice 2 : ( 2 points)
Prérequis : on admet que pour tous nombres complexes z et z',
'.'. zzzz 
.
En utilisant ce prérequis, démontrer successivement que pour tous nombres complexes z et z' avec z 0,
on a :
z
z11 
et
z
z
z
z'' 
Exercice 3 : ( 3 points)
On considère la fonction P de la variable complexe z définie par : P(z) = 2z3 + 5z2 + 14z – 39
1) Calculer P
Error!
.
2) Déterminer les réels a, b et c tels que P(z) = (2z – 3)(az2 + bz + c)
3) Déterminer les solutions dans I;C de l’équation P(z) = 0.
Exercice 4 : ( 4 points)
A
•
•
z
B
•
•
z
C
•
•
– z
D
•
•
zz 
E
•
•
zz 
F
•
•
zz 
G
•
•
zz 
2
1
H
•
•
zz 
2
1

Dans le plan complexe muni d’un repère (O ;
Error!
,
Error!
) (unité graphique : 4 cm), on note A le point
d’affixe
zA = – 1 + i. Soit Z le nombre complexe défini par Z =
Error!
pour z – 1 + i.
Soit f la transformation qui à tout point M du plan d’affixe z associe son image M’ d’affixe Z.
1) (a) Calculer l’image de 1 + 2i par f.
(b) Déterminer les antécédents de 2i par f.
2) On pose z = x + iy où x et y sont réels.
(a) Montrer que Re (Z) =
)²1()²1( 13²22²2 yx yyxx
et Im (Z) =
)²1()²1( 12 yx yx
.
(b) Déterminer et construire l’ensemble (E1) des points M d’affixe z telle que Z soit réel.
(c) Déterminer et construire l’ensemble (E2) des points M d’affixe z telle que Z soit imaginaire pur.
Exercice 5 : ( 2 points)
Démontrer, pour tout réel a 0 et tout entier naturel n, « l’inégalité de BERNOULLI » : (1 + a)n 1 + na
Exercice 6 : ( 7 points)
La suite
n
u
est définie, pour tout entier naturel n, par
0
0u
et
4
23
1
n
n
nu
u
u
.
1) On considère la fonction f définie par
4
23
)(  x
x
xf
sur l'intervalle I = [0 ; 1].
(a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle I et en déduire que, pour tout x de
l'intervalle I, f (x) I.
(b) Démontrer, avec un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n,
n
u
appartient à I.
(c) Prouver que la suite
n
u
est croissante.
2) On considère la suite
n
v
définie, pour tout entier naturel n, par
1
2
n
n
nu
u
v
.
(a) Démontrer que la suite
n
v
est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
(b) Donner l'expression de
n
v
en fonction de n.
(c) Exprimer, pour tout entier naturel n,
n
u
en fonction de
n
v
et en déduire
n
u
en fonction de n.