TS2 DEVOIR SURVEILLE N°3 (2h) J 24/09/11 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé! Exercice 1 : ( 2 points) Dans le plan complexe, on considère un point M d'affixe z. Associer à chaque point du plan sur le dessin ci-dessous son affixe y A B C v o u F M(z) D E x A • • z B • • z C • • –z D • • zz E • • zz F • • zz G • • H • • 1 zz 2 1 zz 2 G H Exercice 2 : ( 2 points) Prérequis : on admet que pour tous nombres complexes z et z', z.z ' z.z ' . En utilisant ce prérequis, démontrer successivement que pour tous nombres complexes z et z' avec z 0, 1 1 z' z' on a : et z z z z Exercice 3 : ( 3 points) On considère la fonction P de la variable complexe z définie par : 1) Calculer P Error!. 2) Déterminer les réels a, b et c tels que P(z) = (2z – 3)(az2 + bz + c) 3) Déterminer les solutions dans I;C de l’équation P(z) = 0. Exercice 4 : ( 4 points) P(z) = 2z3 + 5z2 + 14z – 39 Dans le plan complexe muni d’un repère (O ;Error!,Error!) (unité graphique : 4 cm), on note A le point d’affixe zA = – 1 + i. Soit Z le nombre complexe défini par Z = Error! pour z – 1 + i. Soit f la transformation qui à tout point M du plan d’affixe z associe son image M’ d’affixe Z. 1) (a) Calculer l’image de 1 + 2i par f. (b) Déterminer les antécédents de 2i par f. 2) On pose z = x + iy où x et y sont réels. 2 x² 2 x 2 y ² 3 y 1 x 2y 1 (a) Montrer que Re (Z) = et Im (Z) = . ( x 1)² ( y 1)² ( x 1)² ( y 1)² (b) Déterminer et construire l’ensemble (E1) des points M d’affixe z telle que Z soit réel. (c) Déterminer et construire l’ensemble (E2) des points M d’affixe z telle que Z soit imaginaire pur. Exercice 5 : ( 2 points) Démontrer, pour tout réel a 0 et tout entier naturel n, « l’inégalité de BERNOULLI » : (1 + a)n 1 + na Exercice 6 : ( 7 points) La suite un est définie, pour tout entier naturel n, par u 0 0 et u n 1 3u n 2 . un 4 3x 2 sur l'intervalle I = [0 ; 1]. x4 (a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle I et en déduire que, pour tout x de l'intervalle I, f (x) I. (b) Démontrer, avec un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, u n appartient à I. 1) On considère la fonction f définie par f ( x) (c) Prouver que la suite un est croissante. 2) On considère la suite vn définie, pour tout entier naturel n, par v n un 2 . un 1 (a) Démontrer que la suite vn est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (b) Donner l'expression de vn en fonction de n. (c) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de vn et en déduire u n en fonction de n.