Fonctions affines- Fonctions linéaires -I- Définition Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres réels donnés. Dans le cas où b = 0, on dit que la fonction f est linéaire. Exemples : f(x) = 3x + 1 f est une fonction affine, non linéaire : a = 3 et b = 1 (b≠ 0) g(x) = 2x – 1 g est une fonction affine, non linéaire : a = 2 et b = -1 (b≠ 0) h(x) = x + 5 h est une fonction affine, non linéaire : a = 1 et b = 5 (b≠ 0) i(x) = -5 i(x) = 0x – 5 donc i est une fonction affine, non linéaire : a = 0 et b = -5 (b≠ 0) j(x) = 7x j est une fonction affine et linéaire : a = 7 et b = 0 k(x) = x² + 1 k n’est pas une fonction affine (x²) -II- Représentation graphique 1- Théorème La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère : une fonction linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité. 2-Vocabulaire : Soit f(x) = ax + b. Le nombre a indique la pente de la droite qui représente la fonction f : on dit que a est le coefficient directeur de la droite. Lorsque x = 0, f(x) = b: on dit que b est l’ordonnée à l’origine. 3- Exemples : (1) Soit f la fonction définie par f(x) = 2x – 1 (2) Soit g la fonction définie par g(x) = -2x + 1 Représenter f dans un repère. Représenter g dans un repère. f est une fonction affine non linéaire : a = 2 et b = 3 g est une fonction affine non linéaire: a = -2 et b = 1 On a donc besoin de deux points et seulement deux ! Deux points suffisent encore. Pour x = 0, f(x) = 2 × 0 - 1 = -1 A(0 ;-1) Pour x = 0, g(x) = -2 × 0 + 1 = 1 A(0 ;1) Pour x = 2, f(x) = 2 × 2 - 1 = 3 B(2 ;3) Pour x = -1, g(x) = -2 × (-1) + 1 = 3 B(-1 ;3) La fonction f est représentée par la droite (AB). La fonction g est représentée par la droite (AB). a = 2 positif, la droite « monte » a = -2 négatif, la droite « descend » (3) Soit h la fonction définie par h(x) = 2. Représenter h dans un repère. On peut écrire h(x) = 0x + 2 h est une fonction affine non linéaire : a = 0 et b = 2 Deux points suffisent encore. a = 0, Pour x = 0, h(x) = 0 × 0 + 2 = 2 A(0 ;2) Pour x = 1, h(x) = 0 × 1 + 2 = 2 B(1 ;2) la droite est « horizontale ». La fonction h est représentée par la droite (AB). (4) Soit i la fonction définie par i(x) = 2x Représenter i dans un repère. On peut écrire i(x) = 2x + 0 i est une fonction linéaire (a = 2 et b = 0) i est une fonction On a donc besoin d’un seul point. linéaire : la droite passe par l’origine (O) Pour x = 1, g(x) = 2 × 1 = 2 C(1 ;2) La droite (OC) représente la fonction g. du repère. la droite est « horizontale ». -III- Savoir trouver l’expression algébrique d’une fonction affine : Il s’agit de déterminer a et b. 1- Graphiquement : (1) On a représenté une fonction affine f. Déterminer graphiquement son expression algébrique. On lit l’ordonnée à l’origine : -2 donc b = -2 Choisissons un point de la droite (de préférence sur un nœud du quadrillage) A partir de ce point, déplaçons-nous horizontalement d’une unité vers la droite, et cherchons alors à « rejoindre » la droite en nous déplaçant verticalement. Le déplacement vertical s’est fait vers le haut et de 3 unités: donc a = +3. D’où f(x) = 3x – 2 (2)On a représenté une fonction affine g. Déterminer graphiquement son expression algébrique. On lit l’ordonnée à l’origine : 2 donc b = 2 Choisissons un point de la droite. A partir de ce point, déplaçons-nous horizontalement d’une unité vers la droite, et cherchons alors à « rejoindre » la droite en nous déplaçant verticalement. Le déplacement vertical s’est fait vers le bas et de 3 unités: donc a = -3. Donc g(x) = -3x + 2 L’ordonnée à l’origine 2- Par le calcul : A retenir : a= différence entre les y différence entre les x (1) Soit h une fonction affine. Les points A(-1 ;2) et B(1 ;8) appartiennent à sa représentation graphique. Déterminer l’expression algébrique de h. Comme h est affine, h(x) = ax + b A(-1 ;2) et B(1 ;8) sont deux points de la droite qui représente h. a= h(x) -1 2 1 8 Calcul de a : 8–2 6 = 1 – (-1) 2 x donc a = 3 donc h(x) = 3x + b Calcul de b : h(-1) = 2 donc pour x = -1, 3 × (-1) + b = 2, donc -3 + b = 2, b = 5. Donc h(x) = 3x + 5 (2) Soit i une fonction linéaire. Le point A(3 ;-9) appartient à sa représentation graphique. Déterminer l’expression algébrique de i. Comme i est linéaire, i(x) = ax (b = 0) Calcul de a : A(3 ;-9) est un point de la droite qui représente i, donc i(3) = -9. Pour x = 3, a × 3 = -9, donc a = Donc i(x) = -3x -9 = -3 3