Fonctions affines- Fonctions linéaires

Fonctions affines- Fonctions linéaires
-I- Définition
Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres réels donnés.
Dans le cas où b = 0, on dit que la fonction f est linéaire.
Exemples :
f(x) = 3x + 1 f est une fonction affine, non linéaire : a = 3 et b = 1 (b≠ 0)
g(x) = 2x – 1 g est une fonction affine, non linéaire : a = 2 et b = -1 (b≠ 0)
h(x) = x + 5 h est une fonction affine, non linéaire : a = 1 et b = 5 (b≠ 0)
i(x) = -5 i(x) = 0x – 5 donc i est une fonction affine, non linéaire : a = 0 et b = -5 (b≠ 0)
j(x) = 7x j est une fonction affine et linéaire : a = 7 et b = 0
k(x) = x² + 1 k n’est pas une fonction affine (x²)
-II- Représentation graphique
1- Théorème
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère : une fonction
linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité.
2-Vocabulaire :
Soit f(x) = ax + b.
Le nombre a indique la pente de la droite qui représente la fonction f : on dit que a est le coefficient directeur
de la droite.
Lorsque x = 0, f(x) = b: on dit que b est l’ordonnée à l’origine.

3- Exemples :
(1) Soit f la fonction définie par f( x ) = 2 x – 1
Représenter f dans un repère.
f est une fonction affine non linéaire : a = 2 et b = 3
On a donc besoin de deux points et seulement deux !
Pour x = 0, f(x) = 2 × 0 - 1 = -1 A(0 ;-1)
Pour x = 2, f(x) = 2 × 2 - 1 = 3 B(2 ;3)
La fonction f est représentée par la droite (AB).
(2) Soit g la fonction définie par g( x ) = -2 x + 1
Représenter g dans un repère.
g est une fonction affine non linéaire: a = -2 et b = 1
Deux points suffisent encore.
Pour x = 0, g(x) = -2 × 0 + 1 = 1 A(0 ;1)
Pour x = -1, g(x) = -2 × (-1) + 1 = 3 B(-1 ;3)
La fonction g est représentée par la droite (AB).
(3) Soit h la fonction définie par h( x ) = 2. Représenter h dans un repère.
On peut écrire h(x) = 0x + 2
h est une fonction affine non linéaire : a = 0 et b = 2
Deux points suffisent encore.
Pour x = 0, h(x) = 0 × 0 + 2 = 2 A(0 ;2)
Pour x = 1, h(x) = 0 × 1 + 2 = 2 B(1 ;2)
La fonction h est représentée par la droite (AB).
(4) Soit i la fonction définie par i( x ) = 2 x
Représenter i dans un repère.
On peut écrire i(x) = 2x + 0
i est une fonction linéaire (a = 2 et b = 0)
On a donc besoin d’un seul point.
Pour x = 1, g(x) = 2 × 1 = 2 C(1 ;2)
La droite (OC) représente la fonction g.
a = -2 négatif,
la droite
« descend »
a = 2 positif,
la droite
« monte »
a = 0,
la droite est
« horizontale ».
i est une fonction
linéaire : la droite
passe par l’origine (O)
du repère.
la droite est
« horizontale ».

-III- Savoir trouver l’expression algébrique d’une fonction affine :
Il s’agit de déterminer a et b.
1- Graphiquement :
(1) On a représenté une fonction affine f.
Déterminer graphiquement son expression algébrique.
On lit l’ordonnée à l’origine : -2 donc b = -2
Choisissons un point de la droite (de préférence sur un nœud du
quadrillage)
A partir de ce point, déplaçons-nous horizontalement d’une unité vers la
droite, et cherchons alors à « rejoindre » la droite en nous déplaçant
verticalement.
Le déplacement vertical s’est fait vers le haut et de 3 unités:
donc a = +3.
D’où f(x) = 3x – 2 L’ordonnée à l’origine
(2) On a représenté une fonction affine g.
Déterminer graphiquement son expression algébrique.
On lit l’ordonnée à l’origine : 2 donc b = 2
Choisissons un point de la droite.
A partir de ce point, déplaçons-nous horizontalement d’une unité vers la
droite, et cherchons alors à « rejoindre » la droite en nous déplaçant
verticalement.
Le déplacement vertical s’est fait vers le bas et de 3 unités:
donc a = -3.
Donc g(x) = -3x + 2

2- Par le calcul :
A retenir : a = différence entre les y
différence entre les x
(1) Soit h une fonction affine. Les points A(-1 ;2) et B(1 ;8) appartiennent à sa représentation
graphique.
Déterminer l’expression algébrique de h.
Comme h est affine, h(x) = ax + b
A(-1 ;2) et B(1 ;8) sont deux points de la droite qui représente h.
 Calcul de a :
a = 8 – 2
1 – (-1) = 6 2 donc a = 3 donc h(x) = 3x + b
 Calcul de b :
h(-1) = 2 donc pour x = -1, 3 × (-1) + b = 2, donc -3 + b = 2, b = 5.
Donc h(x) = 3x + 5
(2) Soit i une fonction linéaire. Le point A(3 ;-9) appartient à sa représentation graphique.
Déterminer l’expression algébrique de i.
Comme i est linéaire, i(x) = ax (b = 0)
 Calcul de a :
A(3 ;-9) est un point de la droite qui représente i, donc i(3) = -9.
Pour x = 3, a × 3 = -9, donc a = -9
3 = -3
Donc i(x) = -3x
x
-1
1
h(x)
2
8