Convergences et approximations Probabilités chapitre 6

Convergences et approximations
Probabilités chapitre 6
Il n’est pas question de se contenter d’apprendre par cœur les résultats de ce chapitre, mais bien de savoir les retrouver, chaque démonstration
étant un exemple d’exercice visant à approfondir les notions liées aux vecteurs aléatoires.
On considère dans ce chapitre une suite (Xn)n  IN de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (  , A, P ).
Nous allons définir deux types de convergence.
I Convergence en probabilité
1.
Convergence en probabilité
a.
Définition :
Soient (Xn)n  IN et X des variables aléatoires réelles définies sur (  , T , P ) .
On dit que ( Xn )n  IN converge en probabilité vers X si et seulement si :
  > 0 , lim P[ | Xn – X | ≥  ] = 0
n  +
b.
Notation :
Si (Xn)n  IN converge en probabilité vers X, on note : Xn  X
P
c.
Problème de l’unicité de la limite :
Si Xn  X et Xn  X’ alors P[ X  X’ ] = 0
P
P
X et X’ sont P-presque sûrement égales.
Une limite de suite de variables aléatoires qui converge en probabilité est P-presque sûrement unique.
d.
Exercice :
Soit (Un)n  IN une suite de variables aléatoires de même loi uniforme sur [ 0,1] et indépendantes.
Pour tout n  IN*, on note Xn = min ( U1, U2, … , Un ). Montrer que (Xn) converge en probabilité vers la variable
constante nulle.
2.
Inégalités permettant de prouver une convergence en probabilité :
a.
Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance alors :  a > 0 , P[ X ≥ a ] ≤
E(X)
a
Démonstrations dans les cas de variables discrètes ou à densité.
Exemple :
1
X ↪ G(3) . En utilisant l’inégalité de Markov, majorer P[X  60 ].
Donner la valeur exacte de P[X60). En déduire que l’inégalité de Markov ne donne pas ici un résultat très précis.
b.
Conséquences
C1.
Généralisation de l’inégalité de Markov
r
Si X est une variable aléatoire admettant un moment d’ordre r  IN* alors :  a > 0, P[ |X|  a ] 
r
E(|X| )
a
C2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2 alors :
Démonstrations dans les cas de variables discrètes ou à densité.
  > 0 , P[ | X – E(X)| ≥  ] ≤
V(X)
²
Exemple :
Au concours ECRICOME, les notes de maths définissent une variable aléatoire X de moyenne 10 et d’écart-type 4.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : P[ 5 ≤ X ≤ 15]  0 ,36
On remarquera que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne dépend pas de la loi de X.
On sait que X ↪ N(10, 4). Donner une valeur approchée de P[ 5 ≤ X ≤ 15 ].
P[5 ≤ X ≤ 15]  0,79
3.
Loi faible des grands nombres :
a.
loi faible des grands nombres :
Soit (Xn)n  IN* une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ( ,T,P), de même espérance
E(Xn) = m et de même variance V(Xn) = ² et deux à deux indépendantes.
1 n
La moyenne empirique d’ordre n, Xn = n  Xk converge en probabilité vers la variable certaine égale à m.
k=1
b.
Cas des variables de Bernoulli :
Soit (Xn)n  IN une suite de variables aléatoires de loi de Bernoulli deux à deux indépendantes et de même paramètre
p  ] 0 , 1 [.
1 n
La variable aléatoire Xn = n  Xk converge en probabilité vers la variable certaine égale à p.
k=1
1
Plus précisément :   > 0, P[ | Xn – p | ≥  ] ≤
( majorant indépendant de p )
4n²
c.
Interprétation :
La loi faible des grands nombres permet une justification à postériori de la notion de probabilité d’un événement, introduite
intuitivement.
Pour évaluer la probabilité p d’un événement E, on effectue un grand nombre d’expériences et on estime p à la moyenne des
réalisations de E. Le chapitre suivant fera une étude de cette estimation.
4.
Composition par une fonction continue
Si (Xn)n  IN converge en probabilité vers une variable aléatoire X et si f est une fonction continue sur IR, à valeurs dans IR,
alors f(Xn)n  IN converge en probabilité vers f(X).
Résultat admis
5. Exercices :
Ex 1 :
Soit X une variable aléatoire définie sur (  , T , P ), de fonction de répartition F. Pour tout x  IR, on note Y =
Quelle est la signification de la variable aléatoire Y et quelle est sa loi ?
Soit (Xn)n  IN , une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que X.
1 n
Pour tout x  IR, on note Fn,x = n  ] - , x ] (Xk)
k=1
Que représente Fn,x ? Montrer que (Fn,x)n ≥ 1 converge en probabilité vers la variable certaine égale à F(x).
Que dire de (Fn,x²)n  1
] - , x ] (X)
.
Ex 2 : un exercice d’estimation
On lance un dé cubique équilibré n fois de suite. Comment suffit-il de choisir n pour pouvoir affirmer avec un risque d’erreur
1
1
inférieur à 5%, que la fréquence d’apparition de la face 6 au cours de ces lancers différera de 6 d’au plus 100 .
(réponse : n ≥ 27 778)
Ex 3 : des conditions suffisantes de convergence ee probabilité
Soit (Xn)n  IN et x des variables aléatoire sur un même espace probabilisé.
Démontrer que :
(i)
Si E( | Xn – X | ) converge vers 0 quand n tend vers + alors (Xn) converge en probabilité vers X.
(ii)
Si E(Xn-X) et V(Xn-X) convergent vers 0 alors Xn converge en probabilité vers X.
(iii)
Si E(|Xn-X|²) converge vers 0 alors Xn converge en probabilité vers X.
II Convergence en loi
1.
Définition
Soit (Xn)n  IN une suite de variables aléatoires réelles. On note FXk la fonction de répartition de la variable aléatoire Xk.
On dit que la suite (Xn)n  IN converge en loi vers une variable aléatoire X de fonction de répartition FX ( ou que la loi de (Xn)nIN
converge vers la loi de X ) si et seulement si la suite (FXn(u))n  IN converge vers FX(u) pour tout réel u où FX est continue.
On note Xn  X
L
Attention : la convergence en loi n’est pas à proprement parlée une convergence de variable aléatoire mais une convergence de
lois donc de fonctions de répartition. La limite X n’est définie que par sa loi, elle n’est donc pas unique et les opérations usuelles
sur les limites de suites réelles ne s’appliquent pas aux limites en loi de variables aléatoires.
2. Exemple
Soit (Un)nIN* une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, de même loi uniforme sur [0,1].
On pose : Xn= n (1- Max(U1 , ... , Un) ). Montrer que la suite (Xn)nIN* converge en loi et préciser la loi limite.
3. Exercices
Ex1.
Soient (Xn) et (Yn) deux suites de variables aléatoires réelles, de fonctions de répartition F Xn et FYn, convergeant en loi
vers la même variable aléatoire réelle Z de fonction FZ.
Montrer qu’en tout point x où FZ est continue, la suite ( FXn(x) – FYn(x) )n  IN converge vers 0.
Ex2.
1
Soit (Xn)nIN une suite de variables aléatoires de même loi de Bernoulli de paramètre 2 . On note Yn= 1-Xn.
Montrer que les suites (Xn)nIN et (Yn)nIN convergent toutes les deux en loi, vers une même variable aléatoire
1
X ↪ B(1, 2) . Que dire des suites (Xn+Yn)nIN ? (Xn-Yn)nIN ?
Ex3.
Soient a un réel fixé et (Xn)n  IN une suite de variables aléatoires réelles convergeant en loi vers une variable aléatoire X.
Montrer que la suite ( Xn + a )n  IN converge en loi vers (X + a).
Même question pour (aXn).
Ex4.
Montrer que la convergence en probabilité implique la convergence en loi. Que penser de la réciproque ?
4.
Cas des variables aléatoires à valeurs dans ℤ
Soient (Xn)n  IN une suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire toutes définies sur ( , T , P ) et à valeurs dans ℤ.
(Xn) converge en loi vers X si et seulement si pour tout k ℤ, lim P[ Xn = k ] = P[X=k].
n  +
5.
Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson : rappel de 1
ère
année
Soient   ℝ+*, (Xn)n  IN* une suite de variables aléatoires de lois binomiales B(n,/n) .
(Xn)n0 converge en loi vers une variable aléatoire X de loi de Poisson P().
Traduire cette propriété à l’aide de la définition de la convergence en loi.
Dans la pratique, on pourra approcher B(n,p) par P(np) lorsque n  15, p < 0,1 et np  15.
Exemple : X suit la loi B( 400,
. Donner un valeur approchée de : P[ X = 30 ].
Utiliser Scilab pour donner une valeur approchée de P[30 ≤ X ≤ 50]
6.
Théorème de Slutsky
Si (Xn)n1 converge en loi vers X et si (Yn)n 1 converge en probabilité vers une constante c alors (Xn+Yn)n 1 converge en loi vers (X+c)
Si (Xn)n1 converge en loi vers X et si (Yn)n 1 converge en probabilité vers une constante c alors (XnYn)n 1 converge en loi vers (cX)
Résultat admis
7.
Composition par une fonction continue de IR dans IR
Si (Xn)n  IN converge en loi vers une variable aléatoire X et si f est une fonction continue sur IR, à valeurs dans IR, alors f(Xn)n  IN
converge en loi vers f(X).
Résultat admis
8.
Théorème limite centré ou théorème central limite (admis)
Soit (Xn)n0 est une suite de variables aléatoires réelles sur un même espace probabilisé ( ,T,P) et mutuellement indépendantes,
n
 Xn - nm
de même loi admettant une espérance m et une variance ² alors la variable aléatoire centrée réduite Sn* =
k=1

n
converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite N(0,1).
Théorème dû à Polya en 1920 et initialement nommé « zentraler Grenzwertsatz »
b
1
-t²
Cela signifie que :  a,b  IR / a  b , lim P[ a  Sn*  b ] =
exp 2

n  +
2 
a
( )
dt
III Approximations par une loi normale
1.
Cas de la loi binomiale
Soit (Xn)nIN*, une suite de variables aléatoires de loi B(n,p) où p  ] 0,1 [ ( p ne dépend pas de n ), alors les
Xn - np
variables aléatoires réelles centrées réduites associées X n* =
converge en loi vers X de loi normale
np(1-p)
N(0 ,1) centrée réduite.
On pourra approcher la loi de Xn par celle de Yn = np(1-p) X + np qui est la loi normale N(np , np(1-p)) lorsque n  30,
np  5 et n(1-p)  5
N.B. : il faudra faire très attention car il s’agit ici d’approcher une loi discrète par une loi continue.
Or pour tout réel k, P[Yn=k] = 0 alors que ce n’est pas le cas des lois discrètes.
Il faudra donc plutôt se ramener à la fonction de répartition : P[Xn=k] P[Yn ≤ k ] – P[Yn ≤ k-1]
Il est possible aussi de faire une correction de continuité en considérant que : P[ Xn = k ] P[ k-0,5  Yn  k+0,5 ]
Exemples :
Ex 1 : On suppose que X ↪ B(100 ; 0,05) .
Comparer la valeur exacte de P[X=2] avec l’approximation par une loi de Poisson, puis par une loi normale.
Ex 2 : Combien de fois suffit-il de lancer un dé non truqué pour que la fréquence des 6 obtenus soit comprise entre
1 1
1 1
6 - 100 et 6 + 100 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,9 ?
Donner une réponse à l’aide du théorème central limite puis de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Quelle remarque peut-on faire ?
(par BT , n  13889 et par la loi normale : n
2.
3750 )
Cas de la loi de Poisson
Soit   ℝ+* et (Xn)nIN* une suite de variables aléatoires réelles de loi de Poisson de paramètre (n).
Xn - n 
La suite (Xn*)nIN* où Xn*=
converge en loi vers X* ↪ N(0,1).
n
On remarquera que Xn est la somme de n variables mutuellement indépendantes de même loi P(), ce qui permet
d’appliquer le théorème central limite.
Exemple :
On suppose que X ↪ P(20)
Comparer la valeur approchée de P[X=15] par la loi normale avec la valeur exacte de P[X=15].
Par le calcul exact : P[X=15]
0,052 et par la loi normale : P[X=15]
0,047