Leçon énergie en mécanique du point

Leçon énergie en mécanique du point
Si le concept d’énergie est signifiant dans le langage commun *, sa définition en mécanique n’est pas immédiate, elle
nécessite d’abord la définition du travail élémentaire force scalérisée par un déplacement qui quantifie les échanges
d’énergie. La non-conservation de l’énergie à cause des frottement fluides ou solide peut alors donner lieu ou pas à
des problèmes ayant une solution analytique. L’étude de l’ingénieux dispositif qu’est le palan dans un modèle
conservatif permet d’éclaircir les choses.
La stabilité d’une position d’équilibre peut enfin être étudiée de deux manières différentes soit en construisant
l’équation du mouvement et en examinant si celle-ci va conduire à une solution bornée ou bien en étudiant si
l’annulation de la dérivée de l’énergie potentielle correspond à un maximum ou a un minimum.
*définitions du Larousse : la physique précise un vocabulaire !
Puissance physique de quelqu'un, qui lui permet d'agir et de réagir : Être sans énergie à la fin de la journée.
Volonté tendue vers une action déterminée ; puissance, vigueur, force morale : L'énergie du désespoir. Elle refusa avec la dernière énergie.
Personne énergique, qui a la volonté d'agir (surtout pluriel) : Rassembler les énergies.
Vigueur particulière dans la manière de s'exprimer : L'énergie du style.
Chez Aristote, réalité effective, par opposition à la réalité possible (dunamis).
Grandeur caractérisant un système physique, gardant la même valeur au cours de toutes les transformations internes du système (loi de conservation) et
exprimant sa capacité à modifier l'état d'autres systèmes avec lesquels il entre en interaction. (Unité SI le joule.)
En savoir plus sur http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/%C3%A9nergie/29421#p62w2j7qgWDcxUYe.99
Les deux premières définitions cofondent énergie et puissance, dans la 4ième définition la vigueur correspondrait plutot à la force, dans la sixième la science
thermodynamique que nous étudierons plus tard aura son mot à dire.
I) Travail et puissance d’une force
Travail reçu par le point matériel sous l’effet de la force F
dans un déplacement élémentaire
dOM = OM’-OM = OM(t+dt)-OM(t) = vdt
δW = F.dOM = F.vdt
La puissance reçue par le point matériel sous l’effet de la force F à l’instant t autour du point M(t) est P= δW/dt=F.v
Si P > 0 la force est dite motrice sinon elle est dite résistante
Si v ⊥ F ou si M est immobile P = 0 , la force ne travaille pas
Travail d’une force au cours d’un déplacement, c’est une intégrale curviligne, une somme en suivant une courbe.
.
B
CAB A
W F dOM
II) Exemples de calculs de travaux de forces
1) Force de frottement sur un Quimper-Rennes 214 kms à différentes vitesses 90km/h ou 110km/h
F = - 0.01 v² u
M(t)
M(t+dt)
dOM=vdt
F
A
B

W90 = - 0.01 ( 90 000/3600)² . ( 214000)
W110 = - 0.01 (110 000/3600)² . ( 214000)
Dépend du chemin ou de la manière dont le chemin a été parcouru
W90 / W110 =(9/11)²=81/121 = 8/12 = 4/6 = 2/3 gain 33% 10L au lieu de 14L
T90/T110 = (d/90)/(d/110)=110/90=11/9=1.2 perte 20% 2h 24 au lieu de 2h
2) Energie potentielle de pesanteur
Fdz = W = - dEP Ep = m g z F(z) = -dEp/dz uz
. ( ) ( ) ( ) ( )
B B B
AB P P P P P P
A A A
W F dOM W dE E E B E A E A E B
Une force est dite conservative si son travail ne dépend que des points initiaux et finaux de la trajectoire et pas du
trajet entre ces points ou de la manière dont ce trajet a été parcouru, un travail élémentaire de la force s’écrit
alors sous la forme d’une différentielle on écrit –dEp plutôt que dEp pour une raison qui apparaitra plus loin ;
On dit encore que la force dérive d’une énergie potentielle puisque l’on peut écrire F(z) = -dEp/dz uz
Un travail fini de A à B d’une force conservative correspond à la diminution d’énergie potentielle de A à B
2) Exemple de Travail de deux forces de tension, poulie sans masse
T1 - mg = m a1 > 0
T2 - 2 mg = 2 m a2 = - 2 m a1 < 0
T1 = T2
→ -mg = -3ma1 a1=g/3 logique masse grav 1 masse inerte 3
T = 4 mg/3 = cst W = 4 mg d/3
Travail de T1 : 4 mg d/3 travail de T2 : -4 mg d/3
travail poids 1 ; -mg d travail poids 2 : 2mgd
4)Travail d’une force de rappel sur une demi-oscillation Energie potentielle
élastique
X est l’élongation par rapport à la longueur à vide ( surtout pas l’écart à la position d’équilibre)
max max
0
²0² ( ) ( ) ( ) ( )
22
X
AB P P P P AB P
X
X
W kXdX k k E B E A E A E B E
F(X) = - dEp/dX ux= - k X ux Ep = ½ kX²
m
2m
T1
T2

5) Exemple du palan
III) Théorème de la puissance cinétique, théorème de l’énergie cinétique,
théorème de l’énergie mécanique
1) Théorèmes scalaires
c
. . ( ) théorème de la puissance cinétique
E ( ) ( ) ( ) ( ) théorème de l'énergie cinétique
si on suppose que certaines for
c
i i i i
i i i i
AB AB i C C AB i
ii
dE
dv dv
ma F m F mv F v P F
dt dt dt
W F E B E A W F
,
,
ces dérivent d'une énergie potentielle , on dit aussi que ces forces sont conservatives
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C C AB c AB nc AB p i AB nc
i j j
i j i j
m m AB nc m c P i
j
ji
E B E A W F W F E W F
E B E A W F avec E E E
P
théorème de l'énergie mécanique
ceci explique le - de W= - dE et la domination force conservative c'est l'énergie mécanique qui est conservée
si il n'y a pas de dissipation pas de forces non_conservatives alors l'énergie mécanique est conservée
2) Problèmes non conservatifs
Prenons un coefficient μ=0.6 en dehors des réflexes quelle distance pour freiner depuis 30km/h 60km/h ou
90km/h ? Quelle énergie dissipée pour une voiture de 1 tonne ? 2 méthode énergétique et RFD
3) Problèmes conservatifs
Retour sur le problème du pendule simple : La tension ne travaille pas, le poids dérive d’une énergie potentielle
Tremplin : la réaction ne travaille pas, le poids dérive d’une énergie potentielle
Un skieur glisse depuis un point A où sa vitesse est nulle et où la côte est h sur un tremplin de pente par rapport à
l’horizontale, en B il atteint une portion en arc de cercle de rayon R de telle façon que les tangentes des deux
portions se raccordent, puis il en ressort en C pour faire un saut de portée à déterminer
Résoudre les deux premières phases du mouvement grâce à la RFD pour trouver la vitesse en C
Retrouver v( C) par conservation de l’énergie
Trouver la portée, une méthode énergétique permet-elle
de la calculer ?
Ressort comprimé énergie potentielle de pesanteur et énergie potentielle élastique
Les méthodes énergétiques permettent de déterminer l’équation du mouvement sans se soucier des forces que l’on
n’aura pas à projeter sur des directions perpendiculaires aux actions de contact pour les faire disparaître (la
direction de projection est la direction du mouvement)
2
h
R
portée
A
B
C
D

IV) Stabilité d’une position d’équilibre
1) Force de rappel et minimum d’énergie potentielle
p 0 0 0 0 0
0
On admet qu'il existe un dévelopement en série du type suivant
²
1
E ( ) ( ) ( )( ) ( )( )²
2! ²
ou chacun des termes successifs sont de plus en plus petits si apar exemple x-x =0.1
pp
p
dE d E
x E x x x x x x x
dx dx 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
00
0.1 >> 0.1² >> 0.1
²
( ) 0 ( ) ( )( )
²
( ) ( ) ( )
est une position d'équilibre F(x) ( ) 0 donc ( ) 0
²
( ) ( )( )
²
si la position d'équilibre
pp
P
p
p
p
dE d E
dE
F x x x x x
dx dx dx
dE
F x x F x x
dx dE
si x F x x
dx
dE
donc F x x x x
dx
0 0 0
00
²
est stable, force de rappel ( ) 0 la pente augmente de x x
²²
( ) 0 , ( ) 0
²
p
pp
dE xà
dx dE d E
Une force de rappel correspond à un puits de potentiel x x
dx dx
la pente augmente quand on se déplace de la gauche vers la droite dans le trou elle est tout d’abord très négative
puis moins négative puis nulle en passant par la position d’équilibre stable puis positive puis très positive
2) Application : Anneau massique sur une tige fixe retenu par un ressort
F.ur =-k(r-l0) – m g cosα
EP= ½ k(r-l0)² + m g z = ½ k(r-l0)² + m g r cosα F(r) = -dEP/dr ur
Position d’équilibre min de Ep req = l0 – m g cos α / k
La position d’équilibre est stable, oscillation : m d²r/dt² = - k ( r - l0 ) – m g cosα
r - req = A cos ( t+ ) avec = (k/m)
> restart;
> l0:=0.1;m:=1;g:=10;k:=10/0.05;alpha:=Pi/4;
> Ep:=m*g*r*cos(alpha)+0.5*k*(r-l0)**2;
> plot(Ep,r=0.001..0.2);
:= Ep 5r2 100.0000000 ( )r.1 2
x0
α

TD 3) Application : Modèle de molécule diatomique dans un mouvement linéaire
Pour rendre compte des propriétés d’une molécule polaire on assimile celle-ci a un système de deux points
matériels A et B porteurs respectivement des charges
+q=+ e et -q= - e, avec = 0.6 et e = + 1,6 . 10-19 C
La distance AB = r a la valeur d’équilibre r0 = 3.10-10m en l’absence de champs extérieurs.
La masse m de A est 10-26kg; celle de B étant très supérieure, on admettra que B reste fixe et confondu avec
l’origine des coordonnées O. L’énergie potentielle de A en présence de B (énergie potentielle de la molécule) est
donnée par :
0
1²
() 4
nq
Ur r
r
avec n de l’ordre de 10, désignant une constante positive. Le second
terme représente l’énergie potentielle électrostatique, le premier rend compte de l’existence d’une force d’origine
quantique répulsive (impénétrabilité des nuages électroniques des atomes en raison du principe de Pauli)
9
0
19 10
4
On aura F = - dU/dr comme vu dans le cours
1) Vérifier graphiquement que l’allure de U(r) correspond à un puits de potentiel et exprimer en fonction des
données r0 , n, q, 0. En déduire U(r) en fonction de r0 , n, q, 0 et r.
On devra montrer :
1
10
0
00
² 1 1
( ) ²( )
44
n
n
n
r
q
n r alors U r q r
nr
Réponse : Les termes en 1/rn et 1/r tendent tous les deux vers l’infini en 0 et vers 0 en l’infini.
Le terme en 1/rn en rouge pointillé domine en r=0 son infini est plus grand, le terme en -1/r en bleu plein domine
en l’infini il est moins petit en valeur absolue.
Ainsi la courbe a les deux comportements asymptotiques signalés sur la figure suivante :
Elle développe nécessairement un puits de potentiel entre ses deux asymptotes
1/r
1/rn
r
1/r
1/rn
r
r0