corrigé

Etude d'un moteur synchrone
I- Production d'un champ magnétique quasi uniforme
1)- Selon la loi de Biot et Savart, le champ créé sur l'axe au point M, par la spire s'écrit:
0
13
( )
4
C
i
dl PM
B
PM
2)- Au cours de l'intégration, la longueur PM reste
constante: on peut donc sortir PM3 de l'intégrale. Par
ailleurs, 11
PM PI I M
.
L'expression précédente s'écrit donc:
0
1 1 1
3( )
4C
i
B dl PI I M
PM
On a donc dans l'expression de
1
B
la somme de deux intégrales:
1
( )C
dl PI
et 1
( )C
dl I M
Au cours de l'intégration, le vecteur 1
I M
reste constant. La seconde intégrale peut donc
s'écrire:
1
( )C
dl I M
, et
( )
0
C
dl
: la seconde intégrale est nulle.
3)- Le champ magnétique en M s'écrit donc:
0
1
13( )
4C
i
B dl PI
PM
Or, 1
x
dl PI R dl u
;
1
B
s'écrit donc:
0
13( )
4
x
C
i R
B dl u
PM
Or,
( )
2
C
dl R
, et
3
3 2 2
2
PM R x  . On en déduit l'expression de
B
:
2
0
13
2 2 22
x
i R
B u
R x
4)- Les deux dérivées première et seconde de y s'écrivent:
3 5
2 2 2 2
2 2
3
' 2
2
d
y R x R x x
dx
, soit:
5 7 7
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
5
'' 3 ( 3 ) 2 3 4
2
y R x x R x x R x x R
  , soit:
I1
P
dl
M
x'
x
5
2 2
2
' 3y x R x 
2 2
7
2 2
2
4
'' 3
x R
yR x

y' est de signe contraire à x: y est
croissante en x < 0, décroissante
en x > 0, avec un extremum en x =
0.
On a par ailleurs deux points
d'inflexion en
2
R
x et
2
R
x
5)- Au point O, le champ
B
est la somme de
1
B
en d/2 et de
1
B
en –d/2.
Les dérivées de B en ce point sont donc la somme des dérivées de B1 en d/2 et –d/2.
Or, la fonction y étant paire, ses dérivées impaires sont impaires. On en déduit que toutes les
dérivées impaires de B en O sont nulles.
Les dérivées paires, elles, sont paires: leur somme en d/2 et –d/2 n'est en général pas nulle.
Toutefois, si on choisit d = R, les deux dérivées secondes en R/2 et –R/2 étant nulles, la
dérivée seconde de B en O est alors nulle.
Dans un développement limité de B au voisinage de O, le premier terme non nul est alors
celui du quatrième ordre (première dérivée non nulle en O).
On considérera alors que le champ en O est quasi uniforme.
II- Production d'un champ tournant
1)- Le champ tournant proposé fait, à l'instant t, l'angle 0t avec l'axe des x: on peut donc
l'écrire:
00 0 0
cos sin
x y
B B t u t u
2)- Le champ
0
B
créé en O par les quatre spires s'écrit:
0
' '
x y
B B B K i u i u
soit:
0 0 0 0 0 0 0 0
cos cos( ) cos (cos cos sin sin )
x y x y
B K i t u t u K i t u t t u
Ce champ a bien la forme du champ tournant
0
B
proposé, à condition que l'on ait :
cos 0
et
sin 1
soit
2
et
0 0
K i B
On obtient un champ tournant à condition que les courants i et i' soient en quadrature. (Le
sens de rotation dépend du signe du déphasage.
III- Moteur synchrone:
1)- Par définition, le moment du couple magnétique exercé par
0
B
sur le moment s'écrit:
0
B
Soit:
0 0
sin ,
z
B B u
, avec
0 0 0
, ( ) ( )B t t t
d'où l'expression de :
0 0
sin ( )B t
2)- La valeur moyenne d'un sinus sur un nombre entier de périodes est nulle: le moment
moyen du couple magnétique est donc nul, sauf si le sinus est invariant au cours du temps,
c'est-à-dire si
0
. Dans ces conditions, la valeur moyenne du moment du couple s'écrit:
-R/2 R/2 x
B

0 0
sin sin
B Ki
3)- On veut que le couple magnétique soit moteur: c'est réalisé si sa puissance moyenne est
positive. Cette puissance s'écrit:
0
0
P
soit:
0 0
sin
P Ki
Le couple moyen est donc moteur si 0 et  sont de même signe, c'est-à-dire si le dipôle
magnétique tourne avec un retard sur le champ tournant, compris en valeur absolue entre 0 et
.
4)- Dans le cas où 0 est positif; la courbe représentant  en fonction de  a l'allure suivante:
Le couple maximum est obtenu pour
sin 1
. Sa valeur
s'écrit:
max 0 0
Ki
5)- Le rotor tourne à vitesse constante: le moment résultant
par rapport à l'axe des forces appliquées doit être nul. Si r
est le moment des forces résistantes par rapport à l'axe, on
doit avoir:
0
r
soit: r , et comme le couple moyen est positif,
r
. Le fonctionnement n'est possible que si
max
r
   .
Dans ces conditions, on obtient graphiquement deux points de fonctionnement 1
2
et
2
2
.
6)- Au voisinage du point de fonctionnement, on augmente très légèrement la valeur absolue
du couple résistant: le rotor ralentit légèrement, et  augmente.
Entre 0et
2
, la courbe
( )
f   est croissante: le couple moteur augmente donc, et le rotor
se stabilise donc à sa vitesse constante. Le même raisonnement pour une petite diminution en
valeur absolue du couple résistant montre qu'elle entraîne une diminution du couple moteur :
Le fonctionnement est donc stable dans ce domaine.
Le même raisonnement montre que le second point de fonctionnement est instable.
O
max>

I- Etude de l'orbite circulaire
1)- Si
r
u
est le vecteur unitaire radial, la force de gravitation exercée sur le satellite s'écrit:
2
( )
r
M m
F G u
R h
Cette force dérive du potentiel
p
E
: p
p r
E
F gradE u
r
. On en déduit:
( )
p
M m
E G
R h
en prenant conventionnellement
0
p
E à l'infini.
A la surface de la terre:
02
M m
mg G
R
, soit:
2
0
GM g R
La force et l'énergie potentielle dont elle dérive peuvent donc s'écrire:
2
02
( )
r
R
F mg u
R h
et 2
0
( )
pR
E mg
R h
2)- La vitesse du satellite s'écrit en coordonnées polaires:
r
v r u r u
pour le mouvement circulaire, r est constant:
v r u
et l'accélération: 2
r
a r u r u r u
soit, pour le mouvement circulaire: 2
r
a r u r u
3)- La RFD appliquée au satellite s'écrit:
22
02
( )
r r
R
mg u mr u mr u
R h
On en déduit que
0
, donc que la vitesse a un module 0
v r
constant.
En remarquant que
2
2
0
v
r
r
, la RFD s'écrit:
2 2
0 0 2
v g R
r r
soit, avec
r R h
:
2
0
0
g R
v
R h
Soit, pour h = 8000 km:
0
5,28
v km/s
4)- L'énergie mécanique
E
est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle,:
2
20
0
1
2
mg R
E mv
R h
Soit, en explicitant l'expression de
0
v
:
2
0
2( )
mg R
E
R h
5)- La période du satellite est le temps mis pour effectuer une révolution, soit pour parcourir
la distance
2 ( )
R h
à la vitesse de module constant
0
v
: on a donc:
0
2 ( )
R h
Tv
Soit, numériquement:
17136
T
s = 4h 45 mn 35 s
II- Mise sur orbite:

1)- Le satellite peut partir à l'infini à partir du moment où son énergie mécanique est nulle: on
lui donne donc à l'altitude h une vitesse
L
v
telle que:
2
20
1
0
2 ( )
Lmg R
mv R h
D'où l'expression de
L
v
:
2
0
2
L
g R
v
R h
Soit, en fonction de
0
v
:
0
2
L
v v
Numériquement:
7,47
L
v km.s-1
2)- Pour un mouvement de trajectoire elliptique de demi grand axe a, l'énergie mécanique
s'écrit:
2
0
2
mg R
E
a
Dans le cas limite qui nous intéresse,la distance au centre de la terre est
R h
à l'apogée, et R
au périgée. On a donc: 2 2
a R h
Le satellite doit donc avoir une énergie:
2
0
2
mg R
E
R h
Qui lui est communiquée à l'altitude R+h, au moment de la mise sur orbite à la vitesse
1
v
:
2 2
20 0
1
1
2 2
mg R mg R
mv
R h R h
On en déduit:
2 2
1 0 1 1
22 v g R
R h R h
C'est-à-dire:
2
1 0 0 2
2( )(2 ) 2
R R
v g R v
R h R h R h
Numériquement:
1
4,14
v km.s-1
III- Lancement du satellite:
1)- A partir de l'altitude a où ses moteurs sont coupés, le satellite a une énergie constante: on
écrit donc l'égalité entre son énergie au point d'altitude a et celle au point d'altitude h qui est
l'apogée de la trajectoire de lancement:
2 2
2 2
0 0
0
1 1
2 8
i
g R g R
mv m mv m
R a R h
On en déduit l'expression de la vitesse
i
v
:
2 2 2
0 0
1 1 1
2
4
i
v v g R
R a R h