Amérique du Sud 2004

Amérique du Sud 2004 Exercice 1 Mouvements plans (4pts)
Calculatrice autorisée
1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids.
D'après la deuxième loi de Newton:
P
= m.
G
a
soit m.
g
= m.
G
a
donc
g
=
G
a
Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération
G
a
du centre d'inertie du projectile ne dépend pas des
conditions initiales.
1.2. D'après le 1.1. on a
g
=
G
a
Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = – g
Or aGZ =
dt
dvZ
donc vGZ = – g.t + V0z soit vGZ = – g.t + V0.sin 
vGZ varie au cours du temps, donc le mouvement du projeté de G suivant l'axe vertical Oz n'est pas
uniforme.
Affirmation fausse.
1.3. Il faut établir l'équation de la trajectoire de G.
axG = 0 vxG = v0x = V0.cos  xG = (V0.cos).t
G
a
G
v
OG
azG = – g vZG = –g.t + V0.sin  zG = –
2
1
.g.t² + (V0.sin).t
on peut écrire que t =
cos.
0
VxG
, on remplace cette expression dans l'expression de zG
zG = –
2
1
.g. (
cos.
0
VxG
)² + (V0.sin).
cos.
0
VxG
zG = –
2
1
.g. (
cos.
0
VxG
)² + xG.tan 
Cette équation de trajectoire correspond effectivement a une parabole sauf si  = 90°
La proposition est donc fausse.
Si  = 90°
axG = 0 vxG = v0x = V0.cos  = 0 xG = 0
G
a
G
v
OG
azG = – g vZG = –g.t + V0.sin  zG = –
2
1
.g.t² + V0.t
vZG = –g.t + V0
Alors la trajectoire serait un segment de droite verticale.
1.4. On reprend les coordonnées du vecteur position établies en 1.3. avec  = 0 (vecteur vitesse initiale
horizontal)
xG = (V0.cos).t xG = V0.t
OG
soit
OG
zG = –
2
1
.g.t² + (V0.sin).t zG = –
2
1
.g.t²

Lorsque zG = – H alors le projectile touche le sol, ceci a lieu à l'instant noté tS
–H = –
2
1
.g.tS²
soit tS² =
g
H2
donc tS =
g
H2
On calcule alors l'abscisse xG à cet instant: xG = V0.tS
xG = V0.
g
H2
L'affirmation est vraie.
2.1. La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite a pour expression:
FTS = G.
)²(.hR Mm
T
T
soit G =
T
TST Mm hRF )²(
procédons à une analyse dimensionnelle
tout d'abord pour la force FTS: d'après la seconde loi de Newton FTS = ma
[F] = [M]
]²[][ T
L
donc [G] = [M]
]²[][ T
L
 [L]²  [M]–1  [M]–1
[G] =
]²[][ 3 T
L
 [M]–1
G s'exprime en m3.s–2.kg–1
L'affirmation est fausse.
2.2. D'après la deuxième loi de Newton :
ext
F
= m.
G
a
La seule force subie par le satellite est la force
ST
F
exercée par la Terre.
Or cette force a pour direction une droite passant par le centre de la Terre et son sens est orienté du satellite
vers le centre de la Terre.
Donc effectivement,
G
a
est centripète.
L'affirmation est vraie.
2.3.
ST
F
= m.
G
a
Soit un vecteur
n
mobile dont la direction est une droite joignant le centre du satellite au centre de la Terre
et le sens est orienté du satellite vers la Terre.
Alors
G
a
=
)(
2
hRV
T
n
ST
F
= m.
)(
2
hRV
T
n
Par projection on obtient FTS = m.
)(
2
hRV
T
G.
)²(.hR Mm
T
T
= m.
)(
2
hRV
T
G.
)( hRM
T
T
= V² soit V =
)( .hR MG
T
T
Proposition vraie

2.4. Le satellite effectue une révolution en une durée T.
Il parcourt sa trajectoire supposée circulaire de longueur égale à 2(RT+h) pendant une durée T et ce à une
vitesse supposée constante de valeur V =
)( .hR MG
T
T
V =
ThRT).(2
=
)( .hR MG
T
T
T =
)( .
).(2
hR MG
hR
T
T
T
T² =
T
TT MG hRhR .)()²².(4 
=
T
T
MG hR .)².(4 3
T² =
2411
33
1098,51067,6 )10)128006380((²4
T² = 6,98108 (valeur non arrondie à utiliser pour accéder à T)
donc T = 2,64104 s
La proposition est vraie.