Amérique du Sud 2004

Amérique du Sud 2004
Exercice 1 Mouvements plans (4pts)
Calculatrice autorisée
1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids.
D'après la deuxième loi de Newton: P = m. aG
soit m. g = m. aG
donc g = aG
Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération aG du centre d'inertie du projectile ne dépend pas des
conditions initiales.
1.2. D'après le 1.1. on a g = aG
Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = – g
dv
Or aGZ = Z donc vGZ = – g.t + V0z
soit vGZ = – g.t + V0.sin 
dt
vGZ varie au cours du temps, donc le mouvement du projeté de G suivant l'axe vertical Oz n'est pas
uniforme.
Affirmation fausse.
1.3. Il faut établir l'équation de la trajectoire de G.
vxG = v0x = V0.cos 
axG = 0
aG
vG
xG = (V0.cos).t
OG
vZG = –g.t + V0.sin 
azG = – g
zG = –
1
.g.t² + (V0.sin).t
2
xG
, on remplace cette expression dans l'expression de zG
V0. cos 
1
xG
xG
zG = – .g. (
)² + (V0.sin).
V0. cos 
V0. cos 
2
1
xG
zG = – .g. (
)² + xG.tan 
V0. cos 
2
Cette équation de trajectoire correspond effectivement a une parabole sauf si  = 90°
La proposition est donc fausse.
on peut écrire que t =
Si  = 90°
vxG = v0x = V0.cos  = 0
axG = 0
aG
vG
azG = – g
xG = 0
OG
vZG = –g.t + V0.sin 
zG = –
1
.g.t² + V0.t
2
vZG = –g.t + V0
Alors la trajectoire serait un segment de droite verticale.
1.4. On reprend les coordonnées du vecteur position établies en 1.3. avec  = 0 (vecteur vitesse initiale
horizontal)
xG = (V0.cos).t
xG = V0.t
OG
soit OG
1
1
zG = – .g.t² + (V0.sin).t
zG = – .g.t²
2
2
Lorsque zG = – H alors le projectile touche le sol, ceci a lieu à l'instant noté tS
1
–H = – .g.tS²
2
2H
2H
soit tS² =
donc tS =
g
g
On calcule alors l'abscisse xG à cet instant: xG = V0.tS
2H
x G = V0 .
g
L'affirmation est vraie.
2.1. La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite a pour expression:
m.M T
FTS = G.
(RT  h)²
F
 (RT  h)²
soit G = T  S
m  MT
procédons à une analyse dimensionnelle
tout d'abord pour la force FTS:
d'après la seconde loi de Newton FTS = ma
[L]
[F] = [M]
[T]²
[L]
donc [G] = [M]
 [L]²  [M]–1  [M]–1
[T]²
[L]3
[G] =
 [M]–1
[T]²
G s'exprime en m3.s–2.kg–1
L'affirmation est fausse.
2.2. D'après la deuxième loi de Newton : Fext = m. aG
La seule force subie par le satellite est la force FT  S exercée par la Terre.
Or cette force a pour direction une droite passant par le centre de la Terre et son sens est orienté du satellite
vers le centre de la Terre.
Donc effectivement, aG est centripète.
L'affirmation est vraie.
2.3. FT  S = m. aG
Soit un vecteur n mobile dont la direction est une droite joignant le centre du satellite au centre de la Terre
et le sens est orienté du satellite vers la Terre.
V2
Alors aG =
n
(RT  h)
FT  S = m.
V2
n
(RT  h)
Par projection on obtient FTS = m.
V2
(RT  h)
G.
V2
m.M T
= m.
(RT  h)
(RT  h)²
G.
MT
= V²
(RT  h)
soit V =
G.MT
(RT  h)
Proposition vraie
2.4. Le satellite effectue une révolution en une durée T.
Il parcourt sa trajectoire supposée circulaire de longueur égale à 2(RT+h) pendant une durée T et ce à une
G.MT
vitesse supposée constante de valeur V =
(RT  h)
V=
T=
T² =
2.(RT  h)
=
T
G.MT
(RT  h)
2.(RT  h)
G.M T
(RT  h)
4².(RT  h)3
4².(RT  h)²  (RT  h)
=
G.MT
G.MT
4²  ((6380  12800)  103)3
6,67  1011  5,98  1024
T² = 6,98108 (valeur non arrondie à utiliser pour accéder à T)
donc T = 2,64104 s
La proposition est vraie.
T² =