Feuille d`exercices 6 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1- Licence MIEE
Module AN2
Année 2010-2011
Feuille d’exercices 6
Exercice 1. Soit u une suite réelle. On définit une nouvelle suite v par
(
0
si n est impair
n ∈ N 7−→ vn =
un/2 si n est pair.
Montrer que les séries ∑n un et ∑n vn sont de même nature et ont, le cas échéant, la même
somme.
√
Exercice 2.
1. Montrer que si x et y sont deux nombres réels positifs, alors xy ≤ x+y
2 .
2. En déduire que si ∑n un et ∑n vn sont deux séries convergentes à termes positifs, alors la
√
série ∑n un vn est convergente.
3. Soit ∑n un une série convergente à termes positifs. Montrer que la série ∑n≥1
convergente.
√
un
n
est
Exercice 3.
1. Soient ∑n un et ∑n vn deux séries à termes positifs. Montrer que la série
∑n max(un , vn ) converge si et seulement si les deux séries ∑n un et ∑n vn sont convergentes.
2. Trouver deux séries divergentes ∑n un et ∑n vn , à termes positifs, telles que min(un , vn ) = 0
pour tout n.
Exercice 4. Dans chacun des cas suivants, montrer que la série de terme général (un )n∈N
converge et calculer sa somme :
1
1
1
1
(a) un = ln 1 − n2 , n ≥ 2 (b) un = n(n+1)(n+2)
, n ≥ 1 (c) un = (n + 1) n+1 − n n , n ≥ 1
(d) un = ln
n2 +2n+1
,
n2 +2n
n≥1
(e) un =
√1
n
1
− √n+1
, n ≥ 1 (f) un =
1
,
n2 −1
n ≥ 2.
Exercice 5. Dans les deux cas suivants, montrer que la série de terme général (un )n∈N diverge :
√ √
n
n
(a) un = (−1) , n ≥ 0
(b) un = n ln √
, n ≥ 2.
n+1
Exercice 6. Pour quelles valeurs du nombre réel a la série de terme général (ena )n∈N est-elle
convergente ? Peut-on alors calculer sa somme ?
Exercice 7. Soit a un nombre réel non nul. On définit une suite u par : un = ch(n)
an pour tout
1 x
−x
n ∈ N. (La fonction cosinus hyperbolique ch est définie par ch(x) = 2 (e + e )).
1. Montrer que si |a| > e, la série de terme général un est absolument convergente.
2. Montrer que si |a| ≤ e, la série de terme général un est divergente
1
Exercice 8. Soit a un réel strictement positif. Étudier la nature des séries dont le terme général
est :
√
(a) n! an
(b) n(n + 1) an
(c) an ln(n) 2n + 1
nn
a n2
nln(n)
(d) n
(e) 1 +
(f)
4 n!
n
(ln(n))n
Exercice 9. Étudier la nature des séries dont le terme général est :
r
n + cos n
1
ln(n)
(a) 3
(b) ln 1 + 2
(c)
n +1
n
n
nn
(sin(n))2
1
(f)
(d)
(e)
1
n2
(n + 1)(n + 2) . . . (n + n)
n√× n n
2n
Z 1
n
n ln(n)
dt
n−1
(i)
(g)
(h) 2
n
n+1
n +1
0 1+t
Exercice 10. Soit a un réel strictement positif. On définit une suite u par : u0 = a, un+1 =
un
un − 1+u
pour tout n ∈ N.
n
1. Montrer que la suite u est bien définie, strictement positive et strictement décroissante.
2. Montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite.
3. Montrer que pour tout n ∈ N on a
un est convergente.
un
1+u0
≤
un
1+un .
Exercice 11. Soit u une suite à termes positifs.
Montrer que les séries de termes généraux un et vn =
En déduire que la série de terme général
un
sont de même nature.
1 + un
Exercice 12. Soit u une suite réelle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies,
lesquelles sont fausses ? Justifier les réponses (démonstration des affirmations vraies et contreexemples pour les affirmations fausses)
un+1
1. Si un > 0 pour tout n et si la série ∑ un converge, alors la suite
a une limite
un
strictement plus petite que 1.
2. Si un > 0 pour tout n et si la série ∑ un converge, alors la série de terme général un 2
converge.
3. Si lim ((−1)n n un ) = 1, alors la série ∑ un converge.
n→∞
4. Si lim ((−1)n n2 un ) = 1, alors la série ∑ un converge.
n→∞
Exercice 13. Soient a et b des nombres réels strictement positifs.
On pose u1 = b, u2 = ab et plus généralement u2n = an bn et u2n+1 = an bn+1 .
1. À quelle condition la suite
un+1
un
a-t-elle une limite ?
1
2. Calculer la limite de (un ) n . Montrer que si ab 6= 1 la règle de Cauchy permet d’étudier la
série de terme général un .
Pour quelles valeurs de a et b la règle de d’Alembert permet-elle d’étudier cette série ?
3. On suppose ab = 1. La série de terme général un est-elle convergente ?
2
Exercice 14. Soit f : [1, +∞[→ R une fonction décroissante et positive. Pour tout entier n ≥ 1
on pose un = f (n) −
Z n+1
f (t)dt.
n
1. Montrer que l’on a 0 ≤ un ≤ f (n) − f (n + 1) pour tout entier n ≥ 1. En déduire que la
série de terme général un est convergente.
2. Montrer que la suite de terme général (∑ni=1 1i ) − ln(n) est convergente.
∑n 1
En déduire que l’on a lim i=1 i = 1.
n→∞ ln(n)
Exercice 15. Déterminer la nature de la série dont le terme général est
(−1)n
n
∑ni=1 1i .
Exercice 16. Étudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme général
est :
√
(−1)n
(−1)n n + 1
(−1)n
ln(n)
(c)
(a) 2
(b)
n + sin(n2 )
n√
n
(−1)n
cos( n)
√
(d)
(e)
th n
n n
(La fonction tangente hyperbolique th est définie par th x =
ex −e−x
ex +e−x ).
"
#
(−1)n+1 n (−1)i+1
.
Exercice 17. Déterminer la nature de la série dont le terme général est
∑ i
n
i=1
(Le crochet s’écrit S−Rn où S est la somme est Rn est le reste d’ordre n d’une série convergente).
∞
Exercice 18. Démontrer que
∑
i=2
(−1)i 1
= .
i2 − 1 4
3