fonction exponentielle de base q

fonction exponentielle de base q
Table des matières
1 fonction exponentielle de base q:x7−→ qxavec q > 02
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 fonction exponentielle de base e 8
2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 fonctions avec eu11
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 devoir maison 15
4.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1

1 fonction exponentielle de base q:x7−→ qxavec q > 0
1.1 activités

activité 1 : (croissance, décroissance exponentielle, continuité)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
02468−2−4−6−8−10 x
qx
x7−→ 1,25x x7−→ 0,8x
x7−→ 1x
une ville compte actuellement
1 millier d’habitants
1. si la variation annuelle est de 25%
(a) calculer la population dans 1,2,10 ans
(b) exprimer la population p(x)dans xannées
(c) montrer qu’une variation annuelle de 25%
équivaut à une variation mensuelle
d’environs 1,877%
en déduire la population dans 6mois
(d) proposer un moyen de retrouver ce résultat
directement avec p(x)
(e) déterminer la population dans 7ans et 3mois
(f) quelle était la population il y a 1,2,10 ans ?
(g) quelle était la population il y a 3ans et demi ?
(h) quelle est la nature de la fonction p:x7−→ 1,25x?
2. si la variation annuelle est de −20%
(a) calculer la population dans 1,2,10 ans
(b) exprimer la population r(x)dans xannées
(c) déterminer la population dans 7ans et 2mois
(d) quelle était la population il y a 8ans et demi ?
(e) quelle est la nature de la fonction r:x7−→ 0,8x?
3. (a) que donne la calculatrice pour −0,52et −0,52,5
(b) pour quelles valeurs de q,f(x) = qxsemble t-elle définie pour tout nombre réel xde R?
4. essayer de trouver xpour que 0,8x= 0 ou 0,8x=−1ou 1,25x= 0 ou 1,25x=−1?
5. conjecturer le sens de variation et les limites de x7−→ qxen fonction de q
activité 2 : (propriétés algébriques)
1. on admet que les égalités sur les puissances entières vues au collège se prolongent aux nombres réels,
compléter alors les égalités suivantes :
(a) quels que soient a∈R+∗,x∈Ret y∈R:ax×ay=...
(b) quels que soient a∈R+∗,x∈Ret y∈R:ax
ay=...
(c) quels que soient a∈R+∗et x∈R:1
ax=...
(d) quels que soient a∈R+∗,x∈Ret y∈R:(ax)y=...
(e) quels que soient a∈R+∗,b∈R+∗et x∈R:ax×bx=...
(f) quels que soient a∈R+∗,b∈R+∗et x∈R:ax
bx=...
(g) quel que soit a∈R+∗:a0=...
2. Montrer que A=B
(a) A= 8 ×2xet B= 2x+3
(b) A= 100 ×0,01xet B= 102−2x
(c) A=4
0,25xet B= 4x+1
(d) A= 6 ×0,2x×5×5xet B= 30
(e) A=16x
0,53et B= 24x+3
(f) A=15 ×0,3x
10 ×0,1xet B= 0,5×3x+1

1.2 à retenir
définition 1 :(fonction exponentielle de base q)
quel que soit le nombre réel positif strict q > 0:
fest la fonction exponentielle de base q⇐⇒ quel que soit x∈R:✞
✝☎ ✆
f(x) = qx
exemples :
i. fonction exponentielle de base 2:f(x) = 2x
ii. fonction exponentielle de base 0,5:f(x) = 0,5x
propriété 1 :(fonction exponentielle de base q)
quels que soient les réels a > 0,b > 0,xet y
✞
✝☎ ✆
ax×ay=ax+y☛
✡
✟
✠
ax
ay=ax−y✞
✝☎ ✆
(ax)y=axy ☛
✡
✟
✠
1
ax=a−x☛
✡
✟
✠
ax
bx= (a b)x
✞
✝☎ ✆
ax×bx= (ab)x✞
✝☎ ✆
a0= 1 ✞
✝☎ ✆
a1=a✞
✝☎ ✆
ax>0(un exponentiel est positif strict)
propriété 2 :(limite et sens de variation )
quel que soit le nombre réel positif strict q > 0:
si ✞
✝☎ ✆
q > 1
alors f:x7−→ qxest ✄
✂ ✁
strictement croissante ☛
✡✟ ✠
lim
x→+∞qx= +∞☛
✡✟ ✠
lim
x→−∞ qx= 0
q > 1
si ✞
✝☎ ✆
q= 1
alors f:x7−→ qxest ✄
✂ ✁
constante ☛
✡✟ ✠
lim
x→+∞qx= 1 ☛
✡✟ ✠
lim
x→−∞ qx= 1
q= 1
si ✞
✝☎ ✆
0< q < 1
alors f:x7−→ qxest ✄
✂ ✁
strictement décroissante ☛
✡✟ ✠
lim
x→+∞qx= 0 ☛
✡✟ ✠
lim
x→−∞ qx= +∞
0< q < 1
exemples :
i. soit la fonction fdéfinie par f(x) = (4
5)x
q=4
5= 0,8donc 0< q < 1donc fest strictement décroissante lim
x→+∞(4
5)x= 0,lim
x→−∞(4
5)x= +∞
ii. soit la fonction fdéfinie par f(x) = (5
4)x
q=5
4= 1,25 donc q > 1donc fest strictement croissante lim
x→+∞(5
4)x= +∞,lim
x→−∞(5
4)x= 0
remarques :
i. avec a∈Ret q > 0, pour résoudre l’équation : ✞
✝☎ ✆
qx=aen valeur exacte
on utilisera ultérieurement la fonction logarithme népérien (sinon la calculatrice pour une valeur
approchée)
3x= 12 pour x≃2,262 au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée
ii. avec a∈Ret q > 0, pour résoudre l’équation : ✄
✂ ✁
xq=a
on utilise la première propriété : ✄
✂ ✁
xq=a⇐⇒ (xq)1/q =a1/q ⇐⇒ (x)q/q =a1/q ⇐⇒ ✞
✝☎ ✆
x=a1/q
x3= 12 ⇐⇒ x= 121/3(valeur exacte) ≃2,289 (valeur approchée)
(ou bien au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée)

1.3 exercices
exercice 1 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
02468−2−4−6−8−10 x
f(x)g(x)
1. conjecturer la nature des fonctions
fet g
2. sous cette hypothèse, déterminer les
formules des deux fonctions sachant
que les points marqués sont sur les
courbes
3. à quelles variations relatives
correspondent-elles à 1% près ?
4. Cgpasse t-elle par A(−7; 8) ?
5. Cfpasse par B(x; 3), que vaut x?
exercice 2 :
soit le taux d’évolution annuel de t= 24%
1. trouver le taux mensuel équivalent à tà0,01% près
2. trouver le taux trimestriel équivalent à tà0,01% près
3. trouver le taux semestriel équivalent à tà0,01% près
4. trouver le taux quotidien équivalent à tà0,01% près
exercice 3 :
une personne placé il y a quelques temps une certaine somme sur un compte épargne à 5% d’intérêts
annuels et a ce jour, le compte a un solde de 992 e
1. la personne souhaite fermer son compte dans deux an trois mois et quatre jours, quel sera alors le
solde du compte ? (une année = 365,25 jours ; un mois = 30,4375 jours)
2. le compte a été crée il y a 10 ans trois mois et 20 jours, combien la personne a t-elle placé initialement ?
3. combien de jours devrait-elle attendre au minimum pour que son compte contienne 2000 e?(on
considère que la banque arrondi à l’euro inférieur)
exercice 4 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
02468−2−4−6−8−10 x
f(x)
g(x)
on sait que f(x) = 1,5xet g(x) = 1,25x
1. graphiquement,en combien de points ces
courbes semblent-elles pouvoir se couper ?
2. trouver la réponse algébriquement
( montrer que f(x) = g(x)⇐⇒ f(x)
g(x)= 1
⇐⇒ 1,2x= 1 puis conclure)