fonction exponentielle de base q

fonction exponentielle de base q
Table des matières
1 fonction exponentielle de base q : x 7−→ q x
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 corrigé devoir maison . . . . . . . .
q
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>0
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2
2
4
5
6
6
2 fonction exponentielle de base e
2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
3 fonctions avec eu
3.1 activité . . . . .
3.2 à retenir . . . . .
3.3 exercices . . . . .
3.4 corrigés exercices
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11
11
11
12
14
4 devoir maison
4.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
16
18
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avec
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1
1.1
fonction exponentielle de base q : x 7−→ q x avec q > 0
activités
activité 1 : (croissance, décroissance exponentielle, continuité)
qx
une ville compte actuellement
1 millier d’habitants
b
b
9
1. si la variation annuelle est de 25%
(a) calculer la population dans 1, 2, 10 ans
8
(b) exprimer la population p(x) dans x années
b
(c) montrer qu’une variation annuelle de 25%
équivaut à une variation mensuelle
d’environs 1, 877%
en déduire la population dans 6 mois
x 7−→ 0, 8x
7
6
b
(d) proposer un moyen de retrouver ce résultat
directement avec p(x)
(f) quelle était la population il y a 1, 2, 10 ans ?
b
4
b
(g) quelle était la population il y a 3 ans et demi ?
(h) quelle est la nature de la fonction p : x 7−→ 1, 25x ?
b
b
b
3
2. si la variation annuelle est de −20%
b
b
(a) calculer la population dans 1, 2, 10 ans
2
b
(b) exprimer la population r(x) dans x années
b
b
b
b
(c) déterminer la population dans 7 ans et 2 mois
b
b
b
b
b
(d) quelle était la population il y a 8 ans et demi ?
(e) quelle est la nature de la fonction r : x 7−→
b
5
b
(e) déterminer la population dans 7 ans et 3 mois
0, 8x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
?
2
2,5
−10 −8 −6 −4 −2
3. (a) que donne la calculatrice pour −0, 5 et −0, 5
b
b
b
x 7−→ 1, 25x
b
1
b
b
b
b
b
0
b
b
b
b
2
b
b
b
b
4
b
b
6
b
b
x 7−→ 1x
b
b
8
(b) pour quelles valeurs de q, f (x) = q x semble t-elle définie pour tout nombre réel x de R ?
4. essayer de trouver x pour que 0, 8x = 0 ou 0, 8x = −1 ou 1, 25x = 0 ou 1, 25x = −1 ?
5. conjecturer le sens de variation et les limites de x 7−→ q x en fonction de q
activité 2 : (propriétés algébriques)
1. on admet que les égalités sur les puissances entières vues au collège se prolongent aux nombres réels,
compléter alors les égalités suivantes :
(a) quels que soient a ∈ R+∗ , x ∈ R et y ∈ R : ax × ay = ...
ax
(b) quels que soient a ∈ R+∗ , x ∈ R et y ∈ R : y = ...
a
1
(c) quels que soient a ∈ R+∗ et x ∈ R : x = ...
a
(d) quels que soient a ∈ R+∗ , x ∈ R et y ∈ R : (ax )y = ...
(e) quels que soient a ∈ R+∗ , b ∈ R+∗ et x ∈ R : ax × bx = ...
ax
(f) quels que soient a ∈ R+∗ , b ∈ R+∗ et x ∈ R : x = ...
b
+∗
0
(g) quel que soit a ∈ R : a = ...
2. Montrer que A = B
(a) A = 8 × 2x et B = 2x+3
(b) A = 100 × 0, 01x et B = 102−2x
4
et B = 4x+1
(c) A =
0, 25x
(d) A = 6 × 0, 2x × 5 × 5x et B = 30
16x
et B = 24x+3
0, 53
15 × 0, 3x
(f) A =
et B = 0, 5 × 3x+1
10 × 0, 1x
(e) A =
b
b
b
b
x
1.2
à retenir
définition 1 : (fonction exponentielle de base q)
quel que soit le nombre réel positif strict q > 0 :
✞
☎
f est la fonction exponentielle de base q ⇐⇒ quel que soit x ∈ R : f (x) = q x
✝
✆
exemples :
i. fonction exponentielle de base 2 : f (x) = 2x
ii. fonction exponentielle de base 0, 5 : f (x) = 0, 5x
propriété 1 : (fonction exponentielle de base q)
quels que soient les réels☛
a > 0, b > 0✟
, x et y
☎
✞
x
☎
✞
a
x
y
x+y
(ax )y = axy
= ax−y
✝a × a = a
✆
y
✆
a
✡
✠ ✝
✞
ax × bx = (ab)x
✝
☎
✆
☎
0
✝a = 1 ✆
✞
☎
1
✝a = a ✆
✞
☛
✟
✟
☛
a
1
ax
= a−x
= ( )x
x
x
a
b
b
✡
✠ ✡
✠
✞
☎
x >0
a
✝
✆(un exponentiel
est positif strict)
propriété 2 : (limite et sens de variation )
quel
soit le nombre réel positif strict q > 0 :
✞ que ☎
si q > 1
✝
✆
✞
☎
q>1
☛
✄
alors f : x 7−→ q x est ✂strictement croissante ✁ lim q x = +∞
x→+∞
si q = 1
✝
✆
✄
✡
☛
alors f : x 7−→ q x est ✂constante ✁ lim q x = 1
x→+∞
✞
si 0 < q < 1
✝
☎
✆
✄
✡
✟
☛
lim q x = 1
✟
☛
lim q x = 0
✠
✡
x→−∞
✟
✠
✡
✠
☛
✟
☛
x→−∞
alors f : x 7−→ q x est ✂strictement décroissante ✁ lim q x = 0
x→+∞
✡
✟
✠
q=1
0<q<1
lim q x = +∞
✠
✡
x→−∞
✟
✠
exemples :
4
i. soit la fonction f définie par f (x) = ( )x
5
4
4
4
q = = 0, 8 donc 0 < q < 1 donc f est strictement décroissante lim ( )x = 0, lim ( )x = +∞
x→+∞ 5
x→−∞ 5
5
5 x
ii. soit la fonction f définie par f (x) = ( )
4
5
5
5
q = = 1, 25 donc q > 1 donc f est strictement croissante lim ( )x = +∞, lim ( )x = 0
x→+∞ 4
x→−∞ 4
4
remarques :
✞
☎
i. avec a ∈ R et q > 0, pour résoudre l’équation : q x = a en valeur exacte
✝
✆
on utilisera ultérieurement la fonction logarithme népérien (sinon la calculatrice pour une valeur
approchée)
3x = 12 pour x ≃ 2, 262 au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée
✄
ii. avec a ∈ R et q > 0 , pour résoudre l’équation : ✂xq = a ✁
✞
☎
✄
on utilise la première propriété : ✂xq = a ✁⇐⇒ (xq )1/q = a1/q ⇐⇒ (x)q/q = a1/q ⇐⇒ ✝x = a1/q ✆
x3 = 12 ⇐⇒ x = 121/3 (valeur exacte) ≃ 2, 289 (valeur approchée)
(ou bien au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée)
1.3
exercices
exercice 1 :
1. conjecturer la nature des fonctions
f et g
9
8
7
6
5
4
3
2
1
g(x)
2. sous cette hypothèse, déterminer les
formules des deux fonctions sachant
que les points marqués sont sur les
courbes
3. à quelles variations relatives
correspondent-elles à 1% près ?
4. Cg passe t-elle par A(−7; 8) ?
5. Cf passe par B(x; 3), que vaut x ?
−10
−8
−6
−4
f (x)
0
−2
2
4
6
x
8
exercice 2 :
soit le taux d’évolution annuel de t = 24%
1. trouver le taux mensuel équivalent à t à 0, 01% près
2. trouver le taux trimestriel équivalent à t à 0, 01% près
3. trouver le taux semestriel équivalent à t à 0, 01% près
4. trouver le taux quotidien équivalent à t à 0, 01% près
exercice 3 :
une personne placé il y a quelques temps une certaine somme sur un compte épargne à 5% d’intérêts
annuels et a ce jour, le compte a un solde de 992 e
1. la personne souhaite fermer son compte dans deux an trois mois et quatre jours, quel sera alors le
solde du compte ? (une année = 365,25 jours ; un mois = 30,4375 jours)
2. le compte a été crée il y a 10 ans trois mois et 20 jours, combien la personne a t-elle placé initialement ?
3. combien de jours devrait-elle attendre au minimum pour que son compte contienne 2000 e ? (on
considère que la banque arrondi à l’euro inférieur)
exercice 4 :
on sait que f (x) = 1, 5x et g(x) = 1, 25x
9
1. graphiquement,en combien de points ces
courbes semblent-elles pouvoir se couper ?
8
f (x)
7
2. trouver la réponse algébriquement
f (x)
( montrer que f (x) = g(x) ⇐⇒
=1
g(x)
⇐⇒ 1, 2x = 1 puis conclure)
6
5
4
3
g(x)
2
1
−10 −8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
1.4
1.4.1
devoir maison
corrigé devoir maison
corrigé devoir maison
Exercice 1 : (38 p 48)
1. on remarque qu’il semble que la valeur de f (x) soit égale à 0, 25 quelle que soit la valeur de x
1 x 5
1
1 5x−1
(2 ) × 0, 55x−1 = 3 × 25x ×
= 2−3 × 25x × (2−1 )5x−1
8
2
2
☎
1
1 ✞
f (x) = 2−3 × 25x × 2−5x+1 = 2−3+5x−5x+1 = 2−2 = 2 = = 0, 25
✆
2
4 ✝
2. f (x) =
Exercice 2 : (45 p 48)
✞
1. g(x) = q x et g(1) = 2 donc q 1 = 2 donc q = 2 donc g(x) = 2x
✝
☎
✆
✞
☎
1
1
= 1, 25 donc q =
donc q = 0, 8 donc k(x) = 0, 8x
✝
✆
q
1, 25
✞
☎
√
√
√
2. h(x) = q x et h(2) = 2 donc q 2 = 2 donc q = 2 (q = − 2 est à rejeter car q > 0 ) donc h(x) = ( 2)x
k(x) = q x et k(−1) = 1, 25 donc q −1 =
3. f (x) = q x et f (0, 5) = 0, 6 donc q 0,5 =
√
✞
✝
q = 0, 6 donc q = 0, 62 = 0, 36 donc f (x) = 0, 36x
✝
✆
☎
✆
Exercice 3 : (46 p 48)
1. une baisse de 10% correspond à une multiplication par CM = 1 −
✞
machine dans t années est f (t) = 10 × 0, 9t
✝
☎
✆
2. 0 < q < 1 donc la fonction f est strictement décroissante
t
0
10
10
f (10) = 10 × 0, 910 ≃ 3, 487
f (t)
ց
≃ 3, 487
3. courbe
graphiquement,☎ la machine perd la moitié de 10000 e
✞
après 6,5 ans
✝
10
= 0, 9 donc la valeur de la
100
✆
numériquement, avec la calculatrice pour résoudre f (t) < 5
t
6,4
6,5
f (t)
5,041 4,989 on retrouve 6,5 ans
comparaison à 5 > 5
<5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x 7−→ 10 × 0, 9x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exercice 4 : (47 p 48)
✞
☎
1. f (t) = 50200 × 0, 8t (taux = -20% donne CM = 0,8)
✝
✆
2. t = 0 correspond à l’année 2011 et t = 10 correspond à l’année 2021
3. numériquement, avec la calculatrice pour résoudre f (t) < 12500
t
6,23
6,24
f (t)
12501
12473
comparaison à 12500 > 12500 <12500
✄
on trouve ≃ 6, 23 ans soit durant l’année 2011 + 6 = ✂2017 ✁
x
2
fonction exponentielle de base e
2.1
activité
soit la fonction f définie par f (x) = ex (exponentiel x)
la fonction "exponentielle de base e" appelée plus simplement "fonction exponentielle" où e ≃ 2, 718 (appelé
"nombre de Néper")
1. compléter le tableau de valeurs de de f ci dessous à 0,1 près
x
-5
-2
-1
0
1
2
commentaires :
f (x) = ex
e0 = ...
e1 ≃ ...
2. construire une partie de la courbe de f ci dessous ainsi que la tangente en x = 1
y
6
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
x
0
1
−1

quand x tend vers −∞...







quand x tend vers +∞...
commentaires :





c’est la courbe d’une fonction : convexe - concave









+∞
−∞
x
f ′ (x)
3. tableau de variation de f :
f (x) =
ex
x
4. tableau de signes de f :
−∞
+∞
f (x) = ex

 f ne ...

5. ex = 0 ⇐⇒ ...
ex = −2 ⇐⇒ ...
ex = 1 ⇐⇒ ...






lim ex = ...
x→+∞
lim ex = ...
x→−∞
f est ...
f est ...
ex = 2 ⇐⇒ ...
6. sachant que les tangentes sont en pointillés, compléter à 0,01 près
x
-1
0
1
2
f (x) = ex
f ′ (x)
commentaires :
 ′
 f (x) = ...

(ex )′ = ...
à 0,001
2.2
à retenir
définition 2 : (fonction exponentielle de base e)
✞
la fonction "exponentielle de base e" est définie sur R par : f (x) = ex
✝
☎
✞
où e ≃ 2, 718
✆
✝
☎
✆
remarques :
i. e est appelé nombre de Néper
ii. la fonction est appelé la "fonction exponentielle"
iii. ex existe pour tout nombre réel x
propriété 3 : (propriétés algébriques)
quels que soient les réels x☛et y
✟
✞
☎
x
e
x
y
x+y
= ex−y
y
✝e × e = e
✆
e
✡
✠
✞
☎
✞
☎
x >0
e
✝
✆(un exponentiel
1
✝e = e ✆
propriété 4 : (variations et limites)




x
−∞
+∞



′

f (x)
+

+∞



ex
ր




0

propriété 5 : (signe)
x
ex
−∞
✞
(ex )y
✝
=
exy
est positif strict)
☎
✆
✟
1
= e−x
x
e
✡
✠
✞
☎
0
✝e = 1 ✆
y
☛
✡
☛
lim ex = +∞.
x→+∞
✡
lim ex = 0.
x→−∞
✄
✟
✟
f (x) = ex
✠
0
✠
x 7−→ ex est ✂strictement croissante ✁sur R
 ✞
☎
x

 ✝e ne s’annule pas sur R ✆
+∞
☛
✞
☎

 ex est positif strict pour tout x ∈ R
+
✝
✆
propriété 6 : (dérivation)
f ′ (x)
f (x)
✄
x
✞✂e ✁ ☎
✄
x
✂e ✁
✄
ax+b
x
✝e✄
✆ ✞
✂☎ae ✁ où a ∈ R et b ∈ R
u
′ u
✂e ✁
✝u e ✆où u est une fonction dérivable
exemples
i. f (x) = 4x3 − 5x2 + 8x − 5 +
ii. f (x) = e5x−8 =⇒ ...
iii. f (x) = e3x
2 −8x+10
2
− 8ex =⇒ ...
x
=⇒ ...
propriété 7 : (équations inéquations)
quels
✞ que soient les réels☎x et y ✞
☎
(1) ex = ey ⇐⇒ x = y
(2) ex < ey ⇐⇒ x < y
✝
✆
✝
✆
on voit
✞ dans le chapitre
☎ sur la fonction logarithme népérien que :
(3) ex = y ⇐⇒ lny
✝
✆
où y doit être positif strict et lny est le logarithme népérien de y donné par la calculatrice
x
2.3
exercices
exercice 5 :
1. simplifier les expressions suivantes
e8
3
+ (e2 )3 − −6 + e0
e2
e
1
(b) B = 7e6 e6a−6 ( 6 )a − 6
e
(a) A = e8 × e−2 +
(c) C(x) = (ex + 1)(ex − 1) − (ex+1 )(ex−1 )
(d) D(x) =
e3x+1
1
− ( −2x )3
e1−3x
e
2. démontrer que A(x) = B(x) pour tout x ∈ R
ex + 1
1 + e−x
;
B(x)
=
ex − 1
1 − e−x
1
e0,26x
; B(x) = 0,26x
−0,26x
1 + 99e
e
+ 99
4
4
(b) A(x) = (ex + e−x )2 ; B(x) = (ex − e−x )2 + 4 (d) A(x) = 1 + e−x ; B(x) = 4 − 1 + ex
(a) A(x) =
(c) A(x) =
exercice 6 :
calculer les dérivées des fonctions suivantes
1. f (x) = x + 3 − ex
2. f (x) = x2 − 2x + 10ex
5
1
3. f (x) = 2ex − −x +
e
x
4. f (x) = xex
5. f (x) = (2x + 1)ex
3x2 − 4x + 2
e−x
x
e −1
7. f (x) = x
e +1
3ex
8. f (x) =
4 + ex
6. f (x) =
exercice 7 :
1. Soit la fonction f définie sur [−10; 10] par : f (x) = (2x − 1)ex
(a) quel est le signe de f (x) en fonction des valeurs de x ?
(b)
i. montrer que f ′ (x) = (2x + 1)ex
ii. en déduire les variations de f
iii. donner la valeur exacte du minimum de f
(c) étudier algébriquement la convexité de f ainsi que ses éventuels points d’inflexions
2. si f (x) représente le bénéfice passé et prévisionnel d’une entreprise de "il y a dix ans" à "dans dix
ans" où x représente le nombre d’années à compter de cet instant
(a) décrire en quelques mots l’évolution et le signe du bénéfice de l’entreprise sur la période considérée
exercice 8 :
4ex − 2
5ex − 1
1. étudier les variations de f et donner le tableau de variations
Soit la fonction f définie sur [0; 10] par : f (x) =
2. si f (x) modélise la proportion de la population d’une ville équipée en connexion internet où x est le
nombre d’années comptées à partir de ce jour
(a) décrire l’évolution de l’équipement de cette ville en connexion internet
(b) au delà des 10 ans, combien de temps attendre pour que 80% de la ville soit équipée en connexion
internet ?
i. utiliser la calculatrice pour une recherche empirique
ii. démontrer le résultat algébriquement
(c) selon ce modèle, à combien de jours faut-il remonter pour que personne ne soit équipé en connexion
internet dans cette ville ?
fonctions avec eu
3
3.1
activité
1. On sort un thermomètre d’un congélateur à la date x = 0, congélateur réglé sur −10◦ C
On le laisse posé sur une table à la température ambiante de 20◦ C
La température T indiquée par le thermomètre est donnée en fonction de x par une fonction exponentielle
de la forme T (x) = 20 − 30e−0,1x
(a) calculer T ′ (x)
(b) en déduire le sens de variation de T
(c) donner le tableau de variation de T sur [0; +∞[ en conjecturant la valeur de lim T (x) à la calculatrice
x→+∞
2. Après administration d’un médicament par injection intraveineuse, la concentration de la substance médicamenteuse dans le sang C évolue en fonction du temps et peut-être décrite par une fonction du type
C(t) = C0 e−Kt dans laquelle C(t) représente la concentration t secondes après l’injection, C0 > 0 la
concentration initiale et K > 0, la constante d’élimination
(a) calculer C ′ (t) en fonction de C0 et K
(b) en déduire le sens de variation de C
(c) donner le tableau de variation de C sur [0; +∞[ et essayer de justifier la valeur de lim C(t)
x→+∞
3.2
à retenir
propriété 8 : (dérivation et sens de variation)
quelle que soit la fonction u définie et dérivable sur l’intervalle I
✞
(1) la fonction eu : x 7−→ eu(x) est définie pour tout x ∈ I
✞
(2) (eu )′ = u′ eu
☎
✝
✝
✆
✄
(3) ✂u et eu ont le même sens de variation ✁sur I
exemples :
i. f (x) = e−3x+2 est définie pour ...
f ′ (x) = ...
le sens de variation de f est ...
√
ii. f (x) = e
x
est définie pour ...
f ′ (x) = ...
le sens de variation de f est ...
☎
✆
3.3
exercices
exercice 9 :
1. rappeler la dérivée de eu où u est une fonction dérivable définie sur un intervalle I
2. dans chaque cas
(a) préciser le domaine de définition de f
(b) calculer f ′ (x)
(c) en déduire le sens de variation de f sur le domaine de définition
i. f (x) = e−3x+4
ii. f (x) = e−8+2x
iii. f (x) = e3x
2 −3x+12
3 −3t+2
iv. f (t) = e4t
v. f (x) = 10e−3x+4
x2 − 4x + 3
e0,5x
−x
4x
−4x
vii. f (x) = 8e − 3e + 5e
3
xi. f (x) = −5x
−4x
e
+4
viii. f (x) = 3xe
e−0,5x+2
xii. f (x) =
ix. f (x) = (4x − 1)e2x
2x
vi. f (x) = −5e3x
2 −4x+12
x. f (x) =
exercice 10 : (D’après Polynésie – Septembre 2 007)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = (ax + b)e−x où a et b sont deux réels.
On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur [0 ; +∞[ et on note (C) la courbe représentative de f dans
un repère orthonormal.
1. On sait que (C) passe par le point E(0 ; 1) et qu’elle admet au point d’abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f (0) et f ′ (0).
2. Vérifier que f ′ (x) = (−ax + a − b)e−x
3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b.
Partie B
Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = (x + 1)e−x
1. (a) Calculer f ′ (x).
(b) Étudier le signe de f ′ (x) sur [0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations complet de f .
2. (a) Montrer que l’équation f (x) = 0, 5 possède une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 4].
(b) Déterminer un encadrement de α à 10−3 près.
Partie C
Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de [0 ; 4].
Le prix de revient d’une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l’expression :
f (q) = (q + 1)e−q .
1. Combien coûte, en moyenne, à l’euro près, la production de 4000 pièces ?
2. À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d’une pièce est-il inférieur à 0, 5 euro ?
exercice 11 :
1. soit la fonction définie par f (x) = 5e−0,5x
(a) calculer
f ′ (x)
2 +6x−18
pour x ∈ [0; 12]
et en déduire le tableau de variation de f pour x ∈ [0; 12]
(b) quelle est la valeur du maximum de f pour x ∈ [0; 12] et pour quelle valeur de x est-il atteint ?
(c)
i. combien de solutions l’équation f (x) = 4 admet-elle ?
ii. déterminer à la calculatrice une valeur approchée de la (des) solution(s) éventuelle(s) à 0,1
près
2. Pour un certain hôtel qui ouvre ses portes le premier Janvier 2013, le nombre de centaines de réservations est estimé en fonction du nombre x de mois passés à compter du premier janvier 2013 par la
fonction f ci dessus
(a) estimer le nombre de réservations 6 mois après l’ouverture des portes
(b) quel nombre maximal de réservations devrait-il faire et à quelle date ?
(c) après combien de temps atteint-il les 400 réservations ?
(d) que se passe t-il pour le nombre de réservations à long terme ?
3.4
corrigés exercices
corrigé exercice 1 : (D’après Polynésie – Septembre 2 007)
Partie A
✞
1. (C) passe par le point E(0 ; 1) donc f (0) = 1
✝
☎
✆
✞
(C) admet au point d’abscisse 0 une tangente horizontale donc f ′ (0) = 0
✝
2. f = uv donc =
+
☎
✞
f ′ (x) = ae−x + (ax + b)(−1) × e−x = (−ax + a − b)e−x
f′
u′ v
uv ′
✝
3.
f ′ (0)
= 0 donc (a − b) ×
e−0
✆
✆

 f (0) = 1 donc (a × 0 + b) × e−0 = 1 donc b × e−0 = 1 donc b = 1

☎
donc f (x) = (x + 1)e−x
= 0 donc a − b = 0 donc a = b donc a = 1
Partie B
☎
✞
1. (a) f ′ (x) = −ax + a − b)e−x = (−x + 1 − 1)e−x = ✝−xe−x ✆
(b) −x est un binôme
e−x est strictement positif en tant qu’exponentiel
d’où le tableau de signes et de variations suivant :
valeur de x
signe de −x
signe de e−x
signe de f ′ (x)
0
0
variations de f (x)
annulations
−x = 0 ⇐⇒ x = 0
+∞
+
ց

f (0) = 1(1 > 0, 5)



f (4) = 4 + 1 × e−4 ≃ 0, 09(0, 09 < 0, 5)
2. (a)
f est continue sur [0; 4]



f est strictement décroissante sur [0; 4]
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f (x) = 0, 5 possède une solution
unique α dans [0; 4]
✞
☎
(b) La calculatrice permet de voir que 1, 678 < α < 1, 679 car :
✝
✆
f (1, 678) ≃ 0, 5001 > 0, 5 et f (1, 679) ≃ 0, 4998 < 0, 5
Partie C
1. Pour une production de 4000 pièces, le prix de revient d’une pièce ✞
est de : f☎(4) = 5 × e−4 euros
−4
Le coût de production de 4000 pièces est donc : 4000 × 5 × e ≃ 366, 3 e
✄
✝
✆
2. À partir de ✂1679 ✁pièces produites le prix de revient d’une pièce est inférieur à 0, 5 euro
4
4.1
devoir maison
devoir maison 1
devoir maison
Exercice 1 : (81p55)
soit la fonction f définie sur R par f (x) = (x2 − x + 1)e−x
1. on note f ′ la fonction dérivée de f
(a) démontrer que f ′ (x) = (−x2 + 3x − 2)e−x
(b) établir le tableau de variations de f
2. donner une équation de la droite tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0
3. tracer dans un repère, la courbe de f ainsi que la tangente précédente
(échelle : 1 unité pour 2cm en abscisses et 20cm en ordonnées)
4. (a) conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0, 4
(b) déterminer à la calculatrice, une valeur approchée au centième de la plus grande des solutions de
l’équation précédente
Exercice 2 : (101p59)
soit la fonction f définie sur R par f (x) = 50xe−0,5x+1
la courbe de f est partiellement représentée ci dessous
les unités des axes sont effacées
A est la point de la courbe abscisse 4
B est le point de la courbe d’ordonnées maximale
y
0
x
1. (a) calculer les valeurs exactes de f (0), f (2), f (4), f (7) à 10−2 près
(b) démontrer que f ′ (x) = (50 − 25x)e−0,5x+1
(c) établir le tableau de variations de f
2. expliquer comment l’étude de la fonction , permet de trouver les unités utilisées sur chacun des axes
3. un laboratoire teste la qualité d’un composant d’une nouvelle crème solaire. Il agit comme un réservoir
d’hydratation pour la peau. Pour cela, on mesure le taux d’hydratation de la peau, x heures après
l’application
la fonction f correspond au taux mesuré, exprimé en pourcentage, pendant 7 heures
(a) sur quel intervalle doit-on considérer f pour tester la qualité de la crème ?
(b) quelle information la valeur de f (4) donne t-elle au laboratoire ?
(c) indiquer le moment où le taux est maximal
(d) déterminer graphiquement les moments où le taux est égal à 30%
4. on peut commercialiser la crème si le taux d’hydratation dépasse 50% pendant au moins six heures.
Le laboratoire peut-il commercialiser cette crème ?
4.2
corrigé devoir maison 1
devoir maison
Exercice 1 : (81p55)
soit la fonction f définie sur R par f (x) = (x2 − x + 1)e−x
1. on note f ′ la fonction dérivée de f
′
′
′
(a) f = uv
donc f2 = u v + uv ′
u = x − x + 1 =⇒ u = 2x − 1
avec
v = e−x =⇒ v ′ = −e−x
donc
f ′ (x) = (2x − 1)e−x + (x2 − x + 1)(−e−x )
f ′ (x) = e−x [(2x − 1) − (x2 − x + 1)]
f ′ (x) = e−x [2x − 1 − x2 + x ☎
− 1]
✞
′
2
−x
f (x) = (−x + 3x − 2)e
✝
✆
(b) établir le tableau de variations de f
f ′ (x) est du signe du trinôme −x2 + 3x − 2
car e−x > 0 en tant qu’exponentiel
on a donc le tableau suivant
−x2
x
−∞
1
2
+∞ annulations à la calculatrice
+ 3x − 2
− 0 + 0 −
∆ = 1 ; x1 = 1 et x2 = 2
f ′ (x)
− 0 + 0 −
d’où le tableau de variations complet de f sur ] − ∞; +∞[
x
−∞
1
2
+∞
f ′ (x)
−
0
+
0
−
≃ 0, 41
f (x)
ց
ր
ց
≃ 0, 37
2. équation de la droite tangente à la courbe de f au point d’abscisse x = 0
′
on sait
 que y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
 x0 = 0
✞
☎
f ′ (x0 ) = f ′ (0) = (−02 + 3 × 0 − 2)e−0 = −2 donc y = −2x + 1
avec
✝
✆

f (x0 ) = f (0) = (02 − 0 + 1)e−0 = 1
3. courbe et tangente
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
pour construire la tangente
x
0 0.5
y = −2x + 1 1
0
pour construire la courbe
x
0
1
2
3
f (x) 1 0, 37 0, 41 0, 35
x
2
3
4
✄
4. (a) graphiquement le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0, 4 est ✂3 ✁
x
2, 30
2, 31
(b)
f (x)
≃ 0, 40003
≃ 0, 399
comparaison à 0, 4 f (x) > 0, 4 f (x) < 0, 4
✞
☎
donc la plus grande solution est α avec 2, 30 < α < 2, 31
✝
✆
4
0, 24
5
0, 14
Exercice 2 : (101p59)
y
80
60
≃ 5 heures
40
20
0
x
00
2
4
✄
6
✞
8
☎✞
10
☎✞
☎
1. (a) f (0) = 50 × 0 × e−0,5×0+1 = ✂0 ✁, f (2) = 100 , f (4) ≃ 73, 58 , f (7) ≃ 28, 73
✝
✆✝
✆✝
✆
′
′
′
(b) f = uv
uv
donc f = u v +
u = 50x =⇒ u′ = 50
avec
v = e−0,5x+1 =⇒ v ′ = −0, 5e−0,5x+1
donc
f ′ (x) = 50e−0,5x+1 + 50x(−0, 5e−0,5x+1 )
f ′ (x) = e−0,5x+1 [50 + 50x × (−0, 5)]
f✞′ (x) = e−0,5x+1 [50 − 25x] ☎
f ′ (x) = (50 − 25x)e−0,5x+1
✝
✆
(c) f ′ (x) est du signe du binôme 50 − 25x
car e−0,5x+1 > 0 en tant qu’exponentiel
on a donc le tableau suivant
x
50 − 25x
−∞
f ′ (x)
+∞ annulations
50
+ 0 −
x=
=2
25
+ 0 −
2
d’où le tableau de variations complet de f sur [0; 7]
x
0
2
7
f ′ (x)
+
0
−
100
f (x)
ր
ց
0
≃ 28, 73
2. le maximum
est pour x = 2 et vaut 100
✞
☎ ✞, on retrouve ainsi l’échelle du graphique
☎
soit un carreau pour 2 en abscisses et un carreau pour 20 en ordonnées
✝
✞
3. (a) [0; 7]
✝
✞
✆ ✝
☎
✆
✆
☎
(b) ✝après 4 heures le taux est d’environs 73, 58% ✆
✞
(c) le taux est maximal après 2 heures
✝
☎
✆
✞
(d) graphiquement les moments où le taux est égal à 30% sont : 0, 25 et 6, 8 heures
✞
☎
✝
☎
✆
4. Le laboratoire ne peut pas commercialiser cette crème car le taux d’ hydratation dépasse 50% pen✝
✆
dant seulement 5 heures environ et 5 < 6
4.3
corrigé devoir maison 2
corrigé devoir maison
Exercice 1 : (105 page 60)
1. (a) f (x) = (2x2 + 3x)ex sur [0; 6]
u(x) = 2x2 + 3x =⇒ u′ (x) = 4x + 3
f = uv =⇒ f ′ = u′ v + uv ′
v(x) = e−x =⇒ v ′ (x) = −e−x
f ′ = u′ v + uv ′
f ′ (x) = (4x + 3)e−x + (2x2 + 3x)(−e−x )
f ′ (x) = e−x [(4x + 3) − (2x2 + 3x)]
f ′ (x) = e−x (−2x2 + x + 3)
d’autre part
(−2x ✞
+ 3)(x + 1)e−x = (−2x2 − 2x ☎
+ 3x + 3)e−x = (−2x2 + x + 3)e−x
donc f ′ (x) = (−2x + 3)(x + 1)e−x
✝
✆
(b)
0
+
1,5
|
+
−2x + 3
+
0
-
x+1
e−x (−2x2 + x + 3)
+
+
+
-
f (x)
ր
|
0
≃ 2, 01
x
e−x
(c)
0
f (0) = (2 × 02 + 3 × 0)e0 = 0
(d) courbe
y
6
ց
annulations
ne s’annule pas et est positif strict
−3
= 1, 5
−2x + 3 = 0 ⇐⇒ x =
−2
x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1
≃ 0, 22
≃ 2, 01
1
≃ 0, 4
≃ 3.6
x
0
0
1
2
3
4
5
2. la production sera maximale après 150 jours et vaudra ≃ 2, 01 milliers de tonnes
3. la production sera revenue à 1000 tonnes après ≃ 360 jours
Exercice 2 : (127 page 162)
A.
x + 1 − lnx
x
u
u′ v − uv ′
f = =⇒ f ′ =
v
v2
1. f (x) =
f′ =
f ′ (x)
u′ v
=
f ′ (x) =
f ′ (x) =
f ′ (x) =
−
v2
(
uv ′
u(x) = x + 1 − lnx =⇒ u′ (x) = 1 −
v(x) = x =⇒ v ′ (x) = −1
1
) × x − (x + 1 − lnx) × 1
x
x2
1
(1 − ) × x − (x + 1 − lnx) × 1
x
x2
x − 1 − x − 1 + lnx
x2
lnx − 2
x2
(1 −
x
lnx − 2
x2
f ′ (x)
1
+
-
e2
0
|
0
14
+
+
+
2
f (x)
1
x
ց
≃ 0, 86
1 + 1 − ln1
=2
f (1) =
1
2. f (x) = 1 pour x > 1
ր
annulations
lnx − 2 = 0 ⇐⇒ x = e2
x2 = 0 ⇐⇒ x = 0
≃ 0, 88
x + 1 − lnx
= 1 ⇐⇒ x + 1 − lnx = x ⇐⇒ lnx = 1 ⇐⇒ x = e1
x
1
3. F (x) = x + lnx − (lnx)2
2
1 1
1
F ′ (x) = 1 + − × 2 × lnx ×
x 2
x
x + 1 − lnx
1 lnx
=
= f (x)
F ′ (x) = 1 + −
x
x
x
donc F est une primitive de f
Z 14
f (x)dx = F (14) − F (1)
4. J =
1
1
1
J = (14 + ln14 − (ln14)2 ) − (1 + ln1 − (ln1)2 )
2
2
1
J = ln14 − (ln14)2 ) + 13
2
B.
1. la quantité de pièces à fabriquer est e2 ≃ 7, 39 centaines pour un coût moyen de ≃ 0, 86 e
2. la quantité de pièces à fabriquer est e ≃ 2, 718 centaines pour un coût moyen de 1 e
Z 14
1
3. la valeur moyenne cherchée est m =
f (x)dx
14 − 1 1
1
ln14 − (ln14)2 ) + 13
2
≃ 0, 94
m=
13
Exercice 3 : (66 page 188)
F
×0, 52
1.
×0, 31
S : p(F ∩ S) = 0, 52 × 0, 31 = 0, 1612
b
b
S : p(F ∩ S) = 0, 52 × 0, 69 = 0, 3588
b
×0, 69
b
H
×0, 48
×0, 34
S : p(H ∩ S) = 0, 48 × 0, 34 = 0, 1632
b
b
×0, 66
b
S : p(H ∩ S) = 0, 48 × 0, 66 = 0, 3168
2. p(H ∩ S) = p(H) × pH (S) = 0, 48 × 0, 34
✞
✝
p(H ∩ S) = 0, 1632
3. p(S) = p(F ∩ S) + p(H ∩ S) = 0, 1612 + 0, 1632
4. pS (F ) =
0, 1612
p(S ∩ F )
=
p(S)
0, 3244
✞
✞
✝
✆
p(S) = 0, 3244
pS (F ) ≃ 0, 497 à 10−3 près
✝
☎
☎
☎
✆
✆
5. X = nombre de réponses favorables, suit une loi binomiale B(n = 3; p = 0, 3244)
✛

✘
✚
✙
• il y a 3 tirages identiques



• les tirages sont indépendants
car
succès : 0,3244


 • pour chaque tirage, il n’y a que deux issues possibles
échec : 1-0,3244=0,6756
6. p(X ≥ 2) = p(X = 2) + p(X = 3)
3
3
p(X ≥ 2) =
× 0, 32442 × 0, 67561 +
× 0, 32443 × 0, 67560
2
3
✞
✝
p(X ≥ 2) ≃ 0, 2474
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