Introduction logarithmes

Observations des phénomènes scientifiques
Quand on fait des expérimentations en sciences, on observe souvent des courbes comme celles qui suivent.
Par exemple, la croissance bactérienne ! Les B se multiplient beaucoup dans des conditions favorables et elles le
font plus ou moins vite quand on mesure les temps de divisons. Soit elles se multiplient toujours à la même vitesse
(10 multiplication par seconde) ou soit elles se multiplient beaucoup puis un peu moins ou encore plus…
Réfléchissons sur les courbes suivantes.
On étudie l’augmentation d’une grandeur x en fonction d’une autre grandeur y. On parle d’augmentation
exponentielle. Une croissance exponentielle observée se note :
Les mathématiciens ont démontré qu’on pouvait écrire en langage mathématique :
f(x) = ex courbe rouge avec e = 2,77…….
Cette courbe montre que :
-plus les valeurs de x sont petites et plus la valeur de y = O mais n’est jamais négative !
-à un moment donné les valeurs de y augmentent très vite puis ralentissent
-plus les valeurs de y sont grandes, plus la valeur de x devient constante (x se rapproche de 2). La valeur de x
est limitée….Et plus la courbe devient parallèle à l’axe des y !
f(x) = ex
Cette courbe possède une symétrique par rapport à la droite f(x) = x.
On l‘appelle le logarithme népérien f(x) = lnx
Cette courbe montre que :
-plus les valeurs de y sont petites et plus la valeur de x = 0 mais n’est jamais négative !
-à une moment donné les valeurs de x augmentent très vite puis ralentissent
-plus les valeurs de x sont grandes, plus les valeurs de y devient constante (y se rapproche de 2)
La valeur de y est limitée et la courbe est parallèle à l’axe des x !
Ces fonctions sont des outils mathématiques pour calculer plus facilement les grands nombres D’ailleurs, on utilise
d’autres fonctions logarithmes :
-f(x) = log 2 (x) pour les puissances de 2n
-f(x) = log10 (x) les puissances de 10n .
grandeur x
grandeur y
f(x) = x
f(x) = ex
f(x) = lnx

Rappels sur les exposants et introduction des fonctions logarithmes
En sciences on manipule des nombres TRES PETITS (échelle microscopique - les atomes) et des
nombres TRES GRANDS (échelle macroscopique - univers).
C’est le mathématicien Néper qui a calculé cette constante en faisant des études sur les vitesses. Il a cherché à
trouver l’équation qui modélise le phénomène.
Quand on a un phénomène, on en cherche l’équation :

Rappels sur les équations de droite