fx-CP400+E-Distance point exponentielle EXTRAIT

Distance minimale d’un point du plan à la courbe de
la fonction exponentielle
sur deux lignes
Auteur : Maxime COUSIN
Niveaux scolaires :
Tremplin prépa
Terminale S vers CPGE scientifiques
Mots clés :
- Fonction exponentielle, Distance
minimale, Théorème des valeurs
intermédiaires
- Géométrie dynamique, Tableur,
- Conjecture, Démonstration
ENONCE
On appelle (C) la courbe de la fonction exponentielle dans un repère du plan ; A est un point
fixe de ce plan tandis que M est un point mobile de (C).
On cherche à savoir s’il existe une ou des positions de M pour lesquelles la distance AM est
minimale.
On visualise ci-contre la situation avec le menu
de la calculatrice CASIO fx-CP400+E.
Le point A choisi est ici l’origine O du repère et M est en « arrêt »
sur (C) à l’abscisse 1 ; la distance OM vaut alors environ 2,82.
Ce problème est un problème dit de lieu, ici le lieu du point M de la courbe de la fonction
exponentielle en lequel la distance AM est minimale.
Ce type de problème peut générer une belle séance de TP en classe de TS, où l’élève doit d’abord
conjecturer le lieu avant d’en faire la preuve avec l’aide de son professeur ou en DM.
On va voir ici que la calculatrice CASIO fx-CP400+E peut se substituer sans aucun
problème à une salle informatique équipée de logiciels de géométrie dynamique et de tableurs.
Enfin, on va « ouvrir » la démonstration au cas général, à savoir avec un point A fixé
quelconque. Cette démonstration peut donner un aperçu des calculs littéraux que l’étudiant de
CPGE rencontre et se doit de maîtriser.
Bonne lecture…