logarithme népérien

4. Fonction ln
La fonction ln est définie sur 0; ;
ln 1 = 0 ;
ln ' x = Error! ce qui implique que ln est strictement croissante sur 0;
Quels que soit les nombres a et b strictement positifs,
ln (ab) = ln a + ln b
ln(Error!) = - ln a
ln(Error!) = ln a – ln b
ln( a ) = Error! ln a
ln (an) = n ln a pour n  Error!
ln e = 1
et m  ln(em ) pour tout entier m
1
1   ln e  ln(e1 )  ln( )
e
ainsi par exemple 2  2ln(e)  ln(e2 )
Signe du logarithme :
1 1
 ln(e)  ln( e )
2 2
…………
ln x <0 si 0<x<1 et ln x>0 si x>1
Equations et inéquations
On détermine le domaine de définition de l'équation (s’il n’est pas donné);
On met l'équation sous la forme ln a = ln b ; l’inéquation sous la forme lna<lnb ……
Exemples : a) Résoudre lnx+ln2=5 définie si x>0
 e5 
e5
lnx+ln2=5 équivaut à ln(2 x)  ln(e5 ) donc x 
donc S   
2
2
1
1
b) Résoudre 1+2lnx>0 sur 0; 1+2lnx>0 équivaut à ln x   donc ln x   ln( e ) donc ln x  ln( )
2
e
1
 1

donc x 
donc S  
;  
e
 e

Limites
lim ln x  
x 
lim ln x  
x 0
ln x
 0 et plus généralement
x  x
lim
ln x
 0 pour n>0
x  x n
lim
xn
 
x  ln x
remarque ainsi lim
lim x ln x  0
x  0
Exemple : dans le cas d’une forme indéterminée mettre le terme le plus fort en facteur
ln x 4
f ( x)  ln x  4 x  x 2 En  c’est une forme indéterminée f ( x)  x 2 ( 2   1)
x
x
ln x 4
or lim 2   1  1 par somme et lim x2   donc par produit lim f ( x)  
x 
x  x
x 
x
Fonction ln(u) :
Elle est définie si u>0
Pour la limite en a on étudie d’abord la limite de u(x) en a qui vaut b puis la limite de ln X en b (composition
de limites)
u'
(ln u ) ' 
; on peut ainsi étudier les variations de lnu si on connaît celle de u
u
u'
Une primitive de
est ln u si u est strictement positive ou ln(u ) si u est strictement négative
u