logarithme népérien

4. Fonction ln
La fonction ln est définie sur
0;
;
ln 1 = 0 ;
ln ' x =
Error!
ce qui implique que ln est strictement croissante sur
0;
Quels que soit les nombres a et b strictement positifs,
ln (ab) = ln a + ln b
ln(
Error!
) = - ln a ln(
Error!
) = ln a – ln b
ln( )a
=
Error!
ln a ln (an) = n ln a pour n
Error!
ln e = 1 et
ln( )
m
me
pour tout entier m
ainsi par exemple
2
2 2ln( ) ln( )ee
11
1 ln ln( ) ln( )ee e
11
ln( ) ln( )
22ee
…………
Signe du logarithme : ln x <0 si 0<x<1 et ln x>0 si x>1
Equations et inéquations
On détermine le domaine de définition de l'équation (s’il n’est pas donné);
On met l'équation sous la forme ln a = ln b ; l’inéquation sous la forme lna<lnb ……
Exemples : a) Résoudre lnx+ln2=5 définie si x>0
lnx+ln2=5 équivaut à
5
ln(2 ) ln( )xe
donc
5
2
e
x
donc
5
2
e
S
b) Résoudre 1+2lnx>0 sur
0;
1+2lnx>0 équivaut à
1
ln 2 x
donc
ln ln( )xe
donc
1
ln ln( )xe
donc
1
xe
donc
1;Se
Limites
lim ln
xx
0
lim ln
xx
ln
lim 0
x
x
x
et plus généralement
ln
lim 0
n
x
x
x
pour n>0 remarque ainsi
lim ln
n
x
xx
0
lim ln 0
xxx
Exemple : dans le cas d’une forme indéterminée mettre le terme le plus fort en facteur
2
( ) ln 4f x x x x  
En c’est une forme indéterminée
22
ln 4
( ) ( 1)
x
f x x xx
or
2
ln 4
lim 1 1
x
x
xx
par somme et
2
lim
xx
donc par produit
lim ( )
xfx
Fonction ln(u) :
Elle est définie si u>0
Pour la limite en a on étudie d’abord la limite de u(x) en a qui vaut b puis la limite de ln X en b (composition
de limites)
'
(ln )' u uu
; on peut ainsi étudier les variations de lnu si on connaît celle de u
Une primitive de
'u
u
est
lnu
si u est strictement positive ou
ln( )u
si u est strictement négative