exponentielles

La fonction exponentielle
Le nombre e
On peut démontrer que la suite des nombres
9 64 625 7776
,
,...
2, , ,
4 27 256 3125
(le terme général est (1 + 1/n)n ) admet une limite. Cette limite est un
nombre irrationnel, noté e, qui joue un rôle très important en mathématiques :
1 n
e = lim 1 +
= 2, 71828...
(1)
n→+∞
n
Il possède entre autres la propriété suivante :
quelque soit le nombre x,
x
1+
n
x
e = lim
n→+∞
n
.
(2)
C’est ainsi qu’est définie la fonction exponentielle. C’est une fonction transcendante dont le calcul des valeurs requiert un passage à la limite (ou l’utilisation d’une calculatrice). D’après sa définition, il est clair que la fonction
exponentielle est croissante. On peut démontrer qu’elle possède la propriété
y
50
40
30
20
10
-1
y = ãx
1
2
3
4
x
fondamentale suivante :
quels que soient les nombres x1 et x2 ,
1
ex1 +x2 = ex1 ex2
(3)
(la fonction exponentielle transforme les sommes en produits). On en déduit
en particulier que
1
= e−x .
(4)
ex
Une autre conséquence de la propriété fondamentale est que la fonction
exponentielle croît plus vite que toute puissance de son argument, si grande
soit-elle, lorsque cet argument tend vers +∞.
pour tout exposant n fixé ,
ex
= +∞.
x→+∞ xn
lim
Lorsque x → −∞ au contraire, en vertu de la propriété (4), l’exponentielle
y
2.5´107
2.0´107
1.5´107
1.0´107
5.0´106
y = ãx
y = x5
5
10
15
20
25
x
tend vers 0 (très rapidement mais sans jamais l’atteindre car elle ne s’annule
jamais).
2
L’exponentielle est aussi définie pour des valeurs complexes de son argu-
y
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
y = ã-x
-1
1
2
3
4
x
ment (elle prend alors elle même des valeurs complexes). Pour un nombre
imaginaire pur, iy, elle est donnée par la formule d’Euler :
eiy = cos y + i sin y.
(5)
Pour un nombre complexe arbitraire, x + iy, on utilise aussi la relation
fondamentale (3) :
ex+iy = ex (cos y + i sin y).
Exemples
•
Un capital C investi à un taux annuel de 3% deviendra, à la fin de
l’année,
3
C 1+
= 1, 03C.
100
Si cependant l’intérêt est composé aux six mois, il deviendra
3
C 1+
200
2
= 1, 03038C
et si l’intérêt est composé à chaque mois, il deviendra
3
C 1+
1200
12
= 1, 03042C.
Si l’intérêt est composé « continûment », il deviendra, après un an
Ce0.03 = 1, 03045C
et après t années
Ce0,03t .
3
•
Lorsque l’entier n est grand, on peut approximer n! à l’aide de la
formule de Stirling :
n
√
n
n! ≈ 2πn
.
e
•
Le nombre complexe
e2+3i = e2 (cos 3 + i sin 3) = 20, 0855(−0, 989 + 0, 141i)
a pour module 20,0855.
Exercices
1. Calculer
e50
505
et
e50
.
507
2. Déterminer la partie réelle et le module des nombres complexes
e1+iπ
et
e−iπ/2 .
Pour en savoir plus
? http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node5.html
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. 1, 7 × 1013 , 6.6 × 109
2. −e, e, 1, 0
4