1 Problème 1 Distance en variation et couplage

Corrigé ESSEC 2006 Eco Mathématiques II par Pierre Veuillez
Les deux problèmes sont totalement indépendants, le premier est consacré aux lois de probabilité et
variables aléatoires discrètes. Dans le second on manipule au contraire des lois de probabilité et des
variables aléatoires continues.
Notations : si aet bsont deux nombres réels, on désigne par a^ble plus petit de ces deux nombres.
Tout au long du sujet (;F;P)désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées plus bas
seront toutes dé…nies sur cet espace probabilisé. Sous réserve de son existence, l’espérance mathématique
d’une variable aléatoire réelle Xsera notée E(X)
1Problème 1 Distance en variation et couplage .
1.1 Partie 1 Distance en variation.
Dans cette première partie on considère un ensemble discret Kdont on suppose qu’il est soit …ni soit
égal à l’ensemble des entiers naturels N:Adésigne l’ensemble de toutes les parties de Ket pour tout
A2 A, on note  Ale complémentaire de Adans K.
Soient Pet Qdeux lois de probabilité sur K. (N.B. en fait, ce sont des probabiltiés) Pour tout k2 K
, on pose pk=P(fkg)et qk=Q(fkg). On rappelle que pour tout k2 K; pk0, avec X
k2K
pk= 1.
De plus toute probabilité Pest entièrement déterminée par la donnée de (pk)k2K puisque pour tout
A2 A; P (A) = X
k2A
pk
Lorsque Kest …ni on dé…nit la distance en variation entre les probabilités Pet Qpar
D(P ;Q) = 1
2X
k2K jpkqkj((i))
1. Lorsque K=f0; 1g
on a D(P ;Q) = 1
2(jp0q0j+jp1q1j)
et comme p0+p1= 1 on a donc p0= 1 p1et q0= 1 q1.
Donc D(P ;Q) = 1
2(jq1p1j+jp1q1j) = jp1q1j(car jxj=jxjpour tout xréel )
2. Lorsque K=N,
Pour tout k2 K, on a 0 jpkqkjjpkj+jqkj=pk+qk(inégalité triangulaire)
Comme les séries de terme général pket qkconvergent, celle de terme général pk+qkégalement.
Et par majoration des termes positif d’une série,
Conclusion : la série de terme général jpkqkjconverge.
On étend donc la dé…nition de la distance en variation donnée par (i)au cas où K=N.
3. Pour tout A2 A;on a 0P(A)1et 0Q(A)1
Donc 1P(A)Q(A)1d’où jP(A)Q(A)j  1(équivaut en fait)
Conclusion : jP(A)Q(A)j 2 [0;1].
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1.1 Partie 1 Distance en variation.
4. Pour tout A2 A;
P(A) = Pk2Apket en s’inspirant de la question 1) Pk2Apk= 1 Pk2
Apk(et de même pour Q)
Donc P(A)Q(A) = Pk2A(pkqk)d’une part
et P(A)Q(A) = 1 Pk2
Apk1Pk2 Aqk=Pk2 A(qkpk) = Pk2 A(pkqk)d’autre part.
Donc
2jP(A)Q(A)j=jP(A)Q(A)j+jP(A)Q(A)j
=X
k2A
(pkqk)+X
k2 A
(pkqk)
5. On a D(P ;Q) = 1
2Pk2K jpkqkjet K=A[
A(disjointe)
Donc D(P ;Q) = 1
2Pk2Ajpkqkj+Pk2
Ajpkqkj
Et comme Pk2Ajpkqkj  Pk2Apkqkalors
2D(P ;Q)X
k2A
pkqk+X
k2 A
pkqk
2jP(A)Q(A)j
Conclusion : pour tout A2 A;jP(A)Q(A)j  D(P;Q)
6. Soit A=fkjk2 K et qkpkg
On a alors pour tout k2A:jpkqkj=(pkqk)et pour k2 A; jpkqkj=pkqk(car dans  A,
qkpkest faux)
Donc
D(P ;Q) = 1
2 X
k2Ajpkqkj+X
k2 Ajpkqkj!
=1
2 X
k2A
pkqk+X
k2 A
pkqk!
=1
2 X
k2A
pkqk+X
k2 A
pkqk!
=jP(A)Q(A)j
car Pk2Apkqk0et Pk2
Apkqk0:
Conclusion : avec A=fkjk2 K et qkpkg:jP(A)Q(A)j=D(P;Q)
7. On réutilise la question précédente :
Avec A=fkjk2 K et qkpkgon a D(P ;Q) = jP(A)Q(A)j
Or pour k2A:pk^qk=pket pour k2 A:pk^qk=qk:
Donc
1X(pk^qk) = 1 X
k2A
pkX
k2 A
qk
et comme 1X
k2A
pk=P A=X
k2 A
pkalors
1X(pk^qk) = X
k2 A
pkqk=Q(A)P(A)
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1.2 Partie II Couplage binomiale-Poisson.
commme on l’a vu en 4
Et comme ici Q(A)P(A) = Pqkpk0et Q(A)P(A) = jP(A)Q(A)jon a bien …nalement
:
Conclusion : D(P;Q) = 1 Pk2K pk^qk
8. On considère un couple de variables aléatoires (X; Y )tel que Xsoit de loi Pet Ysoit de loi Q.
Autrement dit, pour tout k2 K;
P(X=k) = pket P(X=k) = pk
Le D(P;Q)=1P(pk^qk)suggère de passer par l’événement contraire.
(L’événement X=Yest d’autre part plus facile à décomposer que (X6=Y))
P(X6=Y) = 1 P(X=Y)
On décompose (X=Y) = Sk2K (X=k\Y=k)(disjointe) donc P(X=Y) = Pk2K P(X=k\Y=k)
Et comme P(X=k\Y=k)P(X=k) = pk(car (X=k\Y=k)(X=k))
et Q(X=k\Y=k)Q(Y=k) = qk
alors P(X=k\Y=k)est inférieur au plus petit des deux :
P(X=k\Y=k)pk^qk
et en assemblant :
P(X6=Y) = 1 P(X=Y)
= 1 X
k2K
P(X=k\Y=k)
1X
k2K
pk^qk=D(P; Q)
Conclusion : D(P;Q)P(X6=Y)
1.2 Partie II Couplage binomiale-Poisson.
Soit nun entier strictement positif et un réel strictement positif, strictement plus petit que n. L’
objet de cette deuxième partie est d’étudier un exemple, l’approximation de la loi binomiale par la loi
de Poisson en terme de distance en variation. Plus précisément, si d’une part B(n; =n)désigne la loi
binomiale de paramètres net =n et si d’autre part on note P()la loi de Poisson de paramètre , le
but est de prouver la majoration suivante :
D(B(n; =n);P()) 2
n((iv))
où Dest dé…nie au (i)
1. Soit Y1; ; Ynnvariables aléatoires indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre =n ,
Alors Pn
i=1 Yisuit une loi de Poisson de paramêtre la somme des paramêtres : 
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1.2 Partie II Couplage binomiale-Poisson.
2. Soit f(x) = 1 (1 x) exp (x)pour tout x2R:
fest dérivable sur Ret f0(x) = ex(1 x)ex=xexd’où le tableau de varaiations :
x0 1
f0(x) +
f(x) 0 %1
Conclusion : 8x2[0;1] : f(x)=1(1 x) exp (x)2[0;1]
Soit U1; ; Unnvariables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre
f(=n). On suppose que les variables U1; ; Unsont indépendantes des variables Y1; ; Ynde
la question II1). Pour i2 f1; ; ngon pose Xi= 0 si Ui=Yi= 0 et Xi= 1 sinon.
3. Par dé…nition, (les seules valeurs de Xsont 0et 1)Xisuit une loi de Bernouilli.
Reste à déterminer le paramètre P (Xi= 1) :
P(Xi= 0) = P(Ui=Yi= 0)
=P(Ui= 0 \Yi= 0) indépendantes
=P(Ui= 0) P(Yi= 0)
= (1 f(=n)) e=n
=111
ne=ne=n
= 1 
n
donc P(Xi= 1) = 1 P(Xi= 0) = 
n
Conclusion : Xisuit une loi de Bernoulli de paramètre =n
et comme les (Ui; Yi);donc les Xisont indépendants et de même paramèter de succès, la somme suit
une loi binômiale de paramètres :
Conclusion : Pn
i=1 Xisuit une loi de Binômilae de paramètres (n; =n)
4. Comme les valeurs de Xisont 0et 1;
(Xi=Yi) = [Xi= 0 \Yi= 0] [[Xi= 1 \Yi= 1]
= [Xi= 0] [[Yi= 1] incompatibles
donc
P(Xi=Yi) = P[Xi= 0] + P[Yi= 1]
= 1 
n+ ne=n et
P(Xi6=Yi) = 
n ne=n = n1e=n
Reste à montrer que 1exxpour tout x0:
Soit g(x) = x1 + exdérivable sur Ret g0(x) = 1 ex0pour x0
Donc gest croissante sur R+et comme g(0) = 0 alors g0sur R+:
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Donc 1e=n 
net
Conclusion : P(Xi6=Yi)2
n2
5. Si Pn
i=1 Xi6=Pn i=Yialors, pour au moins un des i:Xi6=Yi
Donc (Pn
i=1 Xi6=Pn i=Yi)(Sn i=1 fXi6=Yig)donc
P n
X
i=1
Xi6=
n
X
i=
Yi!P n
[
i=1 fXi6=Yig!
6. Sn
i=1 fXi6=Yign’est pas une réunion d’incompatibles.
MAis comme P(A[B) = P(A)+P(B)P(A\B)P(A)+ P(B)pour tout Aet Bévénements
alors
P(Sn
i=1 fXi6=Yig)Pn i=1 P(Xi6=Yi)et donc
P n
X
i=1
Xi6=
n
X
i=
Yi!
n
X
i=1
P(Xi6=Yi)
n
X
i=1
2
n2=2 n
Conclusion : P(Pn
i=1 Xi6=Pn i=Yi)2
n
N.B. Il faut comprendre ici, que la distance entre deux lois, est celle entre les probablités dé…nies
par ces lois.
(Pdé…nie par P(fkg) = P(X=k)pour tout k2Noù X ,! B(n; =n)et Qpar Yqui suit une loi
Poisson de paramètre )
Soient X=Pn
i=1 Xi,! B(n; =n)et Y=Pn i=Yi,! P ()
On a vu que D(P; Q)P(X6=Y)2
n
Conclusion : D(B(n; =n);P()) 2
n
7. Quand ntend vers l’in…ni, cette distance entre les deux lois tend vers 0.
Cette distance étant la somme des écarts entre les probabilités données par les deux lois, l’erreur que
l’on fera en employant Pau lieu de Btendra vers 0.
On emploie souvent ces lois pour une somme de termes. Là, la convergence se fera bien.
Par contre, pour des sommes construites à partir de ces lois (espérance par exemple), la convergence
n’est plus assurée par ce résultat ....mais l’est par le calcul, les deux ayant une espérance de :
2 Problème 2 (Couplage exponentielle-normale) .
Dans ce problème Xdésigne une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite, 'sa densité de
probabilité et sa fonction de répartition. On note par ailleurs fla densité de la loi exponentielle de
paramètre égal à 1 .
On dé…nit également pour tout nombre réel x, g(x) = ln (1  (x)) puis Y=g(X).
On admettra que Xadmet des moments de tout ordre, ce qui signi…e que pour tout entier naturel k,
l’intégrale R+1
1 jxjk'(x)dx converge.
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