II) Qu`est ce que la fonction inverse

FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE
a) Exemples :
. On partage équitablement 1 million d ’euros entre x personnes !
Combien chacun aura t-il en fonction de x ? f(x) = 1
x .
. Il doit parcourir 100 km !
Combien de temps mettra t-il s’il va à la vitesse de x km.h
-1
? f(x) = 100
x .
. Il y a une réserve de 100 litres d ’eau, et actuellement 10 personnes, mais il arrive 2 personnes
par heure ! Quelle sera la part d ’eau par personne dans t heures ? f(t) = 100
10 + 2t
. Un rectangle a une aire de 100m² et une longueur de x mètres
Que vaut sa largeur en fonction de sa longueur ? : f(x) = 100
x .
. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute !
Quel sera le pourcentage de fille dans x minutes ? f(x) = 8 + x
10 +2x
× 100 = 100x + 800
2x +10 .
b) Remarques :
Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de
ces évolutions. Les évolutions que l’on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature
( la vitesse de croissance d’un arbre, la position d’une pierre en chute libre,…), à une certaine
« façon » d’évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions
affines ou carrées permettent de décrire une « sorte » d’évolution, certains phénomène peuvent-
être décrits grâce à la fonction inverse, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !
Définition 1 : ( fonction inverse )
La fonction inverse associe à tous nombre réel non nul x ∈IR-{0}, l’inverse 1
x de ce nombre
On note f : IR-{0}
→
IR
x
→
1
x ou encore: f(x) = 1
x pour x∈ IR-{0} . 0 n’a pas d’inverse dans
IR
Exemples :  .L’inverse de 3 est : 1
3 ≈ 0,33 à 10
-2
près  .L’inverse de -2 est : 1
-2 = - 0,5.
.L’inverse de 2
3 est : 3 2 = 1,5.
I) A quoi sert la fonction
INVERSE
?
II) Qu’est ce que la fonction inverse
?

x
y
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10
-5
0
5
10
La fonction inverse a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels
qu’elle permet de décrire.
Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION INVERSE .
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole d’équation y = 1
x .
Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse :
On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique
partiel de la fonction inverse ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) .
Propriété 1 : IMPARITE DE LA FONCTION INVERSE
La fonction inverse est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR-{0} on a 1
-x = - 1 x
( l’inverse de l’opposé d’un nombre non nul est égal a l’opposé de l’inverse de ce nombre )
On dit alors que la fonction carrée est « impaire ».
Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à O .
Preuve : 1
-x = 1
-1×x = 1
-1 × 1 x = -1×1 x = - 1 x C.Q.F.D.
VALEURS de f(x) = 1
x
VALEURS de x
III) Propriétés de la fonction inverse
x -100 -10 -8 -5 - 4 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,125 - 0,1 0
1
x
-0,01 -0,1 -0,125 -0,2 -0,25 -0,5 -1 -2 -4 -8 -10
x 0 0,1 0,125 0,25 0,5 1 2 4 5 8 10 100
1
x
10 8 4 2 1 0,5 0,25 0,2 0,125 0,1 0,01
« La courbe est une hyperbole
( en deux parties ) »

Exemples :  1
-3 = - 1 3  1 -10 = - 1 10  1
- 2 = - 12 .
Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION INVERSE .
Pour la fonction inverse, on a le tableau de variations suivant :
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ 0 + ∞
∞∞
∞
Variations de
x
→
1
x
La fonction inverse est décroissante sur ]- ∞
∞∞
∞ ; 0 ].
( plus un nombre négatif est grand et plus son inverse est petit )
La fonction carrée est décroissante sur [ 0 ; + ∞
∞∞
∞ [.
( plus un nombre positif est grand et plus son inverse est petit )
Preuve :
Démontrons que : si a < b < 0 alors 1
a > 1 b ( ce qui montrera la décroissance sur ]-
∞ ; 0 ] )
Supposons que a < b < 0
l’inégalité 1
a > 1 b est équivalente à 1 a – 1 b > 0 mais aussi à b – a ab > 0 ( même dénominateur )
or b – a est positif car a < b et ab est positif car a et b sont négatifs, donc par quotient,
b – a
ab est positif donc b – a ab > 0 donc 1 a > 1 b .
finalement : si a < b < 0 alors 1
a > 1 b .
On démontre la croissance sur [0 ; + ∞ [ de la même façon :
Supposons que a > b > 0
Donc b – a est négatif et ab est positif donc b – a
ab > 0 donc 1 a > 1 b .
finalement : si a > b > 0 alors 1
a > 1 b . C.Q.F.D
Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION INVERSE .
la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction
inverse sont croissantes ou décroissantes. (démontrée ci dessus )
Quels que soient les nombres réels a et b :
Pour a et b négatifs : si a < b alors 1
a > 1 b
Si on prend les inverses des membres d’une inégalité entre des nombres négatifs stricts alors
on obtient une inégalité de sens inverse.
Pour a et b positifs : si a < b alors 1
a > 1 b
Si on prend les inverses des membres d’une inégalité entre des nombres positifs
stricts alors on
obtient une inégalité de sens inverse.
Exemples :  -3 < -1 donc 1
-3 > 1 -1 .  2 < 5 donc 1 2 > 1 5 .
Les
« doubles barres »
dans le tableau
signifient que 0 n’a pas
d’image.

Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION INVERSE.
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ 0 + ∞
∞∞
∞
Variations
de x
→
1
x
Signe de 1
x
– +
Quel que soit le nombre réel non nul x ∈ IR-{0} , l’inverse 1
x de ce nombre est du signe de x .
Preuve : si x est négatif alors 1
x est négatif et si x > 0 alors 1 x > 0. ( signe d’un quotient )
Propriété 5 : EQUATION ET FONCTION INVERSE.
( la preuve est laissée au lecteur : « produit en croix )
Application :  1
x = 0 :aucune solution, S = ∅.  1 x = 7 a une solution x = 1 7 donc S = { 1 7 }.
Propriété 6 : INEQUATION ET FONCTION INVERSE . ( admis )
Application :  1
x < 7 donne S = ]-∞
∞∞
∞ , 0 [ ∪
∪∪
∪] 1
7 ; + ∞
∞∞
∞ [  1
x > 7 donne S = ] 0 ; 1 7 [ .
Exemples : 
1
-2 est négatif
 1
2 est positif
Soit l’inéquation 1
x = a où a est donné et x un réel cherché.
On distingue 2 cas selon les valeurs de « a ».
Pour a ≠
≠≠
≠ 0 : Si 1
x = a alors x = 1 a
Pour a = 0 : 1
x = 0 est une égalité fausse pour toute valeur de x ∈
∈∈
∈ IR
Soient les inéquations 1
x > a , 1 x < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché
.
On distingue 3 cas selon les valeurs de « a ».
( Voir la courbe ci dessus pour une illustration )
Pour a > 0 : si 1
x > a alors 0 < x < 1 a c’est à dire : x
∈ ] 0 , 1
a [ .
Si 1
x < a alors x < 0 ou x > 1 a c’est à dire : x
∈ ] - ∞ , 0 [ ∪ ] 1
a , +
∞ [
Pour a < 0 Si 1
x > a alors x < 1 a ou x > 0 c’est à dire x
∈ ] - ∞ , 1
a [
∪ ] 0 , + ∞ [
Si 1
x < a alors 1 a < x < 0 c’est à dire x
∈ ] 1
a ; 0[
Si a = 0 : Si 1
x > 0 alors x > 0 x
∈ ] 0 ; + ∞ [ ; Si 1
x < 0 alors x < 0 x
∈ ]- ∞ ; 0 [.
y = a ( a > 0 )
x =
1
a

Pour x
∈
∈∈
∈ ] 0 , 1
a [ la courbe de x
→
1
x
est
« au dessus » de la droite d’équation y = a