Cours de trigo

Fonctions trigonométriques
On enroule un fil vertical fixé au point E autour d’un
cercle de rayon 1.
Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de
coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M.
Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces
nombres peuvent être de signe + ou -.
Figure
1 2 3 4
Signe de cos a
Signe de sin a
On a donc évidemment pour tout réel a :  1  cos a   1 et  1  sin a   1 .
Le périmètre du cercle est 2 car c’est 2 R  2 .1 donc tous
les points A d’ordonnées x , x  2 , x  4 , x  6 … …, mais
aussi x  2 , x  4 … …viennent s’enrouler sur le même point
du cercle.
Exemples ci-contre :
avec le point R et x  2 ou
avec le point P et x   ou x   .
avec le point en bas et x  3 / 2 ou x   / 2 .
On en déduit les formules :
Pour tout nombre réel x :
cos x   cos x  2 
sin x   sin x  2  .
On a aussi, en répétant cette formule :
Pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif (c'est-à-dire :
de signe + ou -) k : cos x   cos x  k .2 
sin x   sin x  k.2 
Remplir le tableau de valeurs ci-dessous
et tracer les courbes ci-contre en
commençant par l’intervalle 0 ; 2  .
x
cos (x)
sin (x)
0
 /2

3 / 2
2
Correction :
Exercice : montrer que pour 0  x   / 2 le cosinus et le
sinus de la longueur x de l’arc EM sont aussi le cosinus et
le sinus de l’angle (orienté) EOM .
Remplir le tableau de proportionnalité suivant :
Longueur de l’arc EM  / 6  / 4  / 3  / 2
Angle EOM en degrés

2
On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes.
On voit dans l’ordre :
Longueur de 0
 /6  /4  /3
l’arc
4
3
2
1
0
,
,
,
,
.
Angle  en
2
2
2
2
2
degrés
Il y a un centre de symétrie dans ce
1
Cos (  )
1
3
2
tableau…car pour tout x ,
2
sin  / 2  x   cos x  .
2
2
0
Sin (  )
1
2
3
2
2
2
Deux dessins « différents » :
32 valeurs remarquables
14 formules des arcs associés
 /2
0
1