Cours de trigo

Fonctions trigonométriques
On enroule un fil vertical fixé au point E autour d’un
cercle de rayon 1.
Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de
coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M.
Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces
nombres peuvent être de signe + ou -.
Figure
1
2
3
4
Signe de cos a
Signe de sin a
On a donc évidemment pour tout réel
a
:
1cos1  a
et
1sin1  a
.
Le périmètre du cercle est
2
car c’est
1.22 R
donc tous
les points A d’ordonnées
x
,
2x
,
4x
,
6x
… …, mais
aussi
2x
,
4x
… …viennent s’enrouler sur le même point
du cercle.
Exemples ci-contre :
avec le point R et
2x
ou
avec le point P et
x
ou
x
.
avec le point en bas et
2/3 x
ou
2/ x
.
On en déduit les formules :
Pour tout nombre réel
x
:
2coscos  xx
2sinsin  xx
.
On a aussi, en répétant cette formule :
Pour tout nombre réel
x
et pour tout entier relatif (c'est-à-dire :
de signe + ou -)
k
:
2.coscos kxx 
2.sinsin kxx 
Remplir le tableau de valeurs ci-dessous
et tracer les courbes ci-contre en
commençant par l’intervalle
2;0
.
x
0
2/
2/3
2
cos (x)
sin (x)

Correction :
Exercice : montrer que pour
2/0  x
le cosinus et le
sinus de la longueur
x
de l’arc
EM
sont aussi le cosinus et
le sinus de l’angle (orienté)
EOM
.
Remplir le tableau de proportionnalité suivant :
Longueur de l’arc
EM
6/
4/
3/
2/
2
Angle
EOM
en degrés
On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes.
On voit dans l’ordre :
2
4
,
23
,
2
2
,
2
1
,
2
0
.
Il y a un centre de symétrie dans ce
tableau…car pour tout
x
,
xx cos2/sin 
.
Longueur de
l’arc
0
6/
4/
3/
2/
Angle
en
degrés
Cos (
)
1
23
2
2
2
1
0
Sin (
)
0
2
1
2
2
23
1
Deux dessins « différents » :
32 valeurs remarquables
14 formules des arcs associés