Chapitre 19

Chapitre 19 Espaces vectoriels de dimension finie
Kdésigne Rou C.
1 Familles remarquables finies
Soient Eet Fdes K-ev.
1.1 Familles génératrices finies
On rappelle la définition suivante :
Définition :
Soit n≥1. Une famille (x1, . . . , xn)d’éléments de Eest dite génératrice de E
ssi E=Vect(x1, . . . , xn)
ssi ∀x∈E, ∃(λ1, . . . , λn)∈Kn, x =
n
X
i=1
λixi
Exemples :
¶((1,0),(0,1)) est une famille génératrice de R2car :
∀(x, y)∈R2,(x, y) = x(1,0) + y(0,1)
((1,0),(1,1)) en est une autre car :
∀(x, y)∈R2,(x, y) = (x−y)(1,0) + y(1,1)
Remarque : Il n’y a donc pas unicité de la notion de famille génératrice.
·((0,1)) n’est pas une famille génératrice de R2car
il existe au moins un vecteur (x, y)de R2qui ne lui soit pas colinéaire. Par exemple (1,0).
¸Dans Cvu comme R-ev, (1, i)est une famille génératrice de Ccar :
∀z∈C,∃(a, b)∈R2, z =a.1 + b.i
¹((1,0),(0,1),(1,1)) est une autre famille génératrice de R2car :
∀(x, y)∈R2,(x, y) = x(1,0) + y(0,1) = x(1,0) + y(0,1) + 0(1,1)
= 0(1,0) + (y−x)(0,1) + x(1,1)
= (x−1)(1,0) + (y−1)(0,1) + 1(1,1)
Remarque : il n’y a pas forcément unicité de la décomposition.
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ºSoit n∈N. La famille (1, X, . . . , Xn)est une famille génératrice de Kn[X](espace des
polynômes de degré ≤n) car
∀P∈Kn[X],∃(a0, . . . , an)∈Kn+1, P =
n
X
k=0
akXk
Remarques :
GL’ordre des xidans la famille (x1, . . . , xn)n’a pas d’importance.
GSoit Lune famille d’éléments de E.
– Si l’on rajoute des éléments à L, la famille obtenue est appelée sur-famille.
– Si l’on enlève des éléments à L, la famille obtenue est appelée sous-famille.
GDans un Vect / dans une famille génératrice, on peut multiplier les xipar des scalaires non nuls.
Par exemple, pour deux vecteurs x1, x2:
Vect(x1, x2) = Vect(3x1,−2x2)
GSi yest combinaison linéaire des vecteurs x1, . . . , xnalors
Vect(x1, . . . , xn, y) = Vect(x1, . . . , xn)
Par exemple, Vect((1,0),(0,1),(1,1)) = Vect((1,0),(0,1)) car (1,1) = (1,0) + (0,1)
Proposition :
Toute sur-famille d’une famille génératrice de Eest encore une famille génératrice de E.
1.2 Familles libres
Définition :
Soit n≥1. Soit (x1, . . . , xn)une famille de vecteurs de E.
GOn dit que la famille (x1, . . . , xn)est dite libre (ou les vecteurs x1, . . . , xnsont dits linéairement
indépendants) ssi
∀(λ1, . . . , λn)∈Kn,
n
X
i=1
λixi= 0E=⇒ ∀i∈ {1, . . . , n}, λi= 0
GDans le cas contraire, on dit que la famille est liée :
il existe une famille (λ1, . . . , λn)de scalaires non tous nuls tels que
n
X
i=1
λixi= 0E
« il existe une combinaison linéaire nulle non triviale »
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Remarques :
GL’ordre des xin’a aucune importance.
GNe pas confondre NON TOUS NULS et TOUS NON NULS.
λ1, . . . , λnnon tous nuls ⇐⇒ ∃i∈ {1, . . . , n}, λi6= 0
⇐⇒ (λ1, . . . , λn)6= 0Kn
Corollaire :
Une famille est liée ssi
l’un au moins des vecteurs est combinaison linéaire des autres
Exemples :
¶Dans Cvu comme R-ev, (1, i)est une famille libre car :
Soit (a, b)∈R2. On suppose a+ib = 0.
Alors a=b= 0 par unicité de la partie réelle et imaginaire d’un complexe.
·De même, on montre que la famille ((1,0),(0,1)) est une famille libre de R2.
¸La famille ((1,0),(0,1),(1,1)) est une famille liée car
(1,1) = (1,0) + (0,1) ce qui s’écrit aussi 1(1,0) + 1(0,1) −1(1,1) = (0,0) et (1,1,−1) 6= (0,0,0)
¹Soit n∈N. La famille (1, X, . . . , Xn)est une famille libre de Kn[X]car :
Soit (λ0, . . . , λn)∈Kn+1.
On suppose λ01 + λ1X+· · · +λnXn= 0K[X].
Alors ∀i∈ {0, . . . , n}, λi= 0 par unicité d’écriture d’un polynôme selon les Xi.
ºCas d’une famille à un seul vecteur.
Soit x∈E.xest libre ssi x6= 0E.
.Démonstration 1
»Dans R3, montrer que la famille (u, v, w)où u= (1,2,3), v = (4,1,1), w = (−10,1,3) est liée.
.Démonstration 2
¼Dans F(R,R), montrer que la famille (f, g, h)est libre avec
f:x7→ x+ 3 g:x7→ exh:x7→ x2
.Démonstration 3
½La famille cos2,sin2, x 7→ cos(2x)est-elle libre dans F(R,R)?
.Démonstration 4
Proposition :
Soient xet ydeux vecteurs de E.
la famille (x, y)est liée ⇐⇒ les vecteurs xet ysont colinéaires
⇐⇒ ∃λ∈K, x =λy ou y=λx
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Corollaire :
Une famille de DEUX vecteurs est libre ssi les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Proposition :
Soit Lune famille de vecteurs de E. Soit L0une sous-famille de L.
GLest libre =⇒L0est libre
Ce qui peut se dire : Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
GL0est liée =⇒Lest liée
Ce qui peut se dire : Toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Remarques :
GAinsi, une famille libre ne peut contenir ni 0E, ni deux vecteurs égaux, ni deux vecteurs colinéaires.
GIMPORTANT : Pour une famille de nvecteurs (x1, . . . , xn)avec n≥3, on a :
deux vecteurs de la famille sont colinéaires =⇒la famille est liée
mais la réciproque est fausse.
Contre-exemple : soient, dans R3,u= (1,2,1), v = (3,0,2), w =u+v= (4,2,3)
La famille (u, v, w)est liée et il n’y a aucun couple de deux vecteurs colinéaires.
Définition :
Soit n∈N∗. Une famille (P1, . . . , Pn)de polynômes de K[X]est dite de degrés echelonnés (ou
échelonnée en degrés) ssi
deg P1<deg P1<· · · <deg Pn
Proposition :
Toute famille finie de polynômes non nuls de K[X]échelonnée en degrés est libre.
.Démonstration 5
Remarque :
La réciproque est fausse. Proposez un contre-exemple.
Les 2polynômes X2−1et X2+ 1 ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre à deux
éléments.
Et ils ont même degré.
Le résultat suivant permet d’agrandir une famille libre en conservant la liberté.
Proposition :
Soit (x1, . . . , xn)une famille libre d’éléments de E. Soit u∈E.
Si u /∈Vect(x1, . . . , xn)alors (x1, . . . , xn, u)est libre.
.Démonstration 6
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Proposition :
Soit q≥2,1≤k≤q−1.
Si (e1, . . . , ek, ek+1, . . . , eq)est une famille libre d’un K-ev Ealors
Vect(e1, . . . , ek)et Vect(ek+1, . . . , eq)sont en somme directe.
Cela signifie : Vect(e1, . . . , ek)∩Vect(ek+1, . . . , en) = {0E}
1.3 Bases finies
Définition :
Soit n≥1. Une famille (e1, . . . , en)d’éléments de Eest une base de Essi
c’est une famille libre et génératrice de E.
Remarque :
Si l’on change de place les éléments eidans une base (e1, . . . , en)de E, la famille reste une base de E.
Exemples :
¶Dans Cvu comme R-ev, (1, i)est une base de C.
·Dans R2,((1,0),(0,1)) est une base de R2.
La famille (1,0),(1,1)) est aussi une base de R2car elle est génératrice (vue précédem-
ment) et libre (car c’est une famille de 2vecteurs non colinéaires ).
Remarque : Il n’y a pas unicité de la notion de base d’un espace vectoriel E. Plus précisément,
s’il existe une base (e1, . . . , en)de Ealors il y en a une infinité car (λ1e1, . . . , λnen)avec les
scalaires λitous non nuls, est aussi une base de E
¸Dans Kn, on pose : e1= (1,0,...,0), e2= (0,1,0,...,0), . . . , en= (0,...,0,1)
(e1, . . . , en)est une base de Knappelée base canonique de Kn.
Proposition et définition :
Soit n≥1. Une famille (e1, . . . , en)d’éléments de Eest une base de Essi
∀x∈E, ∃!(λ1, . . . , λn)∈Kn, x =
n
X
i=1
λixi
Les coefficients λ1, . . . , λnsont appelés coordonnées de xdans la base (e1, . . . , en)
.Démonstration 7
Remarque :
Quand on explicite les coordonnées dans une base, l’ordre des vecteurs a une importance.
Exemples :
¶Soit n∈N. La famille (1, X, . . . , Xn)est une base de Kn[X]appelée base canonique
de Kn[X].Les coordonnées d’un polynôme dans cette base correspondent aux coefficients de ce
polynôme, ordonnés selon les puissances croissantes.
·Les coordonnées d’un vecteur (x, y)de R2dans la base canonique de R2sont xet ycar
(x, y) = x(1,0) + y(0,1)
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