Chapitre 2 Partie Algèbre Calculs algébriques

Chapitre 2
Partie Algèbre
Calculs algébriques
vv Objectifs vv
Ce chapitre a pour but de présenter les différents types d’une démonstration
par récurrence et étudier les propriétés des symboles Sigma et Pi :
ûRappeler les propriétés des symboles Sigma et Pi.
ûRappeler le principe de récurrence et ses applications.
ûFaire des démonstrations par récurrence.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Somme et produit.
1.1 - Le symbole Sigma.
Soient met ndeux entiers naturels tels que m6net I={m,m+1, . . . , n−1, n}.
Pour toute famille finie (ak)k∈Ide nombres complexes, la somme am+am+1+···+an−1+anest notée
∑
k∈I
akou
n
∑
k=m
akou encore ∑
m6k6n
ak.
Définition 1.1. Symbole ∑
Exemples : 1. Pour n>1 :
n
∑
k=1
k=n(n+1)
2et
n
∑
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6et
n
∑
k=1
k3=n(n+1)
22
.
2. Pour tous n∈N∗et a6=b∈Con a :
n−1
∑
k=0
akbn−1−k=an−bn
a−b.
3. Pour tous n∈Net q∈Con a :
n
∑
k=0
qk=
1−qn+1
1−qsi q6=1
nsi q=1
.
Remarques : 1. Cette somme comporte n−m+1 termes.
2. La lettre kpeut être remplacée par tout symbole distinct des bornes met net ne figurant pas
dans les ak
3. (ak)m6k6net (bk)m6k6ndeux familles de nombres complexes et αun complexe. Alors :
n
∑
k=m
α= (n−m+1).α;
n
∑
k=m
(ak+bk) =
n
∑
k=m
ak+
n
∑
k=m
bk;
n
∑
k=m
α.ak=α.
n
∑
k=m
ak.
Le changement d’indice est une opération très courante. Les exemples valent ici mieux qu’un long dis-
cours :
#On a :
n
∑
k=0
1
(k+1)2=1+1 22+. . . +1 (n+1)2=
n+1
∑
p=1
1
p2. On a effectué ici le changement d’indice
p=k+1 . Cela revient à remplacer tous les kde la somme initiale par des p−1 . Mais il faut aussi
changer les bornes. Quand kvarie de 0 à nque fait p=k+1 ? Il varie de 1 à n+1.
#On a :
9
∑
r=2
rr=22+33+. . . +99=
7
∑
s=0
(s+2)s+2. On a effectué le changement d’indice r=s+2 Quand
rvarie de 2 à 9 , s=r−2 varie de 0 à 7.
Changement d’indice
Soit (ak)m6k6n+1une famille de nombres complexes. Alors on a :
n
∑
k=m
(ak+1−ak) = an+1−am.
Proposition 1.1. Simplifications télescopiques
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

Soit (ai,j)16i,j6nune famille de nombres complexes . On a :
∑
16i,j6n
ai,j=
n
∑
i=1 n
∑
j=1
ai,j!=
n
∑
j=1 n
∑
i=1
ai,j!;∑
16i6j6n
ai,j=
n
∑
i=1 n
∑
j=i
ai,j!=
n
∑
j=1 j
∑
i=1
ai,j!
∑
16i<j6n
ai,j=
n−1
∑
i=1 n
∑
j=i+1
ai,j!=
n
∑
j=2 j−1
∑
i=1
ai,j!
Proposition 1.2. Permutation des Sigmas
Calculer les sommes suivantes :
A=∑
16i,j6n
i j B =∑
16i6j6n
i j C =∑
16i<j6n
i j D =∑
16i<j6n
i(j−1)E=∑
16i,j6n
(i+j)
Exercice .1.
1. Soit nun entier tel que n>1. Simplifier la somme : Sn=1.1! +2.2! +3.3! +. . . +n.n!.
2. Que valent les sommes : Sn=
n
∑
k=0
(2k+1)et Tn=
n
∑
k=0
(−1)k(2k+1)?
3. Comparer les sommes
n
∑
k=0
ket
n
∑
k=0
(n−k). Simplifier
n
∑
k=0
k+
n
∑
k=0
(n−k). Conclusion ?
4. Soit Q, une constante. Simplifier
n
∑
k=0
Qk−Q n
∑
k=0
Qk!. Conclusion ?
Exercice .2.
1.2 - Le symbole Pi .
Soient met ndeux entiers naturels tels que m6net I={m,m+1, . . . , n−1, n}.
Pour toute famille finie (ak)k∈Ide nombres complexes, le produit am×am+1× ··· × an−1×anest noté
∏
k∈I
akou
n
∏
k=m
akou encore ∏
m6k6n
ak
Définition 1.2. Symbole ∏
Remarques : 1. Ce produit comporte n−m+1 facteurs.
2. La lettre kpeut être remplacée par tout symbole distinct des bornes met net ne figurant pas
dans les ak
3. (ak)m6k6net (bk)m6k6ndeux familles de nombres complexes et αun complexe. Alors :
n
∏
k=m
α=αn−m+1;
n
∏
k=m
(ak×bk) =
n
∏
k=m
ak×
n
∏
k=m
bk;
n
∏
k=m
α.ak=αn−m+1.
n
∏
k=m
ak.
4. Changement d’indice : Voir le cas d’une somme.
Exemples : 1.
n
∏
k=1
k=n!.
2. Si x1,...,xnsont les racines du polynôme P=anXn+. . . +a0alors
n
∏
k=1
xk= (−1)na0
an
.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017

Soit (ak)m6k6n+1une famille de nombres complexes. On a :
n
∏
k=m
ak+1
ak
=an+1
am
Proposition 1.3. Simplifications télescopiques
Soit (ai,j)16i,j6nune famille de nombres complexes. On a :
∏
16i,j6n
ai,j=
n
∏
i=1 n
∏
j=1
ai,j!=
n
∏
j=1 n
∏
i=1
ai,j!;∏
16i6j6n
ai,j=
n
∏
i=1 n
∏
j=i
ai,j!=
n
∏
j=1 j
∏
i=1
ai,j!
∏
16i<j6n
ai,j=
n−1
∏
i=1 n
∏
j=i+1
ai,j!=
n
∏
j=2 j−1
∏
i=1
ai,j!
Proposition 1.4. Permutation des Pi
1. Simplifier les produits suivants :
n
∏
k=1
(2k)et
n
∏
k=1
(2k−1).
2. Simplifier le produit :
n
∏
k=1
(2k−1)
n
∏
k=1
(2k)
.
3. Prouver les égalités :
n
∏
k=1
(4k−2) =
n
∏
k=1
(n+k) = (2n)!
n!.
Exercice .3.
1. Simplifier la somme :
n
∑
k=1
1
k(k+1)(k+2). et
n
∑
k=1
k
(k+1)!.
2. Simplifier, pour n≥2, la somme Sn=
n
∑
k=2
ln 1−1
k2.
3. Calculer Sn=
n
∑
k=1
n
∑
p=1
e2iπ(k+p
n)et Tn=
α+n−1
∑
k=α
β+n−1
∑
p=β
e2iπ(k+p
n).
Exercice .4.
2 - Coéfficients binomiaux.
+Pour tous p,n∈N, on appelle coefficient binomial pparmi n, noté n
p, l’entier naturel :
n
p=
n!
p!(n−p)!si 0 6p6n
0 sinon
.
+Pour n>0 : n
0=1 Pour n>1 : n 1=n, Pour n>2 : n 2=n(n+1) 2,
+Pour tous entiers net pavec 0 6p6n,ona:n
p=n n−p.
+Pour tous entiers net pavec 1 6p6n−1, on a : n
p=n−1 p−1+n−1 p.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017

+Sous réserve que les coefficients ci-dessous soient définis, On a les égalités suivantes :
n
p+1=n−p p+1n p;n p=n pn−1 p−1;n p=n n−pn−1 p.
+Pour tous xet yde Cet tout nde N,ona:
(x+y)n=
n
∑
k=0n
kxk.yn−k(1+x)n=
n
∑
k=0n
kxk2n=
n
∑
k=0n
k.
3 - Principe de récurrence.
3.1 - Parties de N.
On définit dans Nla relation d’ordre "6" par : Pour tout met nde N,m6nsi et seulement si il existe p
de Ntel que : n=m+p.
Cette relation d’ordre est totale sur N: Pour tout met nde Non a : m6nou n6m.
Définition 3.1. Ordre dans N
On dit qu’une partie non vide Ade Zest :
◦majorée (dans Z) s’il existe Mdans Ztel que : ∀x∈A:x6M.
◦minorée (dans Z) s’il existe mdans Ztel que : ∀x∈A:x>m.
Définition 3.2.
→0 est le minimum de N.
→Toute partie non vide de Npossède un plus petit élément .
Proposition 3.1.
•Toute partie non vide majorée de Npossède un plus grand élément.
•Toute partie non vide minorée de Zpossède un plus petit élément.
•Toute partie non vide majorée de Zpossède un plus grand élément.
Théorème 3.1.
Soit (m,n)dans N×N∗, Il existe un unique couple (q,r)de N2tel que : m=nq +ret 0 6r<n.
Proposition 3.2. Division euclidienne dans N
Soit Aune partie de Ntelle que : 0 ∈Aet ∀n∈N:n∈A=⇒n+1∈A. Alors A=N.
Proposition 3.3. Axiome de récurrence
3.2 - Raisonnements par récurrence.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017