( ) ∑ ∑ = ∑

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
Chapitre 17 LES POLYNÔMES
, .
Dans tout le chapitre désignera le corps commut
atif ou le corps commutatif
K R C
I ) POLYNÔMES A UNE INDETERMINEE.
A) Définitions.
Polynôme formel. Ensembles
[
]
X
R
et
[
]
X
C
. Degré, coefficient dominant. Monômes.
Somme, produit interne, produit externe, composée. Fonction polynômiale associée à P.
(
)
(
)
(
)
(
)
deg sup deg ,deg
P Q P Q
+ ≤ ,
(
)
(
)
deg deg
P P
λ =
pour
0
λ
≠
,
(
)
(
)
(
)
deg deg deg
P Q P Q
× = + , et
(
)
(
)
(
)
deg deg deg
P Q P Q
= ×
 Convention : le degré du polynôme nul est -∞.
B) Structure de K[X] .
 K[X] est un K-espace vectoriel.
 K
n
[X] est un K-espace vectoriel de dimension finie, de base
{
}
2
1, , ,...,
n
B X X X
= et
[
]
(
)
dim 1
n
n
= +
K X
.
 Toute famille finie de polynômes de degrés échelonnés est libre.
C) Division euclidienne sur K[X]
 Théorème : division euclidienne dans
[
]
X
K
.
[ ] [ ]
,
A X B X
∗
∀ ∈ ∀ ∈
K K
,
( )
[ ]
2
! ,
P Q X
∃ ∈
K
tel que
( ) ( )
deg deg
A BQ R
R B
= +
<
Reste et quotient dans la division de A par B, diviseur, multiple. Polynôme irréductible dans
[
]
X
K
.
II) RACINES D’UN POLYNÔME.
A) Polynôme dérivé.
Polynôme dérivé d’un polynôme, dérivée n
ième
d’un polynôme.
 Dérivée d’un monôme :
( )
1
0 si 0
si 1
kk
k
XkX k
−
=
′=
≥
 Formule de Leibniz :
( )
( ) ( ) ( )
0
n
n
k n k
k
n
P Q P Q
k
−
=
× =  
∑
.
 Formule de Taylor : Soit P polynôme de degré n , alors
( )
( )
( ) ( )
0
.
!
k
nk
k
P a
P X X a
k
=
= −
∑
ɶ
.
B) Racines d’un polynôme.
Racine ou zéro d’un polynôme, ordre de multiplicité d’une racine, polynôme scindé.
a est racine de P si et seulement si
(
)
0
P a
=
.
a est racine de P si et seulement si P est divisible par
X a
−
.
a est racine d’ordre k de P si et seulement si
( )
.
k
P X a Q
= − et
(
)
0
Q a
≠
.
a est racine d’ordre k de P si et seulement si
(
)
(
)
(
)
(
)
1
... 0
k
P a P a P a
−
′
= = = =
et
(
)
(
)
0
k
P a
≠
.
III ) FACTORISATION DANS C[X] ET R[X].
A) Factorisation dans C[X].
 Théor d’Alembert-Gauss : Tout polynôme non constant de C possède au moins une racine.
 Tout polynôme de degré n dans
[
]
X
C
possède exactement n racines.
 Les polynômes irréductibles de
[
]
X
C
sont les polynômes de degré 1.
B) Factorisation dans R[X].
 Si
[
]
X
P
R
∈ et
α
est une racine de P , alors
α
est aussi une racine de P .
 Les polynômes irréductibles de
[
]
X
R
sont : Les polynômes de degré 1.
Les polynômes de degré 2 avec
0
∆ <
.
C) Somme et produit des racines
0
n
k
k
k
Q a X
=
=
∑
avec
(
)
d Q n
° =
: la somme des racines
1
n
n
a
S
a
−
−
=
et le produit des racines
( )
0
1
n
n
a
Pa
−
=
Objectifs : Réinvestir les notions d’espaces vectoriels sur un nouvel espace.
Savoir utiliser le théorème de division euclidienne (diviser deux polynômes, trouver un reste, un quotient..)
Maitriser la factorisation des polynomes réels et complexes.