MPSI Colle 2 (21 au 25 septembre 2015) : Trigonométrie Nombres

MPSI Colle 2 (21 au 25 septembre 2015) : Trigonométrie Nombres complexes
Chapitre 3 : Trigonométrie
ä
cos(x) = sin(y), on se ramène
des deux cas
( à l'un
π)
précédents, par exemple en observant que sin(y) = cos x +
2
ä étude de l'équation A cos(x) + B sin(x) = C ; la motivation est ici surtout
√
physique (transformation A cos(x) + B sin(x) =
A2 + B 2 cos (x − θ)).
1 Préambule
Dénition : soit (x, y, A) ∈ R2 × R∗ . Le réel x est congru au réel x modulo A s'il
existe un entier relatif
note
k
tel que :
y = x + kA.
Notation : lorsque tel est le cas, on
x ≡ y [A].
Quelques propriétés
: mêmes notations que ci-dessus. 1)
vité) ; 2)
(x ≡ y [A]) ⇐⇒ (y ≡ x [A])
x ≡ z [A]
(transitivité).
Pour nir, si
n
x ≡ x [A]
(x ≡ y [A] ∧ y ≡ z [A]) =⇒
(symétrie) ; 3)
désigne un entier relatif non nul, on peut observer que
si et seulement si
(réexi-
[ ]
y A
x≡
.
n n
nx ≡ y [A]
R,
bornées (entre
−1
et
1),
et
2π -périodiques.
La fonction cos est paire,
la fonction sinus est impaire. Valeurs remarquables. Tableaux de variation.
La courbe représentative de la fonction cos admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontale, d'équation
y = 1.
La courbe représentative (Csin ) de la fonction sin a pour tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation
de cette tangente sur
y = x.
R+ (resp.
Chapitre 4 : Nombres complexes
1 Généralités
Dénition de
C,
partie réelle, partie imaginaire, imaginaire pur.
2 Représentation géométrique
Plan complexe, point image, axe d'un point, axe d'un vecteur.
Conjugué. Propriétés algébriques des conjugués. Un nombre complexe
2 Dénitions des fonctions trigonométriques
Dénitions géométriques des fonctions cos et sin. Propriétés : cos et sin sont dénies sur
pour une équation du type
La courbe
sur
Csin
est en-dessous (resp. au-dessus)
R− ).
tangente (notée tan). La fonction tan est dénie sur
{
π }
Dtan = x ∈ R / x ̸= [π] ; elle est impaire, et π -périodique. Valeurs remar2
quables. La fonction tan est dérivable sur Dtan et :
Dénition de la fonction
∀x ∈ Dtan , tan′ (x) =
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
conjugué
z̄
3 Module
√
est réel (resp. imaginaire pur) SSI
z
Dénition : |z| = z z̄
et
(si
z = a + ib
et
B
zB − zA .
alors
|z|
√
a2 + b2 ).
∀ z ∈ C, |z| ∈
Rque :
z ∈ C,
est la longueur
zA
le lieu des points
M
dont l'axe
zB ,
la longueur
le lieu des points
M
z
est telle que
Et lorsque
AB
est le
|z − a| = R (resp.
est le cercle (resp. le disque fermé,
ouvert) de centre le point d'axe
médiatrice de
et
OM (z).
Ainsi :
|z − a| 6 R, resp. |z − a| < R)
Ý
|z| =
sont deux points d'axes respectives
module de
Ý
alors
z̄ = z (resp. z̄ = −z ).
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0.
Interprétation géométrique : si
A
et son
ont pour images des points symétriques par rapport à l'axe réel. Consé-
quence : un complexe
R+ ,
z
a
et de rayon
dont l'axe
z
resp. le disque
R.
est telle que
|z − zA | = |z − zB |
est la
[AB].
Propriétés algébriques : concernant |zz ′ |, |1/z ′ |, |z/z ′ |, |z̄| et |z n |.
La courbe représentative (Ctan ) de la fonction tan a pour tangente au point d'abs-
] Cπtan ]est
[ π y[ = x. La courbe
0;
(resp. sur
− ; 0 ).
2
2
cisse 0 la droite d'équation
de cette tangente sur
au-dessus (resp. en-dessous)
3 Formulaire de trigonométrie
4 Quelques équations trigonométriques
ä cos(x) = cos(y)
ä sin(x) = sin(y)
SSI
SSI
ou
4 Ensemble des nombres complexes de module 1
Dénition : U
U
est l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Propriété
est stable par produit et passage à l'inverse. Interprétation géométrique :
y = π − x [2π]
U
:
est
l'ensemble des axes des points appartenant au cercle trigonométrique.
Dénition : pour tout réel x, on pose eix = cos x+i sin x. Rque : ∀ x ∈ R,
y = ±x [2π]
y = x [2π]
Inégalité triangulaire : ∀ (z, z ′ ) ∈ C2 , |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ |
Propriétés : eix = e−ix =
(
e
)
ix −1
; e
i(x+y)
= eix eiy ;
(
e
)
ix n
= einx .
ix e = 1.
Trigonométrie Nombres complexes
2
Formules d'Euler Formule de Moivre.
3
cos θ). Factorisation
n
∑
de
sin (kθ) pour tout
Applications : linéarisation (exemple avec
n
∑
cos (kθ)
l'angle-moitié) ; calcul de
et
forme
k=0
(technique de
réel
: tout nombre complexe non-nul
Questions de cours
ä
Exercice : soit
n > 2.
Calculer les sommes
S0 =
ä
Propriétés algébriques du module.
ä
Inégalité triangulaire.
ä
Calcul de
cos (kθ)
k=0
ä
Exercice : Exprimer
(et
n
∑
sin (kθ))
pour tout
z
peut s'écrire sous la
k
n∈N
;
S1 =
z,
et est noté
arg(z).
2π
: il est appelé
argument
du
Argument principal : unique valeur de
θ
[−π; π [ .
arg (z n ), arg (z̄)
et
arg (−z)
: formules donnant
pour
z
et
z′
arg (zz ′ ), arg (1/z ′ ), arg (z/z ′ ),
complexes non-nuls et
( )
( )
n
n
∑
∑
n
n
k
; S2 =
k2
(révision sur le chapitre 2).
k
k
k=0
k=0
et pour tout
θ ∈ R.
k=0
cos (3a)
en fonction de
cos(a).
En déduire que
cos
(π )
9
A venir
ä
est un réel unique modulo
Propriétés des arguments
n ( )
∑
n
k=0
n
∑
θ
k=0
5 Argument(s) d'un nombre complexe NON-NUL
Propriété-dénition
où
nombre complexe
dans
θ.
|z| eiθ ,
Chapitre 4 : Nombres complexes (n) Chapitre 5 : Fonctions numériques
est racine d'une équation de degré 3 à coecients entiers.
n
entier.