b) dynamique du point

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REMARQUES GÉNÉRALES
1. Exercices numériques.
Pour la résolution méthodique de ces exercices, il faut veiller à comprendre
d'abord clairement tout l'énoncé, à voir quelles sont les grandeurs données ainsi que ce
qui est demandé. Une fois qu'on a vu à quoi se rapporte le problème, on examine la
méthode et les formules à employer. Les exercices dont l’énoncé est écrit en caractères
italiques sont des exercices bonus ne faisant pas partie de la matière d’examen.
Il faut attacher la plus grande importance aux unités : dans un même problème,
on doit utiliser des unités cohérentes. Il faut exprimer en quelle unité est donné le
résultat. Un résultat sans indication d'unité est sans valeur.
Les calculs doivent être exécutés avec le maximum de simplification ; on peut
faire un calcul approché, mais l'approximation doit être suffisante. Il faut pouvoir
calculer vite et bien.
2. Graphes.
Les graphes doivent être faits proprement, avec grande précision. Les axes de
coordonnées porteront l'indication de la grandeur qu'ils représentent, les nombres
permettant de faire la lecture et l'unité en laquelle ils sont exprimés.
L'échelle est choisie d'après le graphe pour lui donner des dimensions
convenables.
On fera les graphes sur papier quadrillé ou même sur papier millimétré.
3. Énoncés vrais ou faux.
Ces exercices doivent servir de contrôle de la connaissance de la matière. Pour
les utiliser avec efficacité, il ne faut les examiner qu'après avoir étudié la matière
correspondante. Une fois cette matière supposée connue, il faut lire ces énoncés, indiquer
s'ils sont vrais ou faux et pouvoir justifier la réponse. Arrivé au bout d'une série, on
vérifie ces réponses et on essaye, éventuellement à l'aide du cours, de rectifier celles qui
sont incorrectes.

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1. RAPPELS DE MATHEMATIQUE
A. LES PROCESSUS LINEAIRES
Exercice 1
a) Représentez graphiquement la position en fonction du temps à partir de la fonction
x (t) = 2t + 3.
b) La fonction x = 2t + 3 est un cas particulier de l'équation générale du mouvement
rectiligne uniforme x = xo + vt. Déterminez alors la vitesse v correspondant à la
pente de la droite,
Solution :
a) On remarque d'abord que cette fonction est représentée par une droite dont il suffit de
déterminer deux points ; on peut en prendre un troisième en guise de vérification.
A cet effet, on établit un tableau de nombres, c-à-d que, pour différentes valeurs de t,
on calcule la valeur correspondante de x.
t(s) x(m)
___________
0 3
2 7
4 11
Pour porter sur des axes de coordonnées t et x, il faut choisir une échelle. Le choix de
cette échelle dépend de considérations pratiques : il faut que les dessins ne soient ni
trop grands ni trop petits et que l'utilisation de l'échelle soit simple. On prendra par
exemple ici :
pour les temps : 1 unité de temps = 1 cm
pour les distances : 2 unités d'espace = 1 cm
On peut alors situer les points et tracer la droite.

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b) La fonction x = 2t + 3 est un cas particulier de l'équation générale du mouvement
rectiligne uniforme x = xo + vt. La vitesse v correspond à la pente de la droite,
c-à-d la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe des abscisses. La tangente d'un
angle, qu'on peut trouver à l'aide d'une table ou d'une calculatrice, est égale au rapport
des longueurs du côté opposé et du côté
adjacent à l'angle dans un triangle rectangle :
tg T =
CA
AB
.
Dans ce cas, les côtés sont tous dessinés à la
même échel
le.
Dans le graphe de x = 2t + 3 on porte des longueurs en ordonnée et des temps en
abscisse. A l'échelle du dessin, la pente de la droite correspond toujours au rapport du
côté opposé au côté adjacent dans un triangle rectangle, c-à-d au rapport d'une longueur à
un temps, ce qui correspond à une vitesse.
Sur le dessin
v =
CA
AB
=
4
8
s
m
= 2 m/s
Exercice 2
Trouver l’équation y(x) des droites passant par les points (x ;y) suivants :
a) (1 ;2) et (3 ;1)
b) (0 ;3) et (5 ;0)
Solution : a) y(x)= -0,5 x + 2,5 b) y(x) = 3/5 x -3
Exercice 3
Un avion vole à une altitude h0 . Au temps t = 0s, il amorce une descente régulière qui
doit l’amener jusqu’au sol. Son altitude h décroit ainsi linéairement au cours du temps.
Trouver a) l’altitude de départ et b) la durée de la descente en fonction des données
suivantes :
Temps (minutes)
4
12
22
30
Altitude (mères)
2000
1500
875
375
Solution : a) h0 = 2250m b) temps de descente = 62,5 min