b) dynamique du point

1
REMARQUES GÉNÉRALES
1. Exercices numériques.
Pour la résolution méthodique de ces exercices, il faut veiller à comprendre
d'abord clairement tout l'énoncé, à voir quelles sont les grandeurs données ainsi que ce
qui est demandé. Une fois qu'on a vu à quoi se rapporte le problème, on examine la
méthode et les formules à employer. Les exercices dont l’énoncé est écrit en caractères
italiques sont des exercices bonus ne faisant pas partie de la matière d’examen.
Il faut attacher la plus grande importance aux unités : dans un même problème,
on doit utiliser des unités cohérentes. Il faut exprimer en quelle unité est donné le
résultat. Un résultat sans indication d'unité est sans valeur.
Les calculs doivent être exécutés avec le maximum de simplification ; on peut
faire un calcul approché, mais l'approximation doit être suffisante. Il faut pouvoir
calculer vite et bien.
2. Graphes.
Les graphes doivent être faits proprement, avec grande précision. Les axes de
coordonnées porteront l'indication de la grandeur qu'ils représentent, les nombres
permettant de faire la lecture et l'unité en laquelle ils sont exprimés.
L'échelle est choisie d'après le graphe pour lui donner des dimensions
convenables.
On fera les graphes sur papier quadrillé ou même sur papier millimétré.
3. Énoncés vrais ou faux.
Ces exercices doivent servir de contrôle de la connaissance de la matière. Pour
les utiliser avec efficacité, il ne faut les examiner qu'après avoir étudié la matière
correspondante. Une fois cette matière supposée connue, il faut lire ces énoncés, indiquer
s'ils sont vrais ou faux et pouvoir justifier la réponse. Arrivé au bout d'une série, on
vérifie ces réponses et on essaye, éventuellement à l'aide du cours, de rectifier celles qui
sont incorrectes.
2
1. RAPPELS DE MATHEMATIQUE
A. LES PROCESSUS LINEAIRES
Exercice 1
a) Représentez graphiquement la position en fonction du temps à partir de la fonction
x (t) = 2t + 3.
b) La fonction x = 2t + 3 est un cas particulier de l'équation générale du mouvement
rectiligne uniforme
x = xo + vt. Déterminez alors la vitesse v correspondant à la
pente de la droite,
Solution :
a) On remarque d'abord que cette fonction est représentée par une droite dont il suffit de
déterminer deux points ; on peut en prendre un troisième en guise de vérification.
A cet effet, on établit un tableau de nombres, c-à-d que, pour différentes valeurs de t,
on calcule la valeur correspondante de x.
t(s)
x(m)
___________
0
2
4
3
7
11
Pour porter sur des axes de coordonnées t et x, il faut choisir une échelle. Le choix de
cette échelle dépend de considérations pratiques : il faut que les dessins ne soient ni
trop grands ni trop petits et que l'utilisation de l'échelle soit simple. On prendra par
exemple ici :
pour les temps
: 1 unité de temps = 1 cm
pour les distances : 2 unités d'espace =
1 cm
On peut alors situer les points et tracer la droite.
3
b) La fonction x = 2t + 3 est un cas particulier de l'équation générale du mouvement
rectiligne uniforme x = xo + vt. La vitesse v correspond à la pente de la droite,
c-à-d la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe des abscisses. La tangente d'un
angle, qu'on peut trouver à l'aide d'une table ou d'une calculatrice, est égale au rapport
des longueurs du côté opposé et du côté
adjacent à l'angle dans un triangle rectangle :
AB
.
CA
Dans ce cas, les côtés sont tous dessinés à la
tg T =
même échelle.
Dans le graphe de x = 2t + 3 on porte des longueurs en ordonnée et des temps en
abscisse. A l'échelle du dessin, la pente de la droite correspond toujours au rapport du
côté opposé au côté adjacent dans un triangle rectangle, c-à-d au rapport d'une longueur à
un temps, ce qui correspond à une vitesse.
Sur le dessin
AB
8 m
=
= 2 m/s
v =
CA
4 s
Exercice 2
Trouver l’équation y(x) des droites passant par les points (x ;y) suivants :
a) (1 ;2) et (3 ;1)
b) (0 ;3) et (5 ;0)
Solution : a) y(x)= -0,5 x + 2,5
b) y(x) = 3/5 x -3
Exercice 3
Un avion vole à une altitude h0 . Au temps t = 0s, il amorce une descente régulière qui
doit l’amener jusqu’au sol. Son altitude h décroit ainsi linéairement au cours du temps.
Trouver a) l’altitude de départ et b) la durée de la descente en fonction des données
suivantes :
Temps (minutes) 4
12
22
30
Altitude (mères)
1500
875
375
2000
Solution : a) h0 = 2250m
b) temps de descente = 62,5 min
4
Exercice 4
Des mesures expérimentales assez imprécises reprises dans le tableau ci-dessous ont
permis de déterminer la force F qui est exercée par un électroaimant en fonction du
courant I qui le traverse. Ces 2 grandeurs sont liées par une équation du premier degré
F(I) = a I + b.
I (Ampères)
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
F (Newton)
2,5
3,0
4,0
4,0
5,0
5,5
6,5
3,0
7,0
7,5
9,0
8,5
A partir de ces données expérimentales,
a) Tracer le graphique de F en fonction de I.
b) Faire passer la meilleure droite possible (méthode visuelle) à travers les points
expérimentaux.
c) Sélectionner deux points de la droite de votre graphique pour trouver les coefficients a
et b de l’équation.
Solution : c) vous devez trouver environ a= 3 et b = 0, la valeur obtenue dépend de votre
graphique
5
B. LES PROCESSUS EXPONENTIELS
Exercice 5
Une grandeur y diminue exponentiellement dans le temps. A la 10e minute, elle vaut 3 679
unités SI ; à la 18e minute, 1 653 ; à la 30e minute, 498.
a) Portez ces données sur le papier semi-logarithmique ci-joint.
b) Que vaut la constante de temps du phénomène ? Représentez-la sur le graphe.
c) Ecrivez l'équation de cette fonction en remplaçant les coefficients par leurs valeurs
numériques.
Solution :
a) La fonction du type y = Ae-kt se représente sur papier semi-logarithmique par une
droite de pente négative (-k) et d'ordonnée à l'origine égale à A.
b) Après avoir porté les trois données sur le papier semi-logarithmique, on trace la droite
qui, prolongée, fournit la valeur de A = 104.
1
La constante de temps est le temps nécessaire pour passer de A à 0,37 A : W = .
k
Ce temps peut se lire directement sur le graphe, il vaut 10 minutes.
c) L'équation de y est donc : y = 104 e-t/10, t étant exprimé en minutes.
6
Exercice 6
La relation y = Ae-kx est portée graphiquement sur papier semi-logarithmique. Les valeurs
indiquées en ordonnées sont celles de y. Quelle est la valeur de k ?
Solution :
log y = log A - kx.log e
Coeff. ang = - k . log e = - 0,4343 k
'(log y )
=
'x
log 10 log 100
1
=
= 40
4
1
k =
= 0,57
4.0,4343
Exercice 7
La concentration C d’un médicament dans le corps d’un patient évolue en fonction du temps t
selon le tableau suivant :
Temps t (heures)
0h
1h
2h
3h
4h
Concentration C
100
39
17
5,5
2,7
ln C
4,61
3,66
2,83
1,70
0,99
Si l’évolution de la concentration du médicament est décrite par l’équation C(t) = C0 e–at
a) Déterminer la valeur du coefficient de disparition a en portant sur un graphique lnC en
fonction du temps.
b) Quelle est la période T correspondant à la disparition de la moitié du médicament.
Solution : a) via la pente de la droite, a = -0.96 h-1 et C0 = 100
b) T=0,74h
7
C. LE CALCUL VECTORIEL
Exercice 8
Une barque a une vitesse de 10 m/min par rapport à l'eau ; le courant a une vitesse de 4
m/min. La vitesse résultante de la barque
a) est certainement 14 m/min
b) peut être 10 m/min
c) peut être 4 m/min
d) peut être 15 m/min.
De ces quatre énoncés, quels sont ceux qui sont corrects ?
Solution : Les vitesses sont des vecteurs, mais l'énoncé ne précise pas leur direction ni
leur sens. La vitesse résultante est une somme vectorielle : son module est compris entre
la somme et la différence des modules des deux termes. Cette vitesse est donc comprise
entre 6 et 14 m/min. Elle n'est pas "certainement" 14 m/min ; elle peut être 10 m/min,
mais elle ne peut pas être 4 ni 15 m/min.
Exercice 9
Dans un fleuve le courant a une vitesse de 5 km/h ; un nageur se déplace également à la
vitesse de 5 km/h par rapport à l'eau. Sa vitesse résultante peut-elle être aussi de 5 km/h
et, si oui, dans quel cas ?
Solution : Le module de la vitesse résultante
est compris entre 5-5 et 5+5 et il peut donc
être égal à 5 km/h.
La vitesse résultante V est la diagonale du
parallélogramme.
Si V = 5, les deux triangles sont équilatéraux
et leurs angles valent chacun 60°.
On a donc la disposition ci-contre.
8
D. LE CALCUL D'INCERTITUDES
Exercice 10b
Pour déterminer l'épaisseur d'un cylindre creux, on fait une mesure, avec une latte, du
rayon extérieur R = 57 ± 1 mm et du rayon intérieur r = 52 ± 1 mm. Quelle est
l'épaisseur et quelle est l'incertitude maximale sur ce résultat ?
Solution : e = R - r = 5 ± 2 mm.
Exercice 11b
Une mesure du côté d'un carré est c = 10,2 ± 0,1 cm. Quelle est la surface du carré et
quelle est l'incertitude absolue sur ce résultat ?
Solution : L'incertitude relative sur le côté est
1
0,1
=
soit environ 1 %
102
10,2
La surface du carré est
S = c2 = (10,2)2 = 104,04 cm2
2
'S
'c
'c
=
+
= 102 n 2 %.
L'incertitude relative sur la surface
S
c
c
L'incertitude absolue 'S = 2,040 cm2.
Il est inutile de conserver plus de chiffres significatifs que dans l'énoncé.
S = 104 ± 2 cm2.
Exercice 12b
Quel est le volume d'un cube dont la mesure de chaque
c = 10,2 ± 0,1 cm ? Quelle est l'incertitude absolue sur ce volume ?
côté
est
Solution : V = c3 = (10,2)3 = 1 061,208 cm3.
L'incertitude relative est environ 3 % et l'incertitude absolue est environ 30 cm3 (31,21
V = 1 061 ± 31 cm3.
cm3). Donc
On peut se rendre compte de cette incertitude en remarquant que, si c = 10,2 ± 0,1 cm,
il se pourrait que le côté soit égal à 10,1 cm. Dans ce cas
V = (10,1)3 = 1 030 cm3
ce qui correspond à l'écart de 31 cm3.
Exercice 13b
Le diamètre d'un cercle, mesuré au pied à coulisse, est d = 10,2 ± 0,1 cm. Quelle est la
surface ? l'incertitude ? Combien de décimales convient-il d'utiliser pour la valeur de S ?
9
Solution : L'incertitude relative sur le diamètre est environ 1% (0,98 % exactement).
L'incertitude relative sur le rayon est également 1%.
d
En effet, r = 2 ; dans ce quotient, 2 est un nombre qui n'est affecté d'aucune incertitude.
Sur r2 il y a une incertitude de 2% (2 . 0,98 % exactement).
Pour S = S.r2 , viendra s'ajouter l'incertitude relative sur S : il convient donc qu'elle soit
peu importante par rapport à 2%. En prenant S = 3,14 l'incertitude relative est inférieure
0,0016
soit environ 0,05 %. Au vu de l'incertitude sur r2 (2 %), il n'est donc pas
à
3,1416
nécessaire de prendre une valeur plus précise pour S.
S = S . r2 = 3,14 (5,1)2 = 81,67 cm2
L'incertitude relative sur S est 0,05 % + 2 %
solue 81,67 . 0,0205 = 1,67 cm2.
En arrondissant, on écrira S = 82 ± 2 cm2.
=
2,05 %
et l'incertitude ab-
10
E. TESTEZ VOS CONNAISSANCES DE BASE
1. Résolvez les exercices suivants sans l'aide d'une calculatrice :
1)
- 34 =
2)
(- 3)4 =
3)
- (- 3)4 =
4)
- (- 3)3 =
5)
(10-3)2 =
6)
4- 0,5 =
7)
42,5 =
1 - 0,25
(
)
=
16
8)
274/3 =
1
10) ( )- 0,5 =
4
9)
11) (
8 2/3
)
=
125
12) 811/2 =
13) 813/4 =
14) - (27)1/3 =
15) (- 32)4/5 =
16) - 4001/2 =
17) 4° =
18) 4 a° =
19) (4 a)° =
21) 163/2 =
22) 125-1/3 =
23) - (625)-1/4 =
1 5/6
24) - (
)
=
64
1 4/5
25) - ()
=
32
26) (0,49)- 0,5 =
27) ( - 2)8 : (- 2)5 =
1 -0,4
28) (
)
=
32
20) 4 (3 + a)° =
Solutions :
1) -81 ; 2) +81 ; 3) -81 ; 4) +27 ; 5) 10 -6 ; 6)
4
1
; 7) 32 ; 8) 2 ; 9) 81 ; 10) 2 ; 11)
;
2
25
12) 9 ; 13) 27 ; 14) -3 ; 15) 16 ; 16) -20 ; 17) 1 ; 18) 4 ; 19) 1 ; 20) 4 ; 21) 64 ;
22)
1
1
1
1
10
; 23) - ; 24) ; 25) ; 26)
; 27) -8 ; 28) 4.
5
5
32
16
7
2. Simplifiez les expressions suivantes :
1)
a2n b5m : a3n b2m =
7)
2)
36x+3 : 6x-1 =
8)
3)
(a - 3b-2) (2 a-1 - b2) =
9)
4)
5)
6)
a 2 b 2
=
a 1 b 1
b2
a2
( )7 ( 3 )6 =
b
a
1/ 2 2 / 3
c1 / 2
a b
( 3 / 4 )6 ( 1 / 4 1 / 3 )9 =
c
a b
8 n 1
2 3n
:
=
(4 n ) 2 4 2 n 1
2 n 4 6.2 n 1
5.2 n 2
3.4 n 4.2 2 n
=
2 n 2 n 1
10)
(a1/2 + a-1/2)2 =
11)
(
81a 4 - 1/4
)
=
b8
11
solutions :
5
2
2
b 3m
x+7 ; 3) 5 - ab2 - 6 ; 4) a b ; 5) b ; 6) a3/4 b ; 7) 2 ;
1)
;
2)
6
ab(b a)
a4
ab 2
an
b2
1
1
; 9) 2n ; 10) a + + 2 ; 11)
8)
3a
5
a
3. Résolvez les fonctions logarithmiques suivantes sans l'aide d'une calculatrice.
log e = 0,43 ; ln 10 = 2,3
1)
log4 32 =
9)
log e3 =
2)
log8 1/4 =
10)
ln
3)
log1/4 8 =
11)
4)
log4 8 =
12)
ln 100 =
a.b
log
=
c
5)
log2
8=
13)
si log x = 2,3, x =
6)
log8 0,25 =
1
ln 3 =
e
1
=
log
10 2,5
14)
si ln x = -4, x =
1
si log = 11,5, x =
x
7)
8)
15)
16)
e3 =
sachant que ln 2 = 0,69, que valent :
a) ln 0,5 =
b) ln 0,25 =
c) ln 8 =
solutions :
5
2
3
3
; 2) x = ; 3) x = ; 4) x =
;
2
3
2
2
3
2
3
; 11) 4,6 ;
5) x = ; 6) x = - ; 7) -3 ; 8) -2,5 ; 9) 1,29 ; 10)
2
3
2
1) 32 = 4x ou 25 = 22x donc x =
12) log a + log b - log c ;13) x = 102,3 = 100 . 100,3 r 200 ; 14)e-4 ; 15) x = 10-11,5 ;
16) a) - 0,69 b) - 1,38 c) 2,07
4. Cherchez la dérivée des fonctions suivantes :
1)
y = (4 - x2)10
2)
y =
3)
( x 2 4) 3
4
3
6
y = + 2- 3
x
x
x
4)
y =
4
x3 5
6)
y = (x + 2)2 (2 - x)3
7)
y = 5 sin 3x
8)
y = (sin 2x)2
S
y =
+ ln 2
x
9)
12
5)
y = x3 (x + 1)2
10)
y = sin3 5 x . cos2
x
3
solutions :
1) y' = - 20 x (4 - x2)9 ; 2) y' =
3
x2
; 3) y' = 3 x
4 4 ( x 3 5) 3
( x 2 4) ;
5. Cherchez la dérivée seconde des fonctions suivantes :
1
1) y = ln
2) y = e-x . ln x
x
3) y = ln
solutions :
ex
1
1
2 1
-x
1) y' = - ; y" =
; 2) y' = - e ln x +
; y" = e-x (ln x )
2
x
x
x x2
x
1
1
; y" = - x-2
3) y' =
2x
2
6. Cherchez la différentielle totale des fonctions suivantes :
1)
u = xy2
1
2x 2
6) u = y2 (2x + 1)2
3) y = cos 2x
5) y =
4) S = 4 SR2
2) x2 + 4y2 = 8
solutions :
1) du = dx . y2 + x 2y dy ; 2) 2x dx + 8y dy = 0 ; 3) dy = - 2 sin 2x dx ;
4) dS = 8 SR dR ; 5) dy = -
dx
; 6) du = 2 y (2x + 1) (2 y dx + 2 x dy + dy) ;
x3
7. Calculez les intégrales suivantes :
2
1) ³ (3x 2 ) dx
x
2)
3)
4)
5)
6)
³ (2 3
4
3
x )dx
7) ´
¶ sin (2x + 1) dx
4
8)
³
1
8
³ (2 cos x 3 sin x)dx
9)
³ (1 x) x dx
10)
³ (1 3
dx
S
³ sin x dx
S
11)
³ cos xdx
o
6
2
dx
x ) ) dx
1
S
2
³ 2x 3
³ ( 2 x)
dx
x
12)
³
2
dx
x
x
13
solutions :
93 7
x + C ; 3) 2 sin x + 3 cos x + C
7
(2 x) 3
2 3/2 2 5/2
1
x
- x
+ C ; 5)
ln (2x - 3) + C ; 6)
+C ;
4)
3
3
5
2
73
1
; 10) 0 ; 11) 1 ; 12) ln 3.
7) - cos (2x + 1) + C ; 8) 2 ; 9)
4
2
1) x3 + 2 ln x + C ; 2) 2x +
8. Calcul de surfaces :
1) Déterminez la surface comprise entre les droites :
y = 4 x + 2, x = 1, x = 3, et l'axe des x.
2) Déterminez la surface comprise entre l'hyperbole équilatère y =
1
, l'axe des x et
x
les droites x = 1 et x = e.
3) Déterminez la surface comprise entre la courbe y = ex, l'axe des x, l'axe des y et la
droite x = 4.
solutions:
1) 20 ; 2) 1 ; 3) e4 - 1
9.
1
v.
2
Exprimez v en fonction du temps, sachant que la vitesse initiale est vo = 2 m/s. Tout est
Un mouvement est tel que la relation entre l'accélération et la vitesse est a = -
exprimé en unités S.I.
Solution :
dv
1
= - v
dt
2
t
v
1
dv
³2 v = - 2 ³o dt
ln
v
1
= - t
2
2
v = 2 e- (1/2) t
10. Dans un mouvement rectiligne on a la relation entre la vitesse et la position : v =
unités S.I.
Au temps t = 0, xo = 1
Quelle est l'accélération de ce mouvement ?
3
en
x
14
Solution :
dx
3
=
dt
x
³ x dx = ³ 3 dt
x2
= 3t+C
x =
2
Lorsque t = o 1 = o C , donc C = 1
6t C
6t 1
1
dx
= (6t 1) -1/2 . 6 = 3 (6 t + 1)-1/2
v =
2
dt
3
dv
9
a =
= - (6t 1) -3/2 . 6 =
2
dt
(6t 1) 3
x =
11. L'accélération d'un corps en mouvement rectiligne est donnée, en unités S.I., par a = 3t.
Si, au temps t = 0, le corps se trouve au point origine avec une vitesse initiale de 1 m/s,
quelle est sa position et sa vitesse après 5 s ?
Quelle est la vitesse moyenne entre la 5e et la 10e seconde ?
Solution :
dv
= 3t
dt
v
³ dv =
1
t
³
3tdt
o
3t 2
v-1 =
2
x
t
3t 2
dx
(
=
³o
³o 2 1) dt
x =
Position à t
=
5s
3t 2
dx
v =
+1 =
2
dt
t3
+t
2
x = 67,5 m
Vitesse à t
= 5s
v = 38,5 m/s
Position à t
= 10 s
x = 510 m
Vitesse moyenne entre la 5e et la 10e seconde :
'x
510 67,5
=
= 88,5 m/s
vm =
't
10 5
15
12. Dans un mouvement rectiligne, la relation entre la position x et la vitesse v est
5-2v=3x
en unités S.I. Au temps t = 0, on part de x = 0.
Ecrivez l'équation de la position en fonction du temps, de la vitesse en fonction du temps
et faites-en les représentations graphiques : mettez une indication de graduation
numérique des axes.
Solution :
Vous verrez en électricité qu'une équation du type
dI
E
= RI
a comme solution
I(t) =
E-L
(1 e R / L.t )
dt
R
dx
= 3x
ici :
5-2
dt
(la variable est x au lieu de I et les constantes ont des valeurs numériques).
5
On trouve comme solution : x = (1 e (3 / 2)t )
3
Equation de la vitesse en fonction du temps
dx
v =
=
dt
5
3
(e (3 / 2)t )( )
3
2
5 - (3/2) t
e
=
2
16
13. Un mouvement rectiligne est déterminé, en unités S.I., par la relation 3 x - 3 = - 5 v.
Ecrivez l'équation de la position x en fonction du temps si au temps t = 0, x = 0.
Solution :
3x-3 = -5
1
³o 5 dt
x
dx
dt
t
dx
³o 3x 3 =
x
o
Le logarithme d'un nombre n'étant défini
[
x
1
ln | 3x - 3 | ]o
3
=
dx
³o 3 3x =
u
Si
1
³ 5 dt
o
que si celui-ci est positif, on obtient :
1
t
5
1
x
[ - 3 ln | 3 - 3x | ]o
=
ln
| 3x 3 |
3
= - t
5
| 3 |
ln
| 3 3x |
3
= - t
5
|3|
ln
| 3x 3 |
3
= - t
3
5
ln
| 3 3x |
3
= - t
3
5
| 3x - 3 | = 3 e- (3/5) t
Si x > 1
t
| 3x - 3 | = | 3 - 3x | = 3x - 3
et
3 x - 3 = 3 e-(3/5) t
d'où
x = 1 + e-(3/5) t
x < 1 | 3x - 3 | = | 3 - 3x | = 3 - 3x
et
3 - 3x = 3 e-(3/5) t
d'où
x = 1 - e-(3/5) t
Puisque t = 0, x = 0, on est dans le second cas.
Dès lors, on peut, dès le début, voir qu'il faut prendre
1
dx
³ 3 3x = - 3 ln (3 - 3x)
| 3 - 3x | = 3 e- (3/5) t
1
t
5
17
14. Un mouvement rectiligne est donné en unités S.I. par la relation a + 2v = 5.
Sachant que le corps part du repos, exprimez la vitesse en fonction du temps. Sachant
que le corps part de la position zéro, exprimez la position x en fonction du temps.
Solution :
dv
+ 2v = 5
dt
dv
= - 2v + 5
dt
v
t
dv
=
³o 2v 5 ³o dt
1
v
[ ln (-2v + 5)]o
2
2v 5
= - 2t
ln
5
2v 5
= e-2t
5
5 - 2v = 5 e-2t
-
= t
2v = 5 (1 - e-2t)
5
v =
(1 e 2t )
2
t
5
(1 e 2t ) dt
x =
³
2o
e 2 t
5
[t 2
2
5
5
t + e-2t x =
2
4
=
1 o
e ]
2
5
4
15. Un mobile se déplace dans un plan XY de telle sorte que vx = 4 t3 + 4 t et vy = 4 t
(S.I.).
Au temps t = 0, le mobile se trouve au point de coordonnées x = 1 et y = 2.
Donnez l'équation de la trajectoire de ce mobile.
Solution :
dx
= 4 t3 + 4 t
dt
x = t4 + 2 t 2 + C
t = 0 x = 1 => C = 1
dy
= 4t
dt
y = 2 t2 + C
t = 0 y = 2 => C = 2
18
Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps entre les équations :
x = t4 + 2 t2 + 1 = (t2 + 1)2
y = 2 (t2 + 1)
D'où y2 = 4 x
16. Un mouvement rectiligne est tel que l'accélération est donnée par a = 6 t + 2 en unités
S.I. Après 1 seconde, la vitesse est 6 m/s.
a) Quelle est la distance parcourue pendant les 3 premières secondes ?
b) Dessinez le graphe de la vitesse en fonction du temps pendant les 4 premières
secondes. Graduez les axes de coordonnées.
Réponse : a) 39 m
17. Un mouvement rectiligne est tel que, en unités SI, la vitesse égale le double de la position
: v = 2x. Pour t = 0, x = 1.
Trouvez les expressions de la position, de la vitesse et de l'accélération en fonction du
temps. Donnez l'allure de leurs représentations graphiques.
Réponses : x = e2t ; v = 2 e2t ; a = 4 e2t
18. Un mouvement rectiligne est décrit en unités SI par l'équation x = 2v + 1.
Au temps t = 0, x = 2.
a) Déterminez la position, la vitesse, l'accélération en fonction du temps.
b) Calculez la position, la vitesse, l'accélération après 2 secondes.
Réponses :
1 (1/2) t
1
e
; a = e(1/2) t
2
4
b) 3,7 m ; 1,35 m/s ; 0,675 m/s2
a) x = 1 + e(1/2) t ; v =
19. Un mouvement rectiligne est défini, en unités SI, par la relation entre la vitesse et
l'accélération : 2 v + 3 a = 5
La vitesse initiale est nulle. Exprimez la vitesse en fonction du temps et donnez-en la
représentation graphique en graduant les axes.
Réponse : v =
5
3
secondes.
(1 e ( 2 / 3)t ) ; constante de temps =
2
2
19
20. Dans un mouvement rectiligne, la vitesse diminue exponentiellement dans le temps avec
une constante de temps de 0,2 s. A l'instant initial, vo = 2 m/s. Calculez la vitesse
moyenne durant la première seconde. Faites la représentation graphique de v et vmoy en
fonction du temps, en graduant les axes des coordonnées.
Réponse : vmoy = 0,4 m/s.
20
2. BIOMECANIQUE
A) EXERCICES DE STATIQUE ET DE BIOMECANIQUE
1.
Déterminez la résultante de deux forces parallèles et de sens contraire, valant
respectivement 2 N et 4 N ; elles sont
4N
distantes de 1 mètre.
1m
A
Solution :
a) Grandeur de la résultante : C' est la somme
2N
vectorielle de 2 N et 4 N, c-à-d 4 - 2 = 2 N
dirigé vers le haut.
b) Point d'application de la résultante : Le moment de la résultante par rapport à un point
quelconque, par exemple A, doit être égal à la somme vectorielle des moments des
B
deux forces par rapport au même point A. Le moment de 2 N par rapport à A est nul.
Le moment de 4 N par rapport à A vaut 4 . 1 = 4 N . m ; il est perpendiculaire à la
feuille et sortant. Si le point d'application de la résultante est situé à x mètres à droite
de A, le moment de la résultante vaut 2 x N . m et est aussi dirigé vers le haut.
Donc, 2 x = 4 d'où x = 2 m
Le point d'application est à 2 mètres à droite de A, c-à-d à 1 m à droite de B.
2.
80 cm
A
B
10 N
Déterminez la résultante de deux forces
parallèles et de même sens, valant
respectivement 10 N et 30 N ; elles sont
distantes de 80 cm.
30 N
Solution :
a) Grandeur : 40 N vers le bas
b) Point d'application : Prenons les moments par rapport à A et supposons le point
d'application de la résultante à x cm à droite de A.
x . 40 = 0,8 . 10 d'où x = 0,2 m = 20 cm.
21
3.
Quel est le moment du couple de forces de 5
N distantes de 50 cm ?
5N
50 cm
A
Solution : La grandeur de la résultante est
nulle mais il existe un moment résultant. C'est
B
la somme vectorielle des moments des deux
5N
forces par rapport à un point quelconque, par
exemple A.
M = 0,5 . 5 = 2,5 N . m
C'est un vecteur perpendiculaire à la feuille et sortant.
4.
Déterminez la résultante des quatre forces
parallèles de la figure ci-contre.
2N
A
10 cm
10 cm
B
3N
C
1N
10 cm
D
Solution :
a) Grandeur : 3 + 4 - 2 - 1 = 4 N vers le bas
b) Point d'application : Prenons les moments
par rapport à A et supposons le point
d'application de la résultante à x cm à
droite de A. On donnera un signe + aux
moments perpendiculaires à la feuille et
rentrants et un signe - à ceux qui sortent de
la feuille.
4N
x . 4 = - 0,1 . 2 + 0,2 . 4 - 0,3 . 1
d'où x = 0,075 m = 7,5 cm à droite de A.
Remarque : dans les exercices qui suivent, les forces seront souvent exprimées en kg
force plutôt qu'en Newton, pour des raisons pratiques.
5.
Deux câbles attachés au plafond en des points
distants de 50 cm soutiennent un poids de 100
kg. Ces câbles ont respectivement comme
longueur 30 et 40 cm. Quelle est la force
exercée dans chaque câble ?
22
Solution :
cm
cm
cm
Décomposons graphiquement la force de 100
kg suivant les directions AC et BC. Les
triangles CED et ABC sont semblables, d'où
x
y
100
=
=
40
50
30
x = 60 kg force et y = 80 kg force
y = 100 cos T
ou
50 cm
T
30 cm
cm
T
40 cm
T
x = 100 sin T
Le triangle ABC est rectangle car
502 = 402 + 302
40
d'où cos T =
= 0,8
50
30
et
sin T 0,6 50
donc y = 80 kg et x = 60 kg
100 kg
6.
Un câble supportant un poids de 180 kg est
maintenu à distance du mur par une tige de
1,60 m. Il est accroché au mur 1,20 m au
dessus du point d'appui de la tige. Quelle est la
force de tension qui agit dans la partie BC du
câble ? Quelle est la force qui agit dans la tige
horizontale ?
Solution :
On décompose la force de 180 kg suivant les
directions CB et AB. Les triangles ABC et
EFD sont semblables ; de plus CB = 2 m
x
y
180
=
=
2
1,6
1,2
d'où x = 300 kg force et y = 240 kg force
23
7. Deux ouvriers transportent une charge de 90 kg suspendue à une barre de 1,35 m de
long. Où doit-on suspendre la charge pour que l'un d'eux ne porte que 40 kg ?
Solution :
La force de 90 kg doit être décomposée en
deux forces de 40 kg et 50 kg. Le moment par
rapport à A, par exemple, de la résultante doit
être égal à la somme des moments des deux
composantes.
x . 90 = 1,35 . 50 d'où x = 0,75 m = 75 cm
8.
Décomposez la force de 240 N en deux
composantes x et y suivant la figure ci-contre.
N
9.
Solution :
a) Grandeur : x + y = 240
b) Moment par rapport à A
0,6 . 240 = 0,75 . y d'où y = 192 N
et x = 240 - 192 = 48 N.
Décomposez la force de 40 N en deux
composantes x et y suivant la figure ci-contre.
Solution :
a) Grandeur : x - y = 40
N
b) Moment par rapport à C
0,6 . 40 = 0,4 . x
d'où
x = 60 N et y = x - 40 = 20 N
10. Un père et son fils portent ensemble un poids de 20 kg au moyen d'une barre de 2 m
pesant 5 kg. Où doit être placé le poids pour que le père porte deux fois plus que le fils ?
Solution : Le poids total est 25 kg dont
25
kg doivent être portés par le fils en D
3
50
kg par le père en A. La charge de 20
et
3
kg est à x cm à droite de A ; le poids de la
barre s'exerce en son centre de gravité, cà-d à 100 cm à droite de A.
24
Il faut exprimer que l'ensemble des deux forces 20 kg et 5 kg est équivalent à l'ensemble
50
25
kg et
kg.
des deux autres :
3
3
Pour cela, il faut avoir :
50 25
+
a) même grandeur : 20 + 5 =
3
3
b) même moment résultant (par rapport à A) :
25
50
+2.
x . 20 + 1 . 5 = 0 .
3
3
d'où x = 0,583 m = 58,3 cm
11. Un levier pèse 20 kg et mesure 1 m. A ses extrémités sont suspendues des charges de 50
kg et 80 kg. Où doit-on mettre le point d'appui pour que le levier soit en équilibre ?
50 cm
A
x
B
50 cm
C
D
20 kg
50 kg
80 kg
Solution : Après avoir représenté les forces,
plaçons le point d'appui en D, à x cm à droite
de A.
Pour que le levier soit en équilibre sur le point
d'appui D, il faut que le moment résultant par
rapport à D soit nul. On donnera un signe + aux moments dirigés perpendiculairement à
la feuille et qui s'enfoncent dans la feuille et un signe - à ceux qui sortent de la feuille.
- AD . 50 + DB . 20 + DC . 80 = 0
ou
AD . 50 = DB . 20 + DC . 80
x . 50 = (0,5 - x) . 20 + (1 - x) . 80 d'où x = 0,6 m = 60 cm
Le point d'appui est situé à 60 cm à droite de A ou à 10 cm à droite de B.
12. Une brouette pèse 10 kg. Son centre de gravité est à 40 cm de l'axe de la roue. Le centre
de gravité de la charge se trouve à 60 cm de cet axe. La distance des poignées à l'axe est
1,20 m. Quelle charge peut-on mettre dans la brouette si on exerce aux poignées une
force de 25 kg force ?
Solution : La brouette peut être schématisée
comme un levier où AB = 0,4 m, AC = 0,6 m,
AD = 1,2 m.
Moment par rapport à A :
AB . 10 + AC . x - AD . 25 = 0
0,4 . 10 + 0,6 . x - 1,2 . 25 = 0
d'où x = 43,3 kg.
25
13.
Le levier ci-contre a 1 m de long et pèse 20
kg. Quatre forces y sont appliquées.
Où doit-on placer le point d'appui pour avoir
l'équilibre ?
Solution : Il faut encore ajouter le poids du
levier, 20 kg force en G, à 50 cm à droite de
A. Plaçons le point d'appui en P à x cm à
droite de A.
Moment par rapport à P :
- AP . 10 - BP . 15 + PG . 20 - PC . 5 + PD . 10 = 0
- x . 10 - (x - 0,3) . 15 + (0,5 - x) . 20 - (0,8 - x) . 5 + (1 - x) . 10 = 0
d'où
x = 0,41 m
On peut encore exprimer que la résultante des forces appliquées au levier doit passer par
le point d'appui pour que le levier soit en équilibre.
Cette résultante vaut R = 10 + 15 + 20 - 5 + 10 = 50 kg force vers le bas.
En prenant les moments par rapport au point A, on a
x . 50 = 0,3 . 15 + 0,5 . 20 - 0,8 . 5 + 1 . 10
d'où
x = 0,41 m
14. Le tambour d'un treuil a un diamètre de 20 cm et porte une charge de 45 kg. Quelle force
doit-on exercer à la manivelle si celle-ci est à 36 cm du centre du tambour ?
Solution : Le treuil peut être considéré
comme un levier :
la charge de 45 kg agit à l'extrémité d'un bras
de levier de 10 cm (rayon du treuil) et la force
F à l'extrémité d'un bras de 36 cm.
0,36 . F = 0,1 . 45
d'où
F = 12,5 kg force.
26
15. Une barre soumise à quatre forces est en équilibre.
Que valent F1 et F2 ?
Solution :
&
&
A l'équilibre 6 F = 0
5 + 2 - F2 + F1 = 0
&
&
6 M = 0 Prenons les moments de force par rapport au point à l'extrémité droite (point
d'application de F1)
- 0,35 . 5 - 0,15 . 2 + 0,05 . F2 = 0
d'où
F2 = 41 kg force
F1 = F2 - 7 = 34 kg force
16. Une poutre de 3 m de long, pesant 100 kg, est en outre chargée de deux poids
respectivement de 50 et 150 kg. La poutre repose sur deux points d'appui A et B à ses
extrémités. Quelles sont les réactions des points d'appui en A et en B ?
Solution :
Les forces appliquées à la poutre sont les deux forces de 50 et 150 kg force, son poids
exercé au centre de gravité et les deux réactions des points d'appui. La poutre étant en
&
&
ou
50 + 100 + 150 - RA - RB = 0
équilibre, on a 6 F = 0
&
&
6M = 0
par rapport au point A.
0,5 . 50 + 1,5 . 100 + 2,5 . 150 - 3 . RB = 0
d'où
RB = 183,3 kg force
27
RA
= 116,7 kg force
17. Une planche de 4 m de long pèse 20 kg et repose sur deux points d'appui A et B distants
de 2,50 m, une extrémité de la planche se trouvant en A.
A une distance variable x à partir de A, on place un poids de 30 kg.
Exprimez la réaction du point d'appui A en fonction de cette distance x.
A quelle distance de A doit se trouver ce poids de 30 kg pour que la planche bascule
autour du point B ?
Solution :
Les forces qui agissent sur la planche sont : le poids de la planche en son centre de
gravité et le poids de 30 kg dirigés vers le bas; les réactions des points d'appui dirigées
vers le haut.
&
&
&
&
Il y a équilibre si 6 F = 0 et 6 M = 0 par exemple par rapport au point B.
2,5 . RA - (2,5 - x) . 30 - 0,5 . 20 = 0
d'où
2,5 RA = 85 - 30 x
RA = 34 - 12 x
La planche va basculer autour du point B dès qu'elle ne pousse plus sur le point d'appui
A, donc dès que le point d'appui A n'exerce plus de réaction, c-à-d dès que RA = 0
34
= 2,83 m.
ou x =
12
18.
Une barre de 10 kg et de 1 m de long repose
sur un point d'appui situé à 75 cm d'une
extrémité.
A l'autre extrémité s'exerce une force de 5 kg.
La barre n'est pas en équilibre.
Quel est le moment de force total par rapport
au point 0 ?
Solution :
Il y a trois forces qui s'exercent sur la barre :
la force de 5 kg ; le poids de 10 kg au centre de gravité, milieu de la barre ; la réaction
de 15 kg au point d'appui.
En prenant arbitrairement comme sens positif des moments ceux dont le vecteur
s'enfonce dans le plan du dessin, le moment par rapport au point 0 est
28
M = 1 . 5 + 0,5 . 10 - 0,75 . 15
=
- 1,25 kg . m
= - 12,5 N . m
19. Une barre de 10 m de long et pesant 20 kg est soutenue en son milieu par un point
d'appui. Elle est soumise aux forces représentées sur le dessin.
Quel moment de force supplémentaire faut-il appliquer à la barre pour la maintenir en
équilibre ? Spécifiez le point d'application, la direction et le sens de ce moment.
Solution : Exprimons que le moment de force total par rapport au point d'appui est nul.
On prend arbitrairement positif le sens du moment qui sort de la feuille : ß
Remarquons que le moment du poids de 20 kg est nul.
5.5-3.2-1.6+M =0
d'où M = -13 N.m
Il faut ajouter un moment de force de 13 N . m dont le point d'application est au point
d'appui, et qui s'enfonce dans la feuille perpendiculairement à celle-ci.
20.
Une barre AB comporte deux sections ayant
une distribution de masse uniforme .
La section de gauche a une masse de 4 kg. La
section de droite a une masse de 6 kg. A
quelle distance d du point A se trouve le
centre de gravité G de cette barre ?
29
Solution :
Les moments de force par rapport au point A
fournissent l'équation suivante :
d . 10 = 1,5 . 4 + 5 . 6
d'où d = 3,6 m
21.
Une échelle de 20 kg repose sans frottement
contre un mur. Quelle est la force horizontale
exercée contre ce mur ? Quel est le moment
de cette force par rapport au point A ? Que
doit valoir le coefficient de frottement Ps avec
le sol pour qu'il y ait équilibre ?
Solution : Les forces qui s'exercent sur
&
l'échelle sont : le poids P de 20 kg agissant au
centre de gravité (centre de l'échelle), la
&
&
réaction du sol N , la réaction du mur F et la
&
force de frottement au niveau du sol F frott.
&
&
Il faut que 6 F = 0 , c-à-d N = P = 200 N
et F = Ffrott.
&
&
Il faut aussi que 6 M = 0
MN = 0
MFfrott. = 0
l
MP = P 2 sin T
S
MF = F l sin ( - T Fl cos T
2
&
&
MP - MF = 0
6 M = 0 d'où
l
P sin T Fl cos T
2
P
20.10 6
tang T =
. = 75 N
F
=
2
8
2
75
= 0,38
Par ailleurs, Ffrott. ≤ PsN = Ps . 200 donc Ps ≥
200
Par rapport à A :
30
22.
Soit une échelle de 5 m de long et qui pèse 10 kg.
Elle est adossée contre un mur en un point situé à 4
m au-dessus du sol. Sur quelle distance, l, un garçon
de 50 kg peut-il grimper sur cette échelle avant
qu'elle ne commence à glisser ? On peut négliger les
frottements avec le mur. Avec le sol, le coefficient
de frottement statique vaut 0,4.
l ?
N2
Solution : Les forces s'exerçant sur l'échelle et le
5m
4m
P
l
N1
P'
3m
garçon sont : le poids de l'échelle P, le poids du
garçon P', la réaction du sol sur l'échelle N1, la force
de frottement Ff du sol sur l'échelle et la réaction N2
du mur.
La première condition d'équilibre de l'échelle
&
&
supportant le garçon est : 6 F = 0
Ff
Verticalement : N1 - P - P' = 0 d'où N1 = P + P' = 600 N
Horizontalement : Ff - N2 = 0 avec Ff = PN1 d'où N2 = Ff = PN1 = 0,4 . 600 =
240 N
&
&
La deuxième condition d'équilibre est 6 M = 0
.
En prenant comme origine des moments de force le point d'appui de l'échelle sur le sol,
les moments exercés par la force de frottement et la réaction du sol sont nuls ; les
moments du poids de l'échelle et du garçon sont des vecteurs rentrant dans la feuille, le
moment exercé par la réaction du mur est sortant. On a donc :
MP + MP' - MN2 = 0
soit
L
P 2 cos T + P' l cos T - N2 L sin T = 0
où
L est la longueur de l'échelle = 5 m
4
T est l'angle formé entre l'échelle et le sol : sin T = 5
La distance l jusqu'où le garçon peut monter vaut donc :
L
N 2 L sin T P cos T
2
l =
P' cos T
240.5.4 / 5 P.5 / 2.3 / 5
= 2,7 m
=
3
500.
5
3
et cos T = 5 .
31
23. Le diagramme ci-dessous représente la colonne vertébrale d'un homme dont le tronc
est incliné d'un angle T avec l'horizontale. Les force qui s'appliquent sur la colonne sont
W1, le poids du tronc (W1 = 0,4.P), W2, le poids de la tête (W2 = 0,2.P), M la résultante
des forces exercées par les muscles érecteurs du rachis et R la force exercée par
l'articulation avec le sacrum sur la colonne.
Calculez la grandeur de M et de R (en fonction de P) pour une inclinaison de la colonne T
de 30°, 60° et 90°
Solution :
Selon x : Rx M . cos 18 0
Selon y : R y M . sin 18 W1 W2
(1)
(2)
0
L
2L
Selon z : ( . sin - ).W1 ( . sin 12).M ( L. sin - ).W2
2
3
(3) Î M
(
0
(3)
W1 . cos 0,4.P. cos 3
3
0,2.P. cos - ).
W2 . cos - ).
=(
2
2. sin 12
2
2. sin 12
= 2,89.P. cos T
(1) Î Rx
M . cos(T 12)
(2) Î R y
M . sin(T 12) W1 W2
32
Inclinaison T
30°
M
2,5.P
Rx
2,38.P
Ry
1,37.P
R
2,74.P
60°
90°
1,44.P
0
0,96.P
0
1,67.P
0,6.P
1,93.P
0,6.P
24. On se propose d'étudier les forces s'appliquant sur la jambe lors de l'exercice avec
haltère représenté ci-dessous. Les forces en présence sont W1 le poids de la jambe, W0 le
poids de l'altère, M la force du muscle quadriceps (transmise via le tendon patellaire) et R
la force de réaction articulaire au niveau du genou.
Calculez les forces R et M.
a = 12 cm, b = 22 cm, c = 50 cm, W1 = 150 N, W0 = 100 N, T = 15° et E = 45°.
Solution :
Selon x : Rx M . cos(T E ) 0
Selon y : M . sin(T E ) W1 W0 R y
0
Selon z : a. sin T .M b. cos E .W1 c. cos E .W0
(3) Î M
(1)
(2)
(b.W1 c.W0 ). cos E
= 1 381 N
a. sin -
0
(3)
33
(1) Î Rx
M . cos(E T ) = 690,5 N
(2) Î R y
M . sin( E T ) W1 W0 = 946 N
R
2
2
Rx R y = 1 171 N
25. Vous êtes capables de maintenir votre bras à l'horizontale grâce au muscle deltoïde. Le
diagramme des forces est représenté ci-dessous.
Calculez la tension T du muscle deltoïde pour maintenir l'équilibre, et les composantes
horizontale et verticale de la force F exercée par la scapula sur l'humérus. La masse de
l'humérus est de 3 kg et le deltoïde fait un angle de 17° avec l'humérus.
Solution :
Selon x : Fx T . cos D 0
Selon y : T . sin(D ) m.g Fy
Selon z : 6.T . sin D 13.m.g
0
0
13.m.g
= 218 N
6. sin D
(1) Î Fx T . cos D = 209 N
(2) Î Fy T . sin D m.g = 93 N
(3) Î T
R
2
2
Rx R y = 237 N
(1)
(2)
(3)
34
B) AUTRES EXERCICES SUR LA STATIQUE ET LA BIOMECANIQUE
1.
Une barre d'une longueur de 1 m et d'un poids de 20 kg est soumise aux forces suivantes :
Où faut-il mettre le point d'appui pour que la barre soit en équilibre ?
Réponse : à 48,125 cm de l'extrémité gauche.
2.
Le levier ci-contre est soumis aux
forces représentées sur le dessin. Où
doit-on placer le point d'appui pour
que le levier soit en équilibre ?
Sur le dessin, indiquez par le signe
ou
le point
↑ m↓ →
d'application et le sens du vecteur
moment de force de la force de 3 kg
par rapport au point d'appui.
Réponse : à 40 cm de l'extrémité gauche.
3.
Une barre, soumise à quatre forces, est en équilibre (voir dessin).
Que valent F1 et F2 ?
35
Réponses : F1 = 34 kg ; F2 = 41 kg
4.
Le levier ci-contre pèse 20 kg et
est soumis aux quatre forces
indiquées sur le dessin. Où doiton placer un point d'appui pour
que ce levier soit en équilibre ?
Réponse : à 58,6 cm de l'extrémité gauche.
5.
Un système de masses (voir dessin) est en équilibre. On néglige les poids des câbles et poulies
ainsi que les frottements.
a) Dessinez le diagramme des forces s'exerçant
sur la masse de 10 kg
b) Que vaut la masse m ?
c) Quelle est la force normale exercée par la
masse de 10 kg sur le plan incliné ?
5 kg
10 kg
m
30°
Réponses : b) m = 2,5 kg ; c) 43,5 N
(avec g = 10 m/s2 et cos 30° = 0,87)
36
C) EXERCICES SUR LES DEFORMATIONS DES SOLIDES
1.
Un fil de 1 m de long et 0,4 mm2 de section, s'allonge de 2 mm
lorsqu'on y suspend un poids de 8 kg. Quel est le coefficient d'élasticité à la traction de ce
fil ?
Solution : E =
F /S
=
dl / l
8 / 0,4
= 10 000 kg/mm2. Si g = 10 m/s2, E = 1011
2 / 1000
N/m2
2.
Un fil d'acier de 1,50 m de long a une section de 10 mm2. Quel est son
allongement sous l'effet d'une force de 750 N ? Le coefficient d'élasticité à la traction de
l'acier est 2.106 kg/cm2.
Solution : En unités SI,
E
= 2 . 106 kg/cm2 = 2 . 1011 N/m2 (si g = 10 m/s2)
F /S
F .l
=
Comme
E
=
dl / l
S .dl
750.1,5
F .l
=
= 56,25 . 10-5 m = 0,5626 mm
dl
=
S .E
10 5.2.1011
3.
Un fil de cuivre s'allonge de 0,5 mm sous l'action d'une force de 150 N.
Quel est l'allongement que subit un fil de cuivre deux fois plus long, dont le diamètre est
deux fois plus grand et qui est soumis à une force de 200 N ?
Solution : L'allongement est proportionnel à la force et à la longueur, et
inversement proportionnel à la section, c-à-d au carré du diamètre :
dl = 0,5 .
1
200
. 2 . 2 = 0,33 mm
150
2
37
4b.
Un tuyau cylindrique de 50 cm de
haut et 5 cm de rayon subit une torsion de 4°.
Quel est l'angle de cisaillement ?
Solution : L'angle de cisaillement E
=
s
h
s
r
4q.5 4q
T .r
=
=
= 7.10-3
d'où E =
h
10
50
L'angle de torsion
T=
radian
5b. Un fil de laiton a 30 cm de long et 0,4 mm de diamètre. Quel est son
coefficient de torsion ? Le module de rigidité du laiton K = 3,7 . 1010 N/m2
Solution : Le coefficient de torsion k =
S .K .r 4
2h
Exprimons toutes les grandeurs en unités SI.
k =
S .3,7.1010 (2.10 4 ) 4
2.0,3
= 3,1 . 10-4
N.m
rd
6b. Quel moment de force doit-on appliquer à ce fil de laiton de 30 cm de
longueur et de 0,4 mm de diamètre pour le tordre de 30° ?
Solution :
M
= kT
N.m
(problème précédent)
rd
T
= 30° = 0,5236 rd
M = 1,62 . 10-4 N.m
k
= 3,1 . 10-4
7b. Un fil de platine a un coefficient de torsion de 10-3 Nm/rd. Quel est le
coefficient de torsion d'un fil de platine deux fois plus long et dont le diamètre est deux
fois plus grand ?
Solution :
k =
S .K .r 4
2h
38
Le coefficient de torsion est proportionnel à la 4ème puissance du rayon ou du
diamètre et inversement proportionnel à la hauteur du cylindre, c-à-d la longueur du fil.
Si le fil est 2 fois plus long et le diamètre 2 fois plus grand, le coefficient de torsion est 2
fois plus petit et 24 fois plus grand, donc
24
= 8 . 10-3 Nm/rd
k = 10-3
2
39
D) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1.
Une force de 1 N peut exercer un moment supérieur à celui qui est exercé par une force
de 100 N.
2.
Si un corps est en équilibre statique, le vecteur somme de toutes les forces qui agissent
sur lui, est nul.
3.
La résultante de deux forces inégales ne peut pas être nulle.
4.
La résultante de quatre forces d'égale intensité peut être nulle.
5.
Un corps est soumis à deux forces d'égale intensité mais de sens opposé : il peut en
résulter un mouvement.
6.
Deux forces de 3 et 10 N peuvent être disposées de façon telle que leur résultante soit
5 N.
7.
Un corps est en équilibre statique quand la somme des moments de force par rapport à un
point quelconque est nulle.
8.
Trois hommes poussent sur une caisse avec des forces de 500 N dans des directions
différentes. La caisse va certainement se déplacer (on néglige les frottements).
9.
Toutes autres choses égales, l'allongement d'un ressort est proportionnel à sa longueur.
10. Toutes autres choses égales, un câble de 10 mm de diamètre s'allongera 2 fois moins
qu'un câble de 5 mm de diamètre.
11. Sous l'action d'un même couple, un fil deux fois plus long subira une torsion d'un angle
deux fois plus grand.
12. Toutes autres choses égales, un fil dont la section est deux fois plus grande a un
coefficient de torsion quatre fois plus grand.
40
13. Quand un angle est petit, on peut confondre l'angle avec son sinus uniquement si l'angle
est exprimé en radians.
14. Quand un angle est petit on peut le confondre avec son sinus, son cosinus ou sa tangente.
Réponses : 1 V - 2 V - 3 V - 4 V - 5 V - 6 F - 7 F - 8 F - 9 V - 10 F - 11 V 12 V - 13 V - 14 F
41
3. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE
Sauf indication contraire, on prendra g = 9,8 m/s2
A) MOUVEMENT RECTILIGNEET CIRCULAIRE
A1) EXERCICES RESOLUS
1. Une auto roule à la vitesse constante de 20 m/s. Après combien de temps a-t-elle
parcouru 50 km ? Quelle distance parcourt-elle en 10 minutes ?
Faites la représentation graphique de la position en fonction du temps et vérifiez sur le
graphe les deux réponses du problème.
Solution :
Comme la vitesse est constante, le mouvement est uniforme.
x
50000
=
= 2 500 s = 41 m 40 s
1) t =
v
20
2) x = vt = 20 . 10 . 60 = 12 000 m = 12 km
3) Graphe : graduez l'axe de la position de 0 à 60 km et l'axe du temps de 0 à 50 minutes.
On sait que le graphe de la position en fonction du temps dans un mouvement
uniforme est une droite qu'il suffit de déterminer par deux points :
pour t = 0, x = 0 ; pour t = 50 minutes = 3 000 secondes, calculez la position.
2. Pour traverser un fleuve de 100 m de large on utilise une barque animée d'une vitesse de
50 m/min perpendiculairement au sens du courant. La vitesse du courant est 20 m/min.
Combien de temps faut-il à la barque pour traverser le fleuve ? Quelle distance a-t-elle
parcourue ?
Solution : La barque est animée de deux vitesses perpendiculaires v A = 50 m/min et v //
= 20 m/min ; on en cherche la résultante par le carré de l'hypoténuse. Mais le temps de
traversée est indépendant de la vitesse du courant. La barque doit franchir une distance
x A de 100 m à la vitesse v A = 50 m/min ; le temps de traversée est donc :
t
=
xA
100
=
= 2 minutes
vA
50
42
La vitesse résultante de la barque est
v2 = v A 2 + v // 2 = 502 + 202 = 2 900
v = 53,85 m/min.
La distance totale parcourue durant la
traversée est
x= v . t = 53,85 . 2 = 107,7 m
x
xP
v
vP
v
p
xp
3. Pour relier deux points A et B distants de 250 km, un avion met 50 minutes à l'aller et 40
minutes au retour. Sachant que l'avion a volé à la vitesse constante v et que le vent a
soufflé à la vitesse constante v' dans la direction BA, déterminez la vitesse de l'avion et
celle du vent.
Solution : Soient v la vitesse de l'avion et v' la vitesse du vent.
La distance AB est parcourue à la vitesse
v - v' en 50 minutes,
250
= 5 km/min.
v - v' =
50
La distance BA est parcourue à la vitesse
v + v' en 40 minutes,
250
25
=
km/min.
v + v' =
4
40
45
d'où v =
En additionnant membre à membre les deux équations on a 2v =
4
km/min = 337,5 km/h.
25
5
-v =
km/min = 37,5 km/h
La vitesse du vent est v' =
4
8
d'où
d'où
45
8
4. Une auto roule à la vitesse de 36 km/h. Elle accélère de manière à atteindre 72 km/h
après 50 secondes. Quelle est l'accélération moyenne ?
'v
et 'v = 72 - 36 = 36 km/h
't
car il faut ramener toutes les grandeurs dans un même système d'unités
10
= 0,2 m/s2
a =
50
Solution :
a
=
5. Un corps part du repos avec une accélération constante de 5 cm/s2.
Quelle est sa vitesse après 20 secondes ?
Quelle distance a-t-il parcourue ?
Faites la représentation graphique
a) de la vitesse en fonction du temps
=
10 m/s
43
b) de la position en fonction du temps.
Solution : Accélération constante signifie mouvement uniformément accéléré, donc
v = at = 5 . 20 = 100 cm/s
at 2
= 1 000 cm
2
Pour les graphes, on utilise les deux mêmes formules en prenant différentes valeurs de t.
x =
La représentation de la vitesse est une droite, celle de la position une parabole.
6. Un corps part du repos avec une accélération constante de 10 cm/s2.
Quelle est sa vitesse quand il aura parcouru 100 mètres ?
Solution : Dans ce MRUA, on donne l'accélération et le déplacement et on demande la
vitesse. Cependant le temps n'est pas connu.
MRUA a = 10 cm/s2 = 0,1 m/s2
v
v = at d'où t =
a
2
at
x =
2
v2
v
En remplaçant t par dans x (t) on obtient x =
2a
a
2.0,1.100 =
2ax =
20 = 4,47 m/s
et donc
v =
7. Un corps a une vitesse initiale de 1 m/s et une accélération de 60 cm/s2. Faites la
représentation graphique
a) de la vitesse en fonction du temps
b) de la position en fonction du temps.
Solution : On écrit en unités SI, les relations
(droite)
v = vo + at = 1 + 0,6 t
at 2
= t + 0,3 t2
(parabole)
2
On dresse un tableau de valeurs numériques qui permet de tracer le graphe.
x = vo t +
8. Une auto roule à une vitesse de 72 km/h et freine avec une décélération de 4 m/s2.
Combien de temps lui faut-il pour s'arrêter ? Sur quelle distance freine-t-elle ? Faites la
représentation graphique de la vitesse en fonction du temps.
Solution : Le mouvement est uniformément décéléré. Combien de temps lui faut-il pour
s'arrêter, c-à-d pour avoir une vitesse nulle ?
44
v = vo - at
ou
0 = 20 - 4 t
d'où
t = 5s
La vitesse vo a été exprimée en SI : 72 km/h = 20 m/s
at 2
x = vot 2
4.25
= 20 . 5 = 50 m
2
9. Une auto roulant à 108 km/h freine et s'arrête sur une distance de 100 mètres.
Quelle est sa décélération ? Combien de temps lui faut-il pour s'arrêter ?
Solution :
On connaît la vitesse initiale vo = 108 km/h = 30 m/s et la distance parcourue x = 100
m. Si on suppose que la décélération est constante, il s'agit d'un :
MRUD v = vo - at = 30 - at
at 2
at 2
x = vot = 30 t 2
2
On sait que si x = 100 m, v = 0 :
30
0 = 30 - at d'où t =
a
2
at
100 = 30 t 2
30
En remplaçant t par a dans la 2° équation, on obtient
30 a 30 2
- ( )
100 = 30 .
a 2 a
900
100 =
2a
900
30
= 4,5 m/s2
et t =
= 6,6 s
d'où a =
200
4,5
10. Un mouvement est défini en unités SI par la relation x = 5t + 2.
De quel genre de mouvement s'agit-il ? Quelle est sa vitesse ? Faites la représentation
graphique de la position en fonction du temps.
Solution : La relation entre la position et le temps est une fonction du premier degré : il
s'agit d'un mouvement uniforme ; la représentation graphique est une droite. La vitesse se
trouve à l'aide de la dérivée.
dx
= 5 m/s
v =
dt
La vitesse est constante.
45
11. Un mouvement est défini en unités SI par la relation x = t2 + 2t + 3. De quel genre de
mouvement s'agit-il ? Quelle est la vitesse après 4 secondes ? Quelle est l'accélération ?
Faites la représentation graphique
a) de la position en fonction du temps
b) de la vitesse en fonction du temps.
Solution : Ce problème est analogue au précédent : la dérivée
dx
donne la vitesse et
dt
dv
donne l'accélération : elle est constante et le mouvement est uniformément accéléré.
dt
12. La position d 'un corps est donnée en unités SI par la fonction x = t2 + 4.
Quelle est la vitesse moyenne pendant les 10 premières secondes ? Faites la
représentation graphique
a) de la position en fonction du temps
b) de la vitesse en fonction du temps.
Solution : La vitesse moyenne est celle que posséderait le corps si son mouvement était
uniforme.
Pour t = 0, x = 4 ; et pour t = 10, x = 104
'x
104 4
=
= 10 m/s
vm =
't
10
13. Un mouvement est défini en unités SI par la relation x = t3 + 2 t2 + 7
Faites la représentation graphique
a) de la vitesse en fonction du temps
b) de l'accélération en fonction du temps.
Solution : Avant de faire les représentations graphiques il faut, par dérivation, trouver la
vitesse et l'accélération en fonction du temps :
(parabole)
v = 3 t2 + 4t
a = 6t +4
(droite)
14. Un corps a une vitesse constante de 2 cm/s pendant 2 secondes ; puis il s'arrête pendant 2
secondes ; enfin, il fait marche arrière pendant 2 secondes avec une vitesse uniforme de
1 cm/s. (On suppose que les passages du mouvement à l'arrêt se font de manière
brusque). Faites la représentation graphique
a) de la vitesse en fonction du temps
b) de la position en fonction du temps.
Solution :
46
a)
b)
Graphe de la vitesse :
vitesse constante
vitesse nulle
= droite horizontale
= droite horizontale se confondant avec l'axe des t
marche arrière
= vitesse négative
Graphe de la position :
vitesse constante
vitesse nulle
= droite oblique
= droite horizontale puisque le mobile reste au même endroit
marche arrière
= droite oblique inclinée vers le bas puisque le mobile revient
en arrière.
15. Un corps part du repos avec une accélération de 10 m/s2 qui cesse lorsque la vitesse
atteint 30 m/s. Il se meut à cette vitesse pendant 5 secondes, puis ralentit jusqu'à l'arrêt
avec une décélération de 5 m/s2. Quel parcours le corps a-t-il fait et en combien de temps
? Faites la représentation graphique
a) de la vitesse en fonction du temps
b) de l'accélération en fonction du temps
c) de la position en fonction du temps.
Solution :
1ère partie du mouvement MRUA :
v = at
x =
d'où
t =
v
= 3s
a
at 2
= 45 m
2
2ème partie du mouvement MRU :
uniforme
v = 30 m/s pendant 5 s
x = xo + vt = 45 + 30 . 5 = 195 m
3ème partie du mouvement MRUD :
uniformément décéléré avec vitesse initiale de 30 m/s.
0 = 30 - 5 t
v = vo - at ; à l'arrêt
d'où
t = 6s
2
at
5.36
= 195 + 30 . 6 = 285 m
x = x o + vo t 2
2
Durée totale = 3 + 5 + 6 = 14 s.
16. Un corps a une vitesse constante de 1 m/s pendant 2 secondes ; ensuite, il a une
accélération constante de 1 m/s2 pendant 2 secondes ; puis, il garde la vitesse acquise
pendant 1 seconde, enfin, il ralentit uniformément jusqu'à l'arrêt avec une décélération de
1 m/s2.
Faites la représentation graphique :
47
a) de la vitesse en fonction du temps
b) de la position en fonction du temps
c) de l'accélération en fonction du temps.
Solution : Le mouvement se divise en 4 parties
A. Vitesse : 1) v = 1 (horizontale)
2) v = vo + at = 1 + t (droite inclinée ; après les 2 secondes, v = 3 m/s)
3) v = 3 (horizontale)
4) v = 3 - t (il faut 3 secondes pour avoir l'arrêt)
B. Position : 1) droite x = vt jusqu'au point t = 2 s, x = 2 m
2) parabole partant de ce point
a
x = xo + vo (t - to) + (t t o ) 2
2
1
= 2 + (t - 2) + (t 2) 2
2
pour t = 3 s, x = 3,5 m et pour t = 4 s, x = 6 m
x = xo + v (t - to)
= 6 + 3 (t - 4)
pour t = 5 s, x = 9 m
3) droite
4) parabole
x = xo + vo (t - to) -
1
(t 5) 2
2
t = 6 s, x = 11,5 m
t = 7 s, x = 13 m
t = 8 s, x = 13,5 m
= 9 + 3 (t - 5) pour
a
(t t o ) 2
2
48
C. Accélération : Elle vaut successivement 0, 1, 0, - 1 m/s2: ce sont quatre segments
horizontaux.
17. Un objet en mouvement rectiligne
possède une vitesse qui augmente de
manière parabolique au cours du temps.
Dessinez le graphique de l'accélération
en fonction du temps. De quel type de
mouvement s'agit-il ? MRU, MRUA ou
MRQ ?
Solution :
La parabole indique que la vitesse est une
fonction du second degré par rapport au
temps.
Par dérivation, l'accélération est une fonction
du premier degré, c-à-d une droite.
La grandeur de l'accélération est égale à la
pente de la tangente à la parabole :
l'accélération est nulle pour t = 0 puis elle
croît.
Le mouvement n'est pas uniformément
accéléré. Il est quelconque.
49
18. Un mouvement rectiligne est défini en unités SI par son accélération a = t + 1.
Au temps t = 0, v = 2
et au temps t = 2, x = 10.
Quelle est la distance parcourue après 3 secondes ?
Quelle est la vitesse moyenne pendant ces 3 secondes ?
Solution :
dv
= t+1
dt
t2
+t+C
2
Pour t = 0,
v = 2 d'où C = 2
t2
dx
+t+2 =
et
v =
2
dt
2
t
x = ³ ( t 2) dt
2
3
t
t2
+
+2t+C
=
6
2
8
+ 2 + 4 + C = 10 d'où
Pour t = 2,
x =
6
t3
t2
8
+
+2t+
et
x =
6
3
2
8
Pour t = 0,
x =
3
53
t = 3,
x =
3
45
= 15 m
La distance parcourue est
3
15
= 5 m/s.
La vitesse moyenne est vm =
3
v =
³ (t 1) dt =
C =
8
3
50
19.
Un corps effectue un mouvement
rectiligne.
La position en fonction du temps
est représentée dans le graphe cicontre. On ne possède que les
données suivantes : Durant les 20
premières secondes, la distance
parcourue est 150 m ; AB est une
parabole à tangente horizontale
en A de même que FG ; CDE est
tangente
une
parabole
à
horizontale en D ; BC et EF sont
des droites tangentes aux
paraboles qu'elles joignent.
Pour chaque partie du mouvement, indiquez le type de mouvement, la valeur de la vitesse, de
l'accélération et de la distance
parcourue.
Solution :
a) Durant les 5 premières secondes, la parabole à tangente horizontale en A indique que
le mouvement est uniformément accéléré avec vitesse initiale nulle. Il y a une
a.5 2
= 12,5 a
accélération a ; après 5 secondes, v = 5a et x =
2
b) La droite BC correspond à un mouvement uniforme dont la vitesse constante est celle
obtenue à la cinquième seconde v = 5 a.
La distance parcourue est x = v . 10 = 50 a
c) La parabole CD correspond à un mouvement uniformément décéléré symétrique du
mouvement accéléré du début. La distance parcourue est 12,5 a.
Durant les 20 premières secondes la distance parcourue est
x = (12,5 . a) + (50 . a) + (12,5 . a) = 150
75 a = 150
a = 2 m/s2
Les distances parcourues sont respectivement 25 m, 100 m et 25 m.
La vitesse croît de 0 à 10 m/s, reste constante puis décroît jusqu'à 0.
d) La partie DEFG correspond au même mouvement en marche arrière.
51
20. Combien de temps faut-il à un corps pour tomber d'une hauteur de 500 m dans le vide,
sans vitesse initiale ? Avec quelle vitesse arrive-t-il au sol ?
Solution :
y =
gt 2
d'où
2
t =
2y
= 10,1 s
g
v = gt = 9,8 . 10,1 = 99 m/s
En regroupant les 2 équations ci-dessus, on a aussi :
v =
2 gh =
9800 = 99 m/s = 99 m/s
21. On laisse tomber deux corps dans le vide à 1 seconde d'intervalle.
A quelle distance seront-ils l'un de l'autre 6 secondes après le départ du premier ?
Solution : Calculer séparément la distance parcourue après 6 secondes et 5 secondes et
faire la différence. On trouve 53,9 m
22. Un objet tombe en chute libre d'un point P.
La distance AB = 25 m est parcourue en 1 seconde. A
quelle hauteur h le point P se trouve-t-il au-dessus du
point A ? (g = 10 m/s2).
Solution :
Le mouvement AB est uniformément accéléré avec a = g
et vitesse initiale vo, d'où
gt 2
y = vot +
(y = 25 m si t = 1 s)
2
25 = vo + 5
vo = 20 m/s
vo
Dans la chute libre PA, comme dans ex. 20,
v =
2 gh
v2 = 2 gh
202 = 20 h
h = 20 m
23. Un corps lancé verticalement vers le haut parvient à une altitude de 50 m. Avec quelle
vitesse initiale a-t-il été lancé ? (g = 10 m/s2)
52
Solution : L'accélération g et la vitesse initiale vo étant dirigées en sens opposés, les
équations de ce mouvement sont
y
gt 2
y = vot 2
où
g = 10 m/s2
g
v = vo - gt
Au sommet de la trajectoire, on a :
y = 50 m
soit
50 = vot - 5 t2
v = 0
0 = vo - 10 t
v
Dans la 2e équation, on tire t = o et en remplaçant dans la 1e, on a :
10
2
2
2
v
v
v
50 = 0 - 0 = 0
d'où
vo = 31,3 m/s
20
10 20
v
o
24. On jette une balle vers le haut et on la rattrape 4 secondes plus tard. Quelle hauteur la
balle a-t-elle atteinte ?
Solution :
La balle met 2 secondes pour monter et 2 secondes pour descendre. En tombant pendant
2 secondes, elle parcourt une distance
gt 2
= 19,6 m
y =
2
NB : la vitesse initiale de cette chute est nulle puisqu'elle correspond à la vitesse au
sommet de la trajectoire.
25. D'une hauteur de 980 m on tire une balle verticalement vers le bas avec une vitesse
initiale de 490 m/s. Combien de temps faut-il à la balle pour atteindre le sol ?
Solution : Mouvement accéléré avec vitesse initiale ; on connaît y, vo, g et
on demande t.
gt 2
y = vot +
ou 980 = 490 t + 4,9 t2 ou t2 + 100 t - 200 = 0
2
Il y a deux solutions : t = 1,96 s et t = - 101,96 s.
vo
g
Cette dernière solution est à rejeter puisqu'un temps ne peut pas être négatif.
y
26. En tirant une balle verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 490 m/s,
combien de temps faut-il pour que la balle atteigne 980 m de haut ? Expliquez pourquoi
on trouve deux réponses.
53
Solution : Cette fois, g et vo sont en sens opposé :
gt 2
y = vot 2
980 = 490 t - 4,9 t2
t2 - 100 t + 200 = 0
d'où
t = 2,04 s
et
97,96 s
La balle atteint 980 m de haut après 2,04 s ; ensuite, elle continue à monter,
elle retombe et passe à nouveau à 980 m de haut après 97,96 s.
y
g
v
o
27. Un projectile est tiré verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 100 m/s.
Faites la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps (prendre g = 10
m/s2) Représentez aussi la position en fonction du temps.
Solution : Pendant combien de temps le projectile monte-t-il ?
Jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle.
v = vo - gt
0 = 100 - 10 t
t = 10 s
Il retombe aussi pendant 10 s. Les graphes se feront donc sur une durée de 20 s.
1) vitesse : v = 100 - 10 t
droite dont une partie correspond à des vitesses négatives : vitesses de sens contraire
à celui de la montée
2) position : y = 100 t - 5 t2
parabole dont il faut calculer plusieurs points entre autres :
t = 10,
y = 500 (hauteur maximum)
t = 0 et
t = 20,
y = 0
28. A 50 m au dessus du sol, on lance un corps verticalement vers le bas.
Quelle doit être sa vitesse initiale pour qu'il atteigne le sol après 2 secondes ? S'il n'avait
pas de vitesse initiale, combien de temps mettrait-il pour tomber ? (g = 10 m/s2)
Solution :
1) avec vitesse initiale :
y = vo t +
gt 2
2
50 = vo . 2 + 5 . 4
vo
2) sans vitesse initiale :
= 15 m/s
gt 2
y =
2
54
50 = 5 t2
d'où
t = 3,2 s
29. Un avion vole à la vitesse de 370 km/h à 490 m d'altitude. Combien de temps une bombe
lâchée par cet avion met-elle pour tomber ?
Solution : le temps de chute est indépendant du mouvement horizontal de l'avion.
gt 2
d'où
490 = 4,9 t2
et
t = 10 s
y =
2
30. Un avion vole horizontalement à 1 200 m d'altitude à la vitesse de 450 km/h. Quelle est
la durée de chute d'une bombe ? Quelle est la distance horizontale parcourue par la
bombe ? Où se trouve l'avion au moment où la bombe arrive au sol ? Quelle est, en
grandeur et en direction, la vitesse de la bombe quand elle arrive au sol ? (g = 10 m/s2)
vo
Solution :
1) durée de chute : on ne considère que le mouvement vertical
En prenant g = 10 m/s2,
y
2
gt
ou
1 200 = 5 t 2
d'où
t = 15,5 s
y =
2
2) distance horizontale : c'est un mouvement uniforme qui
x
g
s'effectue avec la même vitesse que celle de l'avion : 450 km/h
= 125 m/s
x = vot = 1 937,5 m
3) l'avion a le même mouvement horizontal que la bombe : il reste toujours au-dessus
de la bombe
4) vitesse horizontale
= 125 m/s
vitesse verticale
= gt = 155 m/s
vitesse résultante
=
(125) 2 (155) 2 = 199 m/s
5) angle T de la vitesse avec la verticale
125
= 0,8065
d'où
tg T =
155
T = 0,68 radian (38°53')
31. Un avion volant à une vitesse de 100 m/s lâche une bombe. Au moment de toucher le sol,
la trajectoire de la bombe fait avec celui-ci un angle de 45 °. Quelle est l'altitude à
laquelle vole l'avion ? (g = 10 m/s2)
Solution :
55
Horizontalement MRU :
vx = 100 m/s = cte
vy = gt = 10 t
gt 2
= 5 t2
y =
2
La vitesse résultante est toujours tangente à la trajectoire. Au moment de toucher le sol,
Verticalement
MRUA :
la vitesse résultante forme avec l'horizontale un angle de 45° ; les composantes
horizontale et verticale sont donc égales. Or la vitesse horizontale est 100 m/s.Pour
trouver l'altitude de l'avion, c-à-d la distance verticale parcourue par la bombe, on a :
Au sol : vy = vx = 100 m/s
Par la 1e équation :
Par la 2e équation :
100 = 10 t
y = 5
t2
d'où
t = 10 s
= 500 m.
32. Un obus est tiré avec une vitesse dont la composante horizontale est 400 m/s et la
composante verticale 490 m/s. Quelle est la hauteur maximum atteinte par l'obus ?
Solution : Pour avoir la hauteur maximum, il suffit de considérer le mouvement vertical.
La hauteur maximum est atteinte lorsque la vitesse verticale s'annule :
v oy
490
d'où
t =
=
= 50 s
voy - gt = 0
9,8
g
La distance verticale parcourue pendant ce temps est
gt 2
= 12 250 m
y = voyt 2
33. Un canon fait avec l'horizontale un angle de 30° et l'obus est tiré avec une vitesse initiale
de 490 m/s. Combien de temps faut-il à l'obus pour atteindre la hauteur maximum ?
Quelle est la portée ? Combien de temps met-il pour toucher le sol ?
Vitesse initiale horizontale : vox = 490 . cos 30° = 424,3 m/s
Vitesse initiale verticale :
voy = 490 . sin 30° = 245 m/s
Mouvement horizontal : MRU
Mouvement vertical : MRUA
vx = vox = 424,3 m/s
vy = voy - gt = 245 - 9,8 t
gt2
x = voxt = 424,3 t
y = voyt - 2 = 245 t - 4,9 t2
Solution :
1) temps pour atteindre la hauteur maximum ?
la vitesse verticale s'annule au sommet
0 = 245 - 9,8 t
d'où
t = 25 s
2) hauteur maximum :
y = 245 . 25 - 4,9 . (25)2 = 3 062,5 m
56
3) Au sol : y = 0
0 = 245 t - 4,9 t2
0 = (245 - 4,9 t)t d'où
t = 0 ou 50 s
La portée est donc
x = 424,3 . 50 = 21 215 m
34.
Dans l'expérience faite aux travaux pratiques au sujet du mouvement de l'obus, on a
relevé la trajectoire ci-dessus dont le parcours a duré 3 secondes.
Déterminez :
a) la composante horizontale de la vitesse initiale
b) la composante verticale de la vitesse initiale
c) la composante horizontale de l'accélération
d) la composante verticale de l'accélération
e) la valeur de tg T
Solution :
Mouvement horizontal : MRU
ax = 0
vx = vox
x
37,5.4
=
= 50 cm/s
t
3
Mouvement vertical : similaire à celui du corps lancé vers le haut : MRUA
vy = voy - ay t
t2
y = voy t - ay
2
3
s = 1,5 s
Au sommet de la trajectoire
t =
2
vy = 0
X = Voxt
d'où
vox =
y = 50 cm
En reprenant les équations du mouvement :
d'où
voy = ay . 1,5
0 = voy - ay . 1,5
57
et
50 = voy . 1,5 -
a y .(1,5) 2
2
En remplaçant voy dans la 2e équation, on obtient :
a y .(1,5) 2
50 =
2
100
(1,5) 2
= 44,4 cm/s2
d'où
ay =
et
voy = 44,4 . 1,5 = 66,6 cm/s
T
vx = 50 cm/s
La vitesse verticale en fin de parcours a
la même valeur que voy
tg T =
vy
vx
=
66,6
= 1,33
50
vy = 66,6 cm/s
35. Un obus tiré suivant un angle de 45° avec l'horizontale retombe sur le sol après avoir
franchi une distance horizontale de 1 km. Quelle est la durée totale pendant laquelle
l'obus parcourt la trajectoire ? Quelles sont, au départ, les deux composantes de la vitesse
? (g = 10 m/s2)
Solution : L'inclinaison à 45 ° exige que les deux composantes de la vitesse soient égales
au départ : appelons-les vo.
Si le temps de montée est t, la durée totale du tir est 2 t.
Horizontalement, 1 000 = vo . 2 t
Verticalement, la vitesse s'annule après un temps t.
0 = vo - gt
d'où vo = 10 t
donc, 1 000
t
v
o
= 20 t2
50 = 7 s
=
= 70 m/s
58
A2) EXERCICES NON RESOLUS
1.
Un mouvement est décrit, en unités SI, par l'équation x = t 3+ t + 1.
a) Faites les graphes de la position, de la vitesse et de l'accélération au cours des 5
premières secondes ; indiquez les échelles sur les axes.
b) De quel mouvement s'agit-il ?
c) Quelle est la position, la vitesse et l'accélération au temps t = 2s ?
Réponses :
2.
b) quelconque
c) x = 11 m ; v = 13 m/s ; a = 12 m/s2.
Représentez graphiquement en fonction du temps, la position d'un mobile qui possède
une vitesse initiale de 8 m/s et freine jusqu'à l'arrêt avec une décélération constante de 1
m/s2.
3.
Un garçon lance une balle de 200 grammes verticalement vers le haut et la rattrape 2
secondes plus tard au point de départ. Quelle était la vitesse de la balle au départ ?
Réponse : 9,8 m/s
4.
D'une certaine hauteur h au dessus du sol, on
lance un objet vers le haut avec une vitesse
initiale dont la composante verticale est 40
m/s. Cet objet tombe sur le sol 9 secondes
plus tard.
a) A quelle hauteur h est-on pour le lancer ?
b) Quelle hauteur, au-dessus du sol, atteint
l'objet ? (g = 10 m/s2)
Réponses : a) 45 m ; b) 125 m
5.
Un avion vole à 2 000 m d'altitude à la vitesse de 720 km/h et lâche une bombe.
En exprimant tout en unités SI et en prenant g = 10 m/s2, donnez
a) l'expression de la distance parcourue horizontalement
b) l'expression de la distance parcourue verticalement
c) l'équation de la trajectoire
d) le temps de chute de la bombe
e) la grandeur de la vitesse résultante au moment où la bombe va toucher le sol
f) la valeur de tg T après 10 secondes
59
Réponses :
a) x = 200 t ; b) y = 5 t2 ; c) y = 5 (
6.
x 2
) ; d) 20 s ; e) 282,8 m/s ; f) 2
200
Un mouvement composé (genre bombe ou obus) est déterminé, en unités SI, par les
équations x = 15 t et y = 20 t2 - 5 t3 .
a) Quelle est l'équation de la trajectoire ?
b) Au temps t = 3 s, quelle est la vitesse en grandeur et en direction ?
Réponses :
4x 2
x3
a) y =
45
675
b) 21,2 m/s ; 45° avec l'axe des x.
7.
Une bille roule le long d'une planche inclinée
a 30°. Au moment de quitter la planche, sa
vitesse est de 50 m/s. (g = 10 m/s2)
A quelle distance x va-t-elle tomber ?
Réponse : x = 86,6 m
.
8.
Un athlète lance une balle d'une
hauteur de 1,55 m au-dessus du
sol. La vitesse initiale vo = 10 m/s
fait un angle de 45° avec
l'horizontale. Quelle est la
distance horizontale AB franchie
par la balle ? (g = 9,8 m/s2)
Réponse : 11,57 m.
60
A3) EXERCICES SUR LE MOUVEMENT CIRCULAIRE
1.
Une roue de 2 m de diamètre fait 100 tours/min. Quelle est la vitesse
linéaire d'un point de sa circonférence ? Quelle est sa vitesse angulaire?
Solution :
a)
vitesse linéaire :
's
100.2S .R
62,8
=
=
= 10,46 m/s
v =
't
60
6
b) vitesse angulaire :
'T
100.2S
=
= 10,46 rd/s
Z =
60
't
v
= 10,46 rd/s
On a aussi Z =
R
2.
Un corps décrit d'un mouvement uniforme une circonférence de 25 m de rayon. Quelle
est sa vitesse linéaire, sa vitesse angulaire, si l'accélération centripète est 1 m/s2 ?
Solution :
a
Z
3.
a.R = 5 m/s
Un point P décrit un mouvement circulaire uniforme de 10 cm de rayon et fait un tour en
12 secondes. Dessinez ce cercle en vraie grandeur. En prenant comme point de départ
l'extrémité droite du diamètre horizontal, indiquez la position du point P après 2
secondes. En ce point représentez le vecteur vitesse linéaire (l cm/s est représenté par un
vecteur de 1 cm) et le vecteur accélération centripète (1 cm/s2 est représenté par un
vecteur de 1 cm).
Solution :
4.
v2
d'où
v =
R
5
v
= 25 = 0,2 rd/s
=
R
=
's
2S .R
=
= 5,23 cm/s
't
12
c'est un vecteur tangent au cercle
v2
= 2,74 cm/s2
a =
R
c'est un vecteur dirigé vers le centre.
v
=
Quelle est la direction et le sens du vecteur vitesse angulaire des aiguilles d'une montre ?
Réponse : Perpendiculaire au cadran et s'enfonçant dans le cadran.
61
5.
Quelle est la vitesse angulaire, en radians/s, de la rotation de la terre ?
1 tour
2S
= 0,7268 . 10-4 rd/s
Solution : Z = 1 jour =
24.3600
6.
Quelle est l'accélération centripète d'un point de l'équateur terrestre ?
Solution :
a
Z
R
a
v2
= Z2 R
R
a été trouvé au problème précédent
= 6 400 km = 6 400 000 m
= 33,8 . 10-3 m/s2 = 3,38 cm/s2
=
7. Une roue d'un diamètre de 8 m a une vitesse angulaire qui décroît uniformément à partir
de la vitesse de 100 tours/min au temps t = 0 jusqu'à l'arrêt complet après 4 s.
Quelle est l'accélération tangentielle et l'accélération centripète d'un point sur la
circonférence extérieure de la roue au temps t = 2 s ?
Solution : 100 tours/min =
10S
100.2S
=
rd/s.
60
3
5S
=
rd/s2
6
10S
.4 =
= 10,47 m/s2
3
'Z
10S
=
't
3 .4
5S
at = DR =
6
Z = Zo - Dt
5S
10S 5S
.2 =
rd/s
Pour t = 2, Z =
6
3
3
ac = Z2R = 109,66 m/s2
D
8.
=
Un corps a un mouvement circulaire uniformément accéléré ; le rayon du cercle est 50
cm et l'accélération angulaire est 2 rd/s2. Au temps t = 3 s, la vitesse angulaire est 16 rd/s
; au temps t = 10 s, que vaut la vitesse linéaire d'un point de la circonférence ? Au même
temps t = 10 s, que vaut l'accélération linéaire d'un point de la circonférence ?
Solution :
La vitesse angulaire est donnée par
Z = Zo + 2 t
On sait qu'en t = 3 s, Z = 16 rd/s
on a
16 = Zo + 2 . 3
d'où
Zo = 10
et
Au temps
Z
t
= 10 + 2 t
= 10,
62
Z
= 30 rd/s
et
v = Z . R = 15 m/s
L'accélération linéaire est la somme vectorielle de
1) l'accélération centripète
ac = Z2 R = 450 m/s2
2) l'accélération tangentielle
at = D R = 1 m/s2
La grandeur de l'accélération linéaire est
9.
a =
450 2 12 # 450 m/s2
Un point matériel tourne d'un mouvement uniformément accéléré sur une circonférence
de 50 cm de rayon. Après 6 secondes sa vitesse angulaire est 5 rd/s ; après 10 secondes
son accélération centripète est 24,5 m/s2. Quelle est, après 20 secondes, son accélération
tangentielle, sa vitesse linéaire ? Dessinez le graphe de la vitesse linéaire en fonction du
temps.
Solution :
De l'accélération centripète ac = Z2 . R = 24,5 m/s2
on déduit Z = 7 rd/s après 10 secondes.
La vitesse angulaire Z = Zo + at est pour
t = 6
t = 10
5 = Zo + 6 D
7 = Zo + 10 D
D = 0,5 rd/s2
Zo = 2 rd/s
L'accélération tangentielle est
at = D . R = 0,25 m/s2
La vitesse angulaire après 20 s est
Z = 2 + 0,5 . 20 = 12 rd/s
d'où
et
v = Z . R = 6 m/s
Z = 2 + 0,5 t
v = Z . 0,5
= 1 + 0,25 t
10. Une particule ponctuelle possède un mouvement circulaire de 5 m de rayon. Dans les
trois figures suivantes on donne la valeur de l'accélération linéaire totale ainsi que la
direction et le sens de ce vecteur.
Donnez pour chaque cas, la valeur de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire.
63
Solution :
1) Il n'y a qu'une accélération centripète ac = Z2 . R
ac
20
=
= 4 et Z = 2 rd/s.
d'où Z2 =
5
R
Il n'y a pas d'accélération tangentielle donc pas d'accélération angulaire.
2)
En décomposant l'accélération totale, on a
ac = 30 . cos 30°
at
= 26 = Z2 R
d'où Z = 2,28 rd/s
= 30 . sin 30°
= 15 = DR
d'où D = 3 rd/s2
3)
Les deux composantes valent toutes deux
50 . 0,7 = 35 m/s2
ac = Z2 R = 35
at
d'où Z =
= DR = 35
7 = 2,6 rd/s
d'où D = 7 rd/s2
&
&
Comme a t est en sens inverse de v , c'est une décélération.
11.
On fait tourner une pierre au bout d'une corde
de 1 m dans un plan horizontal qui se trouve
à 2 m au-dessus du sol. A un moment, la corde
casse et la pierre, soumise à la pesanteur
(g = 10 m/s2), est projetée 10 m plus loin.
a) Quel temps met-elle pour tomber ?
b) Quelle est sa vitesse au moment où la corde
(Dessin en perspective)
casse ?
c) Quelle est l'accélération centripète à l'instant de la rupture ?
64
d) Calculez l'incertitude relative avec laquelle on connaît cette accélération si toutes les
grandeurs intervenant dans l'énoncé sont connues à 1 % près, sauf g pour lequel il y a
une incertitude relative de 2 %.
Solution :
gt 2 2
4
; t =
; t = 0,63 s
2
10
10
= 15,8 m/s
b) x = vt ; v =
0,63
a) y = 2 =
250
v2
=
= 250 m/s2
R
1
portée 2 .g
portée 2
v2
=
=
d) a =
R.2. y
R
Rt 2
c) a =
'a
= 6%
a
65
A4) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. Un projectile est tiré verticalement vers le haut. Au point le plus élevé de sa trajectoire,
son accélération est nulle.
2. Le temps que met un corps pour tomber est proportionnel à la distance qu'il doit
parcourir.
3. Un objet jeté par la fenêtre d'une auto en mouvement mettra pour tomber un temps plus
long que s'il était jeté de la même manière de l'auto à l'arrêt.
4. La vitesse est un vecteur dirigé dans le sens du mouvement.
5. L'accélération est un vecteur dirigé dans le sens du mouvement.
6. Dans une rivière dont le courant a une vitesse de 5 km/h, il y a moyen de nager à la
vitesse de 5 km/h dans une direction telle que la vitesse résultante soit 5 km/h.
7. Une auto se dirigeant vers le nord peut avoir en même temps une accélération dirigée
vers le sud.
8. L'accélération est la variation de vitesse d'un corps.
9. Une grandeur scalaire est une grandeur sans unités.
10. Un avion lâche une bombe ; si la vitesse de l'avion est doublée, le temps mis par la
bombe pour tomber est réduit de moitié.
11. Si la vitesse de l'avion est doublée, la distance parcourue horizontalement par la bombe
est doublée.
12. Dans une formule physique, on peut additionner des grandeurs qui n'ont pas les mêmes
dimensions.
13. Dans une formule physique, on peut multiplier les grandeurs qui n'ont pas les mêmes
dimensions.
14. Dans un mouvement quelconque, la vitesse moyenne est la moyenne entre la vitesse
initiale et la vitesse finale.
66
15. La vitesse angulaire est une grandeur scalaire.
16. Sur un carrousel, les points les plus éloignés du centre sont soumis à une accélération
centripète plus petite que les points plus rapprochés du centre.
17. La lune, sur son orbite, subit constamment une accélération dirigée vers la terre.
18. Un mouvement circulaire est uniforme quand son accélération est nulle.
19. Il peut y avoir une accélération même quand la grandeur de la vitesse est constante.
20. L'existence d'une accélération angulaire entraîne celle d'une accélération tangentielle.
21. L'existence d'une accélération centripète entraîne celle d'une accélération angulaire.
Réponses :
1 F - 2 F - 3 F - 4 V - 5 F - 6 V - 7 V - 8 F - 9 F - 10 F - 11 V - 12 F - 13 V 14 F - 15 F - 16 F - 17 V - 18 F - 19 V - 20 V - 21 F
67
B) DYNAMIQUE DU POINT
B1) EXERCICES RESOLUS
1.
Deux billes dont les masses sont respectivement 5 et 10 grammes sont soumises à une
même force. Quel est le rapport des accélérations que prennent ces billes ?
Solution : Pour une même force, l'accélération est inversement proportionnelle à la
masse.
F
. L'accélération de la bille de 5 grammes est le double de celle de 10 grammes.
a =
m
2.
Deux billes de même masse sont soumises respectivement à la force de 5 et 10 N. Quel
est le rapport des accélérations que prennent ces billes ?
Solution : Pour une même masse, l'accélération est proportionnelle à la force.
L'accélération due à la force de 5 N est la moitié de celle qui est due à la force de 10 N.
3.
Un corps de 15 kg décrit un mouvement rectiligne donné en unités SI par la relation
x = 2 t2 + 3 t + 1. Quelle est la force qui s'exerce sur ce corps ?
Solution : L'accélération se trouve par dérivation :
dx
= 4t+3
v =
dt
dv
= 4
a =
dt
F = m . a = 15 . 4 = 60 N
4.
Un corps a une masse de 10 kg ; quel est, à la surface de la terre, son poids
a) en kg poids ?
b) en Newtons ?
Solution :
P = 10 kg poids
= 10 . 9,8 = 98 N
5.
Un corps pèse 490 Newtons ; quelle est sa masse ? Un autre corps pèse 250 kg poids ;
quelle est sa masse ?
Solution :
La masse du corps de 490 N est
P
490
=
= 50 kg
m =
g
9,8
La masse du corps de 250 kg poids est m = 250 kg
68
6.
Un train s'engage à la vitesse constante de 54 km/h dans une courbe de 500 m de rayon.
A quelle force centripète est soumis un voyageur de 75 kg ?
mv 2
75(15) 2
=
= 33,75 N
R
500
La masse est celle du voyageur = 75 kg ; sa vitesse est 54 km/h = 15 m/s.
Solution : F =
7. Une cabine d'ascenseur pesant 16 000 N est suspendue par un câble dont la tension
maximum de sécurité est de 20 000 N.
a) Quelle est la plus grande accélération vers le haut que la cabine peut supporter ?
b) Quelle est la plus grande accélération vers le bas que la cabine peut supporter ?
Solution :
a)
T - mg = ma
T = m (a + g) ≤ 20 000
a + g ≤ 12,5
a ≤ 2,5 m/s2
b)
8.
mg - T = ma
T = m (g - a) ≤ 20 000
g - a ≤ 12,5
- a ≤ 2,5
a ≥ - 2,5 m/s2, ce qui est toujours vérifié
(a ≥ 0) ; a peut donc prendre n'importe quelle
valeur (amax = g).
Une corde de 0,5 m de longueur est utilisée pour faire tournoyer une pierre de 1 kg selon
un cercle vertical à une vitesse uniforme de 5 m/s.
a) Quelle est la tension de la corde quand la pierre se trouve à la partie supérieure de la
trajectoire circulaire ?
b) Quelle est la tension de la corde quand la pierre se trouve à la partie inférieure de la
trajectoire circulaire ?
Solution :
69
a)
Le poids et la tension sont deux forces de
même direction dont la somme vectorielle est
la force centripète :
mv 2
mg + T =
d'où T = 40 N
R
b)
9.
mv 2
T - mg =
R
d'où T = 60 N
Les deux poids de 150 et 250 N sont suspendus à l'aide d'une corde de part et d'autre
d'une poulie sans masse et dépourvue de frottement.
a) Quelle est l'accélération de ces poids ?
b) Quelle est la tension dans la corde ?
Solution : a)
A partir de la seconde loi de
&
&
Newton, 6 F = m a ,
on peut écrire pour chaque masse :
250 - T = 25 a
T - 150 = 15 a
En additionnant membre à
membre les deux équations
précédentes, on obtient :
a =
2,5 m/s2
b) Connaissant a, on calcule T au moyen de l'une ou l'autre équation :
T = 187,5 N
10. Une brique de 2 kg est posée sur un plan incliné. Quelle inclinaison faut-il donner au
plan pour faire glisser la brique, sachant que la force de frottement au démarrage est de 2
N?
Solution :
70
Ffrott
La force qui fait avancer la brique est
F = mg . sin i = 20 sin i
Pour que la brique se mette en mouvement,
cette force
frottement.
doit
20 sin i
sin i
i
11.
dépasser
la
force
de
> 2
> 0,1
> 5° 45'
Un corps glisse du haut du toit de
la maison. Sa vitesse initiale est
nulle. La longueur de la pente est
5 m et le coefficient de frottement
est P = 0,3.
Où va tomber le corps, c-à-d
quelle est la distance AB ?
sin 45° = cos 45° = 0,7
Solution :
&
F frott
&
N
D'après la 2e loi de Newton
& & &
&
N + P + F frott = m a
En décomposant les vecteurs parallèlement et
perpendiculairement au toit, on obtient :
composantes parallèles :
P sin 45° - Ffrott. = ma
composantes perpendiculaires :
P cos 45° - N = 0
et l'on a Ffrott. = PN
En combinant ces trois relations on arrive à
P sin 45° - P P cos 45° = ma
mg sin 45° - Pmg cos 45° = ma
Il s'en suit que a = 4,9 m/s2
Le corps qui glisse effectue un MRUA
v = at
at 2
l =
2
71
La vitesse au moment de quitter le toit vaut :
2al = 7 m/s
v =
Cette vitesse a deux composantes, horizontale et verticale
vx = vy = 7 cos 45° = 7 . 0,7 = 4,9 m/s.
C'est la vitesse initiale pour la chute à partir du bord du toit.
Le temps pour arriver au sol est calculé par l'expression :
gt 2
+ voy t
y =
2
ou
10 = 5 t2 + 4,9 t, d'où l'on tire que t r 1 s
La distance AB vaut par conséquent : x = vx t = 4,9 m.
Deux masses m1 et m2 sont reliées par une barre
12.
rigide et placées sur un plan incliné à 30°.
m1 = 2 kg et le coefficient cinétique de frottement
de cette masse avec le plan incliné est P1 = 0,2 ;
m2 = 4 kg et P2 = 0,1. La masse de la barre
rigide est négligeable
Quelle est la tension dans la barre et quelle est
l'accélération des masses ?
Solution : Dessinez le diagramme des forces pour chaque masse.
La 2de loi de Newton s'écrit pour m1 :
&
&
& &
&
N 1 + P1 + T + F frott 1 = m1 a
et pour m2 :
&
&
& &
&
N 2 + P2 + T + F frott 2 = m2 a
En décomposant les vecteurs parallèlement et perpendiculairement au plan incliné, on a :
pour m1
composantes parallèles
P1 sin 30° + T - Ffrott1 = m1a
composantes perpendiculaires
P1 cos 30° - N1 = 0
pour m2
composantes parallèles
P2 sin 30° - T - Ffrott2 = m2a
composantes perpendiculaires
P2 cos 30° - N2 = 0
or Ffrott.1 = P1N1
Ffrott.2 = P2N2
d'où on obtient pour les composantes parallèles au plan incliné :
P1 sin 30° + T - P1P1 cos 30° = m1 a
P2 sin 30° - T - P2P2 cos 30° = m2 a
ou
­10 + T - 3,48
®
¯ 20 - T - 3,48
= 2a
= 4a
d'où on calcule a = 3,83 m/s2 et T = 1,14 N
72
13.
La figure représente deux blocs A et B de
poids respectifs 44 N et 22 N. Ils sont reliés par
un câble de masse négligeable passant sur une
poulie sans frottement. Le coefficient de
frottement entre le bloc A et la table est
P = 0,2.
a) Quel est le poids maximum de C qu'il faut
poser sur A pour qu'il n'y ait pas de
mouvement ?
b) Ensuite, on enlève brusquement le bloc C. Quelle est l'accélération de A et de B ?
c) Quelle est alors la tension dans le câble ?
Solution : Dessinez le diagramme des forces pour chaque masse.
& &
a) Si A + C et B sont immobiles, on doit avoir 6 F = 0 :
pour B :
T = PB = 22 N
pour A + C : Ffrott max = T avec Ffrott max = PN
N = PA + PC = 44 + x
On a donc
P (PA + PC) = T
0,2 (44 + x) = 22
d'où x = 66 N
&
&
b) et c) D'après la 2° loi de Newton : 6 F = m a , on a pour B : PB - T = mBa
ou 22 - T = 2,2 a
pour A :
T - Ffrott = mAa
N = PA
d'où T - PPA = mAa
on en tire
a = 2 m/s2
ou
et
T - 0,2 . 44 = 4,4 a
T = 17,6 N
Dans les problèmes suivants, le rayon terrestre = 6 400 km.
14. Un corps pèse 80 kgf à la surface de la terre. Quel est son poids à 6 400 km d'altitude ?
m.M
G.M
d'où
g =
2
d
d2
L'accélération de la pesanteur et, par conséquent, le poids est inversement proportionnel
au carré de la distance au centre de la terre. A la surface terrestre, cette distance est 6 400
km ; à 6 400 km d'altitude elle est double, donc le poids est 4 fois moindre, c-à-d 20 kgf.
Solution : P = mg = G
15. La constante de gravitation G = 6,67 . 10-11 unités SI. En prenant comme valeur
moyenne de l'accélération de la pesanteur g = 9,8 m/s2, calculez la masse de la terre.
Solution : Comme au problème précédent, on a
73
GM
g =
d'où
d2
M =
g .d 2
=
G
6 018 . 1021 kg
16. Le premier satellite artificiel a été le "Spoutnik I" lancé le 4 octobre 1957. Sa masse était
83,6 kg et son altitude moyenne 565 km. Quel est son poids, en newtons, à la surface
terrestre ? Quel est son poids à l'altitude de 565 km ? Quelle est sa masse à cette altitude
?
Solution : A la surface terrestre son poids est
GM T m
= mg = 83,6 . 9,8 = 819 N
P =
RT2
A 565 km d'altitude sa masse reste invariable mais son poids est inversement
proportionnel au carré de la distance au centre de la terre :
GM T m
= mg' où d = RT + 565 km
P' =
d2
2
RT2
P'
6400
g'
=
=
= (
)
2
P
6400 565
g
d
d'où
P'
= 691,5 N
17. D'après les données du problème précédent et en supposant l'orbite circulaire, quelle était
la vitesse nécessaire pour maintenir le satellite sur son orbite ? Combien de temps
mettait-il pour faire un tour complet autour de la terre ?
Solution : C'est l'accélération de la pesanteur à cet endroit qui fait office d'accélération
centripète. L'accélération de la pesanteur est aussi inversement proportionnelle au carré
de la distance au centre de la terre :
2
6400
g'
= (
)
6400 565
g
Comme g = 9,8 m/s2, g' = 8,27 m/s2
L'accélération centripète est :
v2
= 8,27 m/s2
R
d'où v2 = 8,27 . R = 8,27 . 6 965 000
= 57 600 550
v = 7 590 m/s = 27 324 km/h
La vitesse angulaire est
7 590
v
= 6 965 000 = 0,00109 rd/s
Z =
R
Pour faire un tour, c-à-d 2 S rd, il faut
2S
2S
=
= 5 764 s
t =
Z
0,00109
74
= 96 min 4 s = 1 h 36 min 4 s.
18. Il y a plusieurs satellites géostationnaires, c-à-d des satellites qui se trouvent toujours audessus du même endroit de la terre. Ils servent pour la transmission des communications
téléphoniques, des programmes de télévision ou pour faire des observations météorologiques sur une étendue importante de la terre. A quelle altitude doit se trouver un
satellite pour être géostationnaire, c-à-d pour avoir la même vitesse angulaire que la terre
?
Solution : C'est l'accélération de la pesanteur à l'endroit où se trouve le satellite qui est
l'accélération centripète.
Soit R sa distance au centre de la terre.
RT2
GM T
6400000 2
=
g
= 9,81 (
) = Z2R
g' =
2
2
R
R
R
où Z est la vitesse angulaire du satellite : elle doit être la même que celle de la terre.
Z = 0,7268 . 10-4 rad/s (voir problème n° 5, page 23.)
(64) 2 .1010
= (0,7268)2 . 10-8 . R
Donc
9,81
R2
et R3 = 73 071 . 1018
R = 42,3 . 106 m = 42 300 km
Le satellite se trouve à 42 300 km du centre de la terre, c-à-d à 42 300 - 6 400 = 35
900 km au-dessus de la surface terrestre.
19. Une personne pèse 70 kg. Elle est dans un ascenseur qui monte. Elle se trouve sur un
pèse-personne qui indique 63 kg. Quel est à ce moment le genre de mouvement de
l'ascenseur ?
Solution : La différence est due à la force fictive d'inertie. Si l'ascenseur possède une
accélération a dirigée vers le haut, la personne est soumise à une force fictive produite
par la même accélération a mais vers le bas.
a
Poids réel = 70 kg = 700 N
Poids apparent = 70 (g + a) = 630 N
630
d'où g + a =
= 9
70
a = 9 - g = - 1 m/s2
L'ascenseur monte et il est décéléré.
g a
75
20.
Un objet de 2 kg est suspendu au plafond d'un
wagon par un fil rigide sans masse. Le wagon
est soumis à une accélération de 5 m/s2.
a) Quelles sont les forces qui s'exercent sur
cet objet pour un observateur qui se
trouve dans le wagon. Dessinez les.
b) Ecrivez l'équation fondamentale de la dynamique dans ce système de référence.
c) Quelle est l'accélération de l'objet dans ce même système ?
d) Quelle est la tangente de l'angle T que fait le fil avec la verticale ?
& & &
&
P + T + F fict = m a = 0
Solution : a) et b)
&
T
&
F fict
&
P
&
c) dans le wagon, a = 0 : le corps est en équilibre
d) T cos T = P
T sin T = Ffict
donc tg T =
21.
F fict
P
=
10
= 0,5
20
Une boule de 1 kg est attachée à une tige
rigide au moyen de deux cordes de masse
négligeable et de 1 mètre de longueur. Les
deux points d'attache sur la tige sont distants
de 1 mètre. La boule tourne autour de la tige
de façon à ce que les cordes tendues forment
un triangle équilatéral. On mesure une tension
de 25 N dans la corde du haut.
a) Pour un référentiel qui tourne avec la
boule, dessinez les forces qui agissent sur
la boule.
b) Quelle est la tension dans la corde du bas ?
c) Quelle est la vitesse angulaire de la boule ?
Solution : a)
76
&
& &
&
&
b) P + T 1 + T 2 + F fict = m a = 0
En projection verticale :
T2 cos 60° + mg = T1 cos 60°
0,5 T2 + 10 = 12,5
T2 = 5 N
c) En projection horizontale : mZ2 R = T1 cos 30° + T2 cos 30°
avec R = 1 cos 30°
1 . Z2 . 1 . cos 30° = 25 cos 30° + 5 cos 30°
d'où Z = 5,5 rd/s
22. Deux masses glissent sans frottement le long d'une même droite et dans le même sens.
L'une a une masse de 0,1 kg et une vitesse de 0,5 m/s ; l'autre 0,2 kg et 0,2 m/s. A un
moment donné, elles se cognent. Quelle est la quantité de mouvement de l'ensemble ?
&
&
Solution : La quantité de mouvement de l'ensemble est m1 v 1 + m2 v 2
Les vitesses étant de même direction et de même sens, sa norme est :
0,1 . 0,5 + 0,2 . 0,2 = 0,09 kg.m/s.
23. Deux masses glissent sans frottement le long d'une même droite mais en sens opposé.
L'une a une masse de 0,1 kg et une vitesse de 0,5 m/s ; l'autre 0,2 kg et 0,2 m/s. Quelle
est la quantité de mouvement de l'ensemble ?
Solution : Les vitesses étant de sens opposé, pour faire la somme vectorielle des
quantités de mouvement, il faut soustraire les grandeurs :
&
&
|m1 v 1 + m2 v 2| = m1v1 - m2v2 = 0,01 kg.m/s
24. Deux masses glissent sans frottement le long de deux droites perpendiculaires. L'une a
une masse de 0,1 kg et une vitesse de 0,5 m/s ; l'autre 0,2 kg et 0,2 m/s. Quelle est la
quantité de mouvement de l'ensemble ?
77
Solution :
&
&
|m1 v 1 + m2 v 2|
=
=
(m1v1)2 + (m2v2)2
4,1 . 10-3
= 0,064 kg.m/s
25. Un projectile de 5 kg quitte le canon à la vitesse de 800 m/s. Quelle est la vitesse de
recul du canon qui pèse 2 000 kg ?
Solution : Il y a conservation de la quantité de mouvement :
&
Avant le tir
P total = 0
&
&
&
Après le tir
P total = P proj. + P canon = 0
Pproj. - Pcanon = 0
m1v1 - m2v2 = 0
m1v1 = m2v2
5 . 800 = 2 000 . v
d'où
v = 2 m/s
26. Une fusée est propulsée par un jet continu de gaz ayant une vitesse de 5 000 m/s. Si la
masse de la fusée est 10 tonnes, quelle doit être la masse de gaz émis par seconde pour
que la fusée subisse une accélération de 8 m/s2 ?
Solution : Calculons d'abord la force qui doit propulser la fusée :
F = m . a = 10 000 . 8 = 80 000 N
F . dt = d (m.v) = v . dm
m
80000
=
= 16 kg
La masse de gaz émis par seconde est
dt
5000
27.
Une masse de 10 kg est attachée à une corde et décrit un
mouvement circulaire de 4 m de rayon avec une vitesse
linéaire constante de 2 m/s.
a) Calculez la force exercée sur cette masse, le moment
de force par rapport au centre O de la circonférence et
le moment angulaire.
b) Quelle est la période du mouvement ?
mv 2
10.2 2
=
= 10 N
Solution : a) Fc =
R
4
78
M
=
0
car les vecteurs position et force centripète ont même
direction
L = mvr = 80 kg m2/s
b) Le temps d'une rotation complète =
2S .r
= 12,56 s
v
79
B2) EXERCICES NON RESOLUS
1.
Un corps d'une masse de
400 g glisse sur un rail à coussin
d'air incliné de 5° par rapport à
l'horizontale.
En partant d'un
a)
état au repos (A), combien de temps
lui faut-il pour arriver en bas du
plan incliné (B) ?
La distance AB vaut 3,85
m. Quelle est la vitesse du corps en
B?
b)
Le corps subit dès son arrivée en B sur le plan horizontal, une force de
frottement dont le coefficient P = 0,1.
Quelle distance (BC) va-t-il parcourir avant de s'arrêter ?
(sin 5° = 0,087 et cos 5° = 0,996)
Réponses :
a) t = 3 s ; v = 2,6 m/s
b) BC = 3,38 m.
2.
On pousse un bloc pesant 200 N sur un
plan incliné a 30°. Le coefficient de
frottement vaut 0,4. Quelle force F faut-il
exercer pour que le bloc, initialement au
repos, franchisse les 10 mètres en 5
secondes, avec une accélération constante
?
Réponse : F = 185,6 N
80
3.
Un bloc, partant du repos,
glisse le long d'un plan incliné
à 45° où le coefficient de
frottement est P = 0,4. Il
parcourt une distance d en un
temps t.
Le même bloc parcourt la
même distance pendant le
même temps sur un plan
incliné à 30°. Quelle est le
coefficient de frottement dans
ce dernier cas ?
Réponse :
P = 0,09
4.
Un bloc, partant du repos,
glisse le long d'un plan incliné
à 45° où le coefficient de
frottement P = 0,6. Il descend
le plan en un temps t.
Le même bloc, placé au
même niveau (hauteur h) sur
un plan incliné à 30°,
le descend dans le même temps. Quel est le coefficient de frottement dans ce dernier cas ?
Réponse : P = 0,1155
5.
Un satellite de 1 000 kg se trouve sur une orbite circulaire autour de la
terre. A l'endroit où se trouve le satellite, l'accélération de la pesanteur est 2,45 m/s2, soit
le quart de sa valeur à la surface terrestre
a)
A quelle hauteur se trouve le satellite ?
b) Quelle est sa vitesse ? (Rterre = 6 400 km)
c)
Un astronaute à l'intérieur de ce satellite se trouve-t-il dans un état
d'apesanteur ? Justifiez votre réponse.
d) Lorsque le satellite est lancé verticalement vers le haut, un astronaute peut-il
se trouver en état d'apesanteur lors de la montée ?
Réponses :
a) h = 6 400 km ; b) v = 5,60 km/s.
81
6.
Un satellite de 1 000 kg tourne sur une orbite circulaire autour de la
terre à une altitude de 400 km.
a) Que vaut l'accélération de la pesanteur à cet endroit ?
b) Quelles sont les forces réelles et fictives qui agissent sur le satellite ?
c) Combien de temps met le satellite pour faire un tour complet de la terre ?
d) Quel est son poids à cette altitude ?
e)
Si le satellite tournait autour de la lune (Mlune =
1
Mterre) à 6 800 km
81
du centre de la lune, que deviendraient sa masse et son poids ?
Réponses :
a) g' = 8,68 m/s2
b) poids et force fictive centrifuge
c) 5 558 s
d) 8 680 N
e) m = 1 000 kg ; poids = 107 N
7.
Une masse A de 25 kg est reliée
à une masse B de 20 kg par une corde de
masse
négligeable
glissant
sans
frottement autour d'une poulie.
La masse A se déplace sur un
c)
plan horizontal avec un coefficient de
frottement P = 0,2.
Quelle force F faut-il
a)
exercer pour que le bloc B subisse une
accélération de 0,6 m/s2 vers le haut ?
b) Quelle est la tension dans la
corde reliant les deux blocs ?
Représentez graphiquement toutes les forces en présence.
Réponses :
a) 272 N avec g = 9,8 m/s2
b) 208 N.
82
8.
Trois masses A,
B, C sont réunies entre
elles par des fils comme
l'indique la figure. Les fils
et les poulies ont des
masses négligeables. (g =
9,8 m/s2)
Deux tensions
différentes T1 et T2
s'exercent de part et d'autre
de la masse A.
Le corps A de 1 500 g se déplace sur une table horizontale avec un coefficient
de frottement P = 0,1.
a) Dessinez le diagramme des forces agissant sur les trois masses A, B, C.
b) A partir du repos, combien de temps met le corps A pour franchir une
distance de 1 m ?
c) Que valent les tensions T1 et T2 pendant le mouvement ?
d) Que valent ces tensions à l'arrêt ?
Réponses : b) t = 3,064 s ; c) T1 = 3,004 N, T2 = 4,794 N ; d) T1 = 2,94 N,
T2 = 4,90 N. L'accélération a = 0,213 m/s2
83
9.
Un plan est incliné d'un angle
de 24° avec l'horizontale. Une masse M =
500 g y glisse sans frottement. Elle est
solidaire, par un fil, des masses m1 = 200
g et m2 = 300 g.
M = 500 g
24°
m2 =
300 g
m1 =
200 g
On néglige les masses des fils et
des poulies.
(g = 10 m/s2)
Dans quel sens se fait le
a)
mouvement ?
Dessinez le diagramme des
forces agissant sur M.
Que vaut l'accélération
b)
de M ?
Que valent les tensions
c)
dans le fil ?
Brusquement, le fil
d)
casse au-dessus de m1, la masse M ayant
à ce moment une vitesse de 2 m/s.
Comment va varier cette vitesse ? Faites
le graphe de la vitesse en fonction du
temps en graduant les axes.
Réponses : Attention, il y a 2 tensions différentes à gauche (T1) et à droite (T2)
de M !
a) vers la gauche ; b) a = 1,04 m/s2 ; c) T1 = 1,79 N et T2 = 3,31 N ; d) la
vitesse va diminuer linéairement en fonction du temps avec a = 1,21 m/s 2 ; la masse
s'arrête après 1,66 s puis repart en sens inverse.
84
10.
Deux masses A et B respectivement de
700 g et 500 g sont suspendues au plafond (point
S) par l'intermédiaire d'une poulie P. Un fil
//////////////////////////////
S
attaché au sol (point S') évite que les masses ne se
mettent en mouvement. (g = 10 m/s2)
Les masses des fils et de la poulie sont
P
négligeables, ainsi que les frottements de l'axe de
la poulie.
L'ensemble étant au repos, que
a)
A
700 g
B
500 g
S'
//////////////////////////////
vaut la tension du fil en A ? Que vaut la tension
du fil en S' ?
Que vaut la tension du fil en S ?
Dessinez les différentes forces présentes sur la
figure.
On coupe la ficelle en S'. Que
b)
vaut l'accélération de la masse A ? Que vaut la
tension du fil en B ?
Que vaut la tension du fil en S ?
Réponses : Attention, il y a 3 tensions différentes : T entre A et B, T' en S' et
To en S !
a) T = 7 N , T' = 2 N et To = 14 N ; b) a = 1,67 m/s2, T = 5,8 N et
To = 11,7 N
85
B3) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. La masse d'un corps décroît avec l'altitude.
2. Dans le vide, un corps léger et un corps lourd tombent avec la même accélération.
3. Dans le vide, un corps léger et un corps lourd sont soumis à la même force d'attraction
par la terre.
4. L'action et la réaction ont la même grandeur et le même point d'application.
5. On fait tourner une pierre au bout d'une corde. Quand la corde casse, la force centrifuge
repousse la pierre vers l'extérieur.
6. Un corps ayant une vitesse constante doit subir l'action d'une force constante.
7. Le poids est une force.
8. Un corps attire la terre avec une force égale au poids de ce corps.
9. La terre attire les corps avec une force proportionnelle à leur masse.
10. Un corps pèse 98 kgf ; sa masse est m =
P
= 10 kg.
g
11. C'est par inertie qu'un satellite continue à tourner autour de la terre, le satellite n'étant
plus soumis à aucune force.
12. En valeur absolue, la variation de quantité de mouvement d'une fusée égale la variation
de quantité de mouvement des gaz éjectés.
13. La quantité de mouvement est le produit de la masse par le volume.
14. La quantité de mouvement d'un corps ne peut pas varier.
15. Une pierre tombe du haut d'un bâtiment. Après 4 secondes de chute sa quantité de
mouvement est 4 fois plus grande qu'après 1 seconde.
Réponses : 1 F - 2 V - 3 F - 4 F - 5 F - 6 F - 7 V - 8 V - 9 V - 10 F - 11 F - 12 V - 13 F 14 F - 15 V
86
C) LE TRAVAIL, L'ENERGIE, LA PUISSANCE
C1) EXERCICES RESOLUS
RAPPEL DES UNITES
Unités S.I.
Dimensions
Accélération
m/s2
LT-2
Force
Newton
MLT-2
Travail
Joule
ML2 T-2
(Joule = Newton.mètre)
(W = force x déplacement)
Watt
Puissance
ML2 T-3
(Watt = Joule/seconde)
(P = travail/temps)
Autre unité de travail : le kilowattheure
1 kWh = 3 600 000 J
1. Une goutte de pluie de 0,1 gramme tombe d'un nuage situé à 400 m d'altitude.
Quel est le travail effectué par les forces de pesanteur ?
Solution :
& &
F
³ .dl = F . l = 10-4 . 9,8 . 400 = 0,392 J
f
Travail = W =
i
&
&
car F et dl ont même direction et même sens et F est constante.
2. Un mouvement rectiligne est défini en unités SI par la relation a = 6 x + 2 entre
l'accélération et la position. Quel est le travail effectué par un corps de 5 kg qui se
déplace de xo = 0 à x = 5 m ?
Solution :
F = ma = 5 (6 x + 2)
W = ³ F.dx
5
=
³ 5(6 x 2) dx
0
5
= 5 [3 x2 + 2 x]0
= 425 J
87
3. D'après le graphe de la force en fonction de la position, calculez le travail effectué et
spécifiez s'il s'agit d'un travail moteur ou d'un travail résistant.
Solution : Le travail est W =
³ F.dx
L'intégrale peut être calculée par la surface comprise entre la courbe et l'axe des x. Quand
la force et le déplacement sont positifs, les vecteurs ont le même sens et le travail est
positif, c-à-d moteur.
Quand la force est négative, elle est dirigée en sens inverse du déplacement et le travail
est négatif, c-à-d résistant.
De 0 à 2 m, travail moteur
De 2 à 4 m, travail moteur
W = 5 . 2 = 10 J
W = ³ F.dx
l'intégrale se calcule par l'intermédiaire de la surface qui est un triangle : W = 5 J
De 4 à 6 m, F = 0, W = 0
De 6 à 8 m, travail résistant W = - 5 J
4.
Le mouvement rectiligne horizontal d'un
mobile pesant 200 grammes est défini
par le graphe ci-contre. Quelle est la
distance parcourue après 7 s ? Quel est
le gain d'énergie après 7 s ? Quelle est la
vitesse moyenne pour cet intervalle de 7
s ? Quelle est la force qui agit sur ce
mobile pendant la durée de l'accélération
?
Quel est le travail effectué pendant
ces 7 s ?
88
Solution :
Le mouvement est uniforme pendant 3 s avec une vitesse de 2 m/s, puis il est uniformément accéléré avec une vitesse initiale de 2 m/s et une accélération
'v
3
=
= 0,75 m/s2
a =
't
4
Position :
MRU
x = vt = 2 . 3 = 6 m après 3 s
at 2
= 8 + 6 = 14 m après 4 s
MRUA x = vot +
2
distance parcourue = 20 m en 7 s
20
m/s
d'où la vitesse moyenne =
7
0,2.2 2
= 0,4 J
L'énergie cinétique au début est Ek =
2
0,2.5 2
= 2,5 J
à la fin Ek =
2
Le gain d'énergie est 2,1 J.
Pendant les deux premières secondes, il n'y a pas d'accélération, donc pas de force ni de
travail.
Ensuite, F = m.a = 0,15 N
W = F . 'x = 0,15 . 14 = 2,1 J
ce qui correspond d'ailleurs au gain d'énergie cinétique.
5. Une pompe élève par seconde 20 litres d'eau à une hauteur de 2 mètres. Quelle est, en
watts, la puissance de la pompe ?
F.l
W
=
t
t
où F est le poids de 20 litres d'eau = 196 N et t = 1 seconde
P = 196 . 2 = 392 watts.
Solution : P =
6. Un moteur électrique permet d'élever une charge de 200 kg à 30 m de haut en 2 minutes.
Quelle est la consommation d'énergie électrique exprimée en kWh ?
Solution : L'énergie ou le travail à effectuer pour élever une charge ne dépend pas du
temps.
W = F . l = 200 . 9,8 . 30 = 58 800 J
58 800
= 3 600 000 = 0,016 kWh
89
7. Un corps pesant 2 kg se trouve à 100 m de haut. Quelle est son énergie potentielle ? On
le laisse tomber ; quelle est, à 60 m de haut, son énergie potentielle ? son énergie
cinétique ?
Solution : à 100 m,
à 60 m,
Ep = mgh = 2 . 9,8 . 100 = 1 960 J
Ek = 0 puisque le corps n'a pas encore de vitesse
Ep = mgh = 1 176 J
Comme l'énergie totale reste constante,
Ek = 1 960 - 1 176 = 784 J
8. Un train de 300 tonnes roule à une vitesse de 90 km/h. Quelle est son énergie cinétique ?
Le mécanicien serre les freins appliquant une force résistante de 98 000 N. Quel espace
parcourt-il pour s'arrêter ?
1
1
mv2 =
3 . 105 (25)2 = 937 , 5 . 105 J
2
2
car v = 90 km/h = 25 m/s.
Pour arrêter le train (Ek = 0), il faut effectuer un travail de
Solution :
Ek =
937 , 5 . 105 J avec une force de 98 000 N . Comme W = F . l ,
937,5.10 5
= 956,6 m
l =
98000
9. Un projectile d'une vitesse de 600 m/s perce un blindage de 4 cm.
Quelle doit être sa vitesse pour percer un blindage de 2 cm ?
Solution : Percer un blindage, c'est faire un travail qui provient de l'énergie cinétique du
projectile. Pour percer un blindage deux fois plus mince, le projectile doit avoir une
énergie cinétique deux fois plus petite, donc une vitesse 2 fois plus petite.
600
600
=
= 424 m/s
d'où v =
1,41
2
10. Un satellite de 100 kg se déplace autour de la terre sur une orbite circulaire dont le rayon
est 8.106 m. Le rayon de la terre est 6 400 km.
Quel est le poids, en newtons, de ce satellite sur son orbite ?
Quelle est sa masse ?
Quelle est sa vitesse ?
Quelle est son énergie potentielle, sachant que l'énergie potentielle à l'infini est nulle ?
Solution : La valeur g' de l'accélération de la pesanteur sur son orbite est donnée par
GM T
g'
=
R2
90
or, à la surface,
d'où
g'
=
g
g
=
GM T
RT2
RT2
6400.10 3 2
=
(
) = 0,64
R2
8.10 6
g' = 0,64 . g = 6,27 m/s2
Sa masse m = 100 kg est invariable mais son poids mg' = 627 N
En équilibre sur son orbite, l'accélération centripète est l'accélération de la pesanteur :
v2
= g' d'où v2 = R . g'
R
= 8 . 106 . 6,27 = 50,2 . 106
et v = 7,08 . 103 m/s
L'énergie potentielle est donnée par
R
GMm
GMm
E = ³ 2 dx = - R
x
f
GM
m . R = - g' . m . R
= R2
= - 6,27 . 100 . 8 . 106 = - 5 016 . 106 J
11. On laisse tomber de 1 000 m de haut un corps de 1 kg. Quelle est son énergie cinétique
après 3 secondes de chute ? De combien a diminué son énergie potentielle ?
Solution : Après 3 secondes, v = gt = 29,4 m/s
1
mv2 = 432 J
Ek =
2
Comme l'énergie totale reste constante et que l'énergie cinétique a augmenté de 432 J,
l'énergie potentielle a diminué de 432 J.
12. Un train de 400 tonnes se déplace horizontalement à la vitesse de 18 km/h. En admettant
que les frottements opposent à l'avancement du train une résistance constante de 19 600
N, quelle est la puissance développée par la locomotive ?
Solution : F = 19 600 N
v = 18 km/h = 5 m/s
P = F . v = 98 000 W
13. Le ventricule gauche envoie à chaque battement une masse de 100 g de sang dans l'aorte
avec une force capable de l'élever à 2 m.
Calculez la puissance du coeur en watts, si le coeur bat 75 fois par minute ?
91
Solution :
W = mgh = 0,1 . 9,8 . 2 = 1,96 J
1
60
4
min =
s =
s
t =
75
5
75
W
= 2,45 W
P =
t
14. Un projectile est tiré verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 100 m/s. En
vous basant sur la transformation d'énergie cinétique en énergie potentielle, calculez la
hauteur que le projectile peut atteindre (prendre g = 10 m/s2).
Solution :
1
mv2
2
d'où
h
= mgh
=
v2
= 500 m
2. g
15. Un objet de 500 grammes est lancé verticalement vers le haut. On le rattrape 4 secondes
plus tard au même endroit d'où on l'a lancé. Quelle est sa vitesse initiale quand on le
lance?
Quelle est la hauteur atteinte ? Quelle est l'énergie cinétique au départ ; après 1 seconde ;
à mi-hauteur ; après 3 secondes ? Quelle est l'énergie potentielle après 1 seconde ; à mihauteur ; après 3 secondes ? Prendre g = 10 m/s2
Solution : Cet objet met 2 secondes pour monter et 2 secondes pour descendre.
v = vo - gt
Le sommet est atteint après 2 s, la vitesse y est nulle.
t = 2 s, 0 = vo - 10 . 2 d'où vo = 20 m/s.
gt 2
La hauteur atteinte
y = vot 2
10.4
= 20 m
= 20 . 2 2
L'énergie cinétique au départ est
mv 2
0,5.20 2
=
= 100 J
Ek =
2
2
Comme l'énergie potentielle y est nulle, l'énergie totale est 100 J.
A la hauteur maximum, l'énergie potentielle est 100 J ; à mi-hauteur, elle vaut 50 J de
même que l'énergie cinétique.
Après 1 s, la vitesse est
v = vo - gt = 10 m/s
et l'énergie cinétique
Ek
=
0,5.10 2
= 25 J
2
92
L'énergie potentielle vaut 100 - 25 = 75 J
Ce sont les mêmes valeurs après 3 secondes car la vitesse vaut - 10 m/s, c-à-d toujours
10 m/s mais dirigée vers le bas.
16. Un projectile de 1 kg est tiré verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 100
m/s. Faites la représentation graphique :
a) de l'énergie potentielle en fonction de la hauteur
b) de l'énergie cinétique en fonction de la hauteur
c) de l'énergie cinétique en fonction du temps
d) de l'énergie potentielle en fonction du temps.
Prendre g = 10 m/s2
Solution :
a) Au départ Ek = 5 000 J, Ep = 0, Etot = Ek + Ep = 5 000 J
Au point le plus haut, Ek = 0, Ep = mgh = 5 000 J
d où hmax = 500 m
Ep = mgh = 10 h : droite déterminée par les deux points extrêmes
b) Ek = 5 000 - Ep = 5 000 - 10 h
droite déterminée par les points extrêmes
c) v = vo - gt = 100 - 10 t
1
Ek =
(100 10t ) 2 = 5 000 - 1 000 t + 50 t2
2
C'est une parabole dont on connaît des points caractéristiques :
pour t = 0 Ek = 5 000 J
Ek = 0 pour v = 0 c-à-d t = 10 s
pour t = 20 s, le corps est retombé et Ek = 5 000 J
d) E = 5 000 - Ek = 1 000 t - 50 t2
C'est également une parabole dont on détermine plusieurs points à partir de la courbe
précédente.
93
17. On lance un corps verticalement vers le haut. Après 2 secondes, son énergie cinétique
égale son énergie potentielle. La masse du corps est 100 grammes. Quelle est sa vitesse
initiale ?
Quelle est son énergie cinétique et quelle est son énergie potentielle après 1 seconde ?
Prendre g = 10 m/s2
Solution :
Si la vitesse initiale est vo, après 2 secondes v = vo - gt = vo - 20
gt 2
= 2 vo - 20
y = vot 2
m(vo 20) 2
Ek =
2
Ep = mg (2 vo - 20)
L'égalité des énergies entraîne
m(vo 20) 2
= m . 10 (2 vo - 20)
2
2
d'où vo - 80 vo + 800 = 0
Il y a deux solutions : vo = 68,3 et 11,7 m/s
1) Pour vo = 68,3 m/s, après 2 secondes
v = 48,3 m/s
Ek = 116,6 J
y = 116,6 m
Ep = 116,6 J
Cela se passe pendant la montée.
2) Pour vo = 11,7 m/s, après 2 secondes
v = - 8,3 m/s
Ek = 3,4 J
y = 3,4 m
Ep = 3,4 J
Cela se passe pendant la descente.
Après 1 seconde
1)
Pour vo = 68,3 m/s,
2)
Pour vo = 11,7 m/s,
v
y
v
y
=
=
=
=
58,3 m/s
63,3 m
1,7 m/s
6,7 m
Ek
Ep
Ek
Ep
= 170 J
= 63,3 J
= 0,14 J
= 6,7 J
18. Un corps de 2 kg est lancé vers le haut avec une vitesse initiale de 40 m/s. Exprimez la
quantité de mouvement en fonction de la hauteur et représentez graphiquement la
quantité de mouvement en fonction de la hauteur.
Solution :
Pour exprimer la quantité de mouvement en fonction de la hauteur il faut exprimer la
vitesse en fonction de la hauteur .
94
v = vo - gt
d'où on tire t =
vo v
g
gt 2
2
En remplaçant dans l'expression de la hauteur :
v v
g vo v 2
) vo h = ( o
(
)
2
g
g
v2
v2
on obtient
h = 0 2g 2g
h = vot -
v2 = vo2 - 2 gh
et
ou
par conservation de l'énergie
mv02
2
mv02
Etot =
2
mv2
Ek = 2
Ek =
au départ
d'où
Ensuite
et
Ep = 0
Ep = mgh
mv2
mv02
+
mgh
=
2
2
2
2
v = vo - 2 gh
d'où p = mv = ± m vo2 2 gh
& &
p et v sont des vecteurs qu'on peut considérer comme positifs à la montée et négatifs à la
descente.
95
19. Un poids est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale v0. A quelle
hauteur la moitié de son énergie cinétique est-elle convertie en énergie potentielle ? Quel
est alors le rapport de sa vitesse à la vitesse initiale ?
2
1
Solution : Au départ Ek = 2 m vo
Lorsque la moitié de l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle,
2
1
v o2
h =
4 m vo = mgh d'où
4g
Quand l'énergie cinétique diminue de moitié,
v2
1
v
=
= 0,707
v2 = o d'où
2
vo
2
20. Une balle de fusil tirée horizontalement pénètre dans du bois et s'arrête après un parcours
de 10 cm. La balle pèse 1,8 gramme et atteint le bois avec une vitesse de 360 m/s. La
force de freinage dans le bois est constante.
Combien de temps la balle met-elle pour s'arrêter dans le bois ?
Que vaut la force de freinage ?
Quelle est l'énergie cinétique de la balle lorsqu'elle touche le bois ?
Quel est le travail absorbé par la force de freinage ?
Solution :
La force étant constante, le mouvement est uniformément accéléré et on a
v v
d'où t = o
v = vo - at
a
96
at 2
x = vot 2
En combinant ces deux relations, on obtient
v2 = vo2 - 2 ax
Comme l'arrêt se fait après 10 cm,
0 = 3602 - 2 a . 0,1
d'où
a = 648 000 m/s2
Le temps que met la balle pour s'arrêter est donné par
0 = vo - at
360
v
d'où
t = o = 648 000 = 0,00055 s
a
La force de freinage F = ma = 1166,4 N
mv 2
= 116,64 J
Energie cinétique =
2
Lorsque la balle est arrêtée, son énergie cinétique a été absorbée par le travail des forces
de freinage, d'ailleurs
W = F . l = 1 166,4 . 0,1 = 116,64 J.
21.
A
10 m
B
C
10 m
a) Un corps dont la masse est 5 kg glisse le long du chemin ABC, BC étant horizontal.
En A, sa vitesse est nulle, en B, v = 10 m/s, en C, sa vitesse est nulle. g = 10 m/s2.
Quel est le travail des forces de frottement lors du parcours AB ?
Quel est le travail des forces de frottement lors du parcours BC ?
Quel est le coefficient de frottement le long de BC ?
b)
A
10 m
B
30°
97
Si avec le même coefficient de frottement, le parcours BC est incliné de 30°, à quelle
distance de B le corps va-t-il s'arrêter ?
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,87.
Solution :
a) Parcours BC horizontal
En A, le corps a une énergie potentielle
Ep = mgh = 500 J
mv 2
= 250 J
En B, il a une énergie cinétique
Ek =
2
Il y a 250 J qui ont été absorbés en travail des forces de frottement le long de AB.
Il y a également 250 J absorbés le long de BC puisqu'en C, son énergie cinétique est
nulle.
Ce travail des forces de frottement le long de BC est
W = Ffr . 10 = 250 J
d'où
Ffr = 25 Newtons = PN
F fr
25
=
= 0,5
d'où
P =
50
N
N = P = 50 Newtons
o
N
o
Ffr
B
C
oP
b) Parcours BC incliné
N
x
Ffr
h
P
30°
30°
B
P
P = 50 N
Lorsque le plan est incliné à 30°, le corps va parcourir une distance x qui l'élève de
h = x . sin 30° = 0,5 x
N = PA = 50 . cos 30° = 43,5 Newtons
La force de frottement Ffr = 0,5 N = 21,75 Newtons
L'énergie cinétique en B se transforme en énergie potentielle et en travail des forces
de frottement :
98
Ek
250
x
= mgh + Ffr . x
= 5 . 10 . 0,5 x + 21,75 x
= 5,35 m
Une masse de 500 g est
22.
suspendue à un fil mince de masse
négligeable de 20 cm de longueur.
Dans sa position extrême, en
A, le fil fait un angle de 30° avec
l'horizontale. g = 10 m/s2.
a) Que vaut la force de rappel F qui s'exerce
sur la masse en A ?
b) Quelle est l'énergie potentielle de la
masse au point A si on prend le zéro de
l'énergie potentielle en B ?
c) Quelle est l'énergie cinétique en B ?
d) Quel est le travail effectué par les forces de pesanteur pour amener la masse de A en
B?
solution :
a) F = mg cos 30°
= 0,5 . 10 . 0,866 = 4,33 N
b) OD = 20 . sin 30° = 10 cm
DB = hA - hB = 20 - 10 = 10 cm
Ep = mg (hA - hB)
= 0,5 . 10 . 0,1 = 0,5 J
c) L'énergie potentielle en A s'est
transformée en énergie cinétique en B :
Ek = 0,5 J.
d) Le travail effectué par les forces de pesanteur pour amener la masse de A en B est
égal à la différence d'énergie potentielle de pesanteur entre A et B, soit 0,5 J.
23. Une masse attachée à l'extrémité d'un ressort effectue un mouvement oscillatoire
harmonique de 20 cm d'amplitude et 2 s de période.
La force de rappel est F = - kx où k = 5.10-3 N/m.
Quel est le travail effectué par le ressort lorsque la masse passe de l'élongation x = 10 cm
à x = 5 cm ?
99
Solution : F = - 5 x
5
5x 2
W = ³ F.dx = ³ 5xdx = [2
10
]0,05
0,1
= 1,875.10-5 J
24. Une masse de 2 kg est soumise à un mouvement oscillatoire harmonique horizontal de 25
cm d'amplitude et 5 s de période.
a) Quelle est l'énergie totale de la masse en un point quelconque de sa trajectoire ?
b) Quelle est l'accélération lorsque l'élongation vaut 10 cm ?
Solution : a) l'énergie totale, cinétique et potentielle reste constante. Si l'énergie
potentielle est nulle lorsque l'énergie cinétique est maximum, il suffit de calculer cette
dernière avec
vmax = AZ
= 25
= A
2S
T
2S
= 31,4 cm/s = 0,314 m/s
5
mv 2
= 0,1 J
2
b) a = - Z2x = - 15,8 cm/s2
E =
25. Une particule dont la masse est 500 g est soumise à un mouvement harmonique dont la
période est 0,1 s et l'amplitude 10 cm. Au moment où l'élongation est 5 cm, que valent
l'accélération, la force de rappel, l'énergie cinétique, l'énergie potentielle ?
Dessinez les graphes de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle en fonction de
l'élongation.
Solution : Z =
2S
= 20 S
0,1
L'accélération est a = - Z2 x = - 20 000 cm/s2
= - 200 m/s2
La force de rappel est
F = ma = - 100 N
Les signes négatifs indiquent que les vecteurs accélération et force sont dirigés en sens
opposé au sens positif de l'élongation.
Si l'élongation est x = A cos (Zt + H),
v = - AZ sin (Zt + H)
1
1
mv2 =
mA2 Z2 sin2 (Zt + H)
Ek =
2
2
1
mA2 Z2 [1 - cos2 (Zt + H)]
=
2
100
x2
1
2
2
(1
=
mA Z
)
2
A2
1
= 2 m Z2 (A2 - x2)
C'est une parabole dont la valeur maximum est Ek max =
1
mZ2 A2
2
L'énergie totale, constante, est
Et = Ek + Ep = Ek max + 0 =
1
mZ2 A2
2
L'énergie potentielle est
1
1
=
mZ2 A2 - mZ2 (A2 - x2)
Ep = Et - Ek
2
2
1
mZ2 x2
=
2
C'est également une parabole.
Dans cet exercice
1
0,5 (20S)2 (0,12 - x2) = 1 000 (0,01 - x2) J
2
1
=
0,5 (20S)2 x2 = 1 000 x2 J
Ep
2
Pour x = 5 cm = 0,05 m, Ek = 7,5 J et Ep = 2,5 J
Ek
=
101
C2) EXERCICES NON RESOLUS
1. Un corps possède un mouvement rectiligne régi par une force décrite en SI par
1
, x étant la distance du corps au point d'origine. Quel est le travail
F = x2 + 2x +
x
effectué par cette force lorsque le corps se déplace du point x = 2 au point x = 4 ?
Ce mouvement est-il uniforme, uniformément accéléré ou quelconque ?
Réponse : 31,35 J ; quelconque
2. Représentez graphiquement en fonction du temps, l'énergie cinétique d'une masse de 1
kg lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 40 m/s.
3. Un objet de 1 kg est lancé verticalement vers le haut.
Il retombe à son point de départ apres 6 secondes. Dessinez, en fonction du temps, les
graphiques de l'accélération, de la vitesse, de la position, de l'énergie cinétique et de
l'énergie potentielle.
4. Une voiture de 1 000 kg atteint à partir de l'arrêt, une vitesse de 108 km/h en 15
secondes. a) Quelle est la puissance développée ?
b) Si, à cette vitesse, elle aborde un virage d'un rayon de courbure de 90 m, quelle est la
vitesse linéaire d'un passager de 80 kg ?
c) Quelle est sa vitesse angulaire ?
d) Quelle est son accélération tangentielle ?
e) Quelle est son accélération angulaire ?
f) Quelle est la force centrifuge d'inertie qui agit sur le passager?
Réponses : a) 3.104 W ; b) 30 m/s ; c) 1/3 rd/s ; d) et e) aucune ; f) 800 N
5. Une masse ponctuelle de 1 kg a un mouvement rectiligne. Partant du repos, elle a un
mouvement uniformément accéléré (MRUA) pendant 5 s, puis elle continue à la vitesse
acquise en mouvement uniforme (MRU) pendant 15 s ; enfin, elle freine avec une
décélération constante (MRUD) et est arrêtée après 8 s. La distance totale parcourue
pendant tout son mouvement est 215 m.
a) Dans le MRUA, quelle est son accélération ?
b) Quel est le travail effectué ?
c) Dans le MRU, quelle est la vitesse ?
d) Quel est le travail effectué ?
e) Dans le MRUD, quelle est la décélération ?
f) Quel est le travail effectué ?
102
Réponses : a) 2 m/s2 ; b) 50 J ; c) 10 m/s ; d) 0 J ; e) 1,25 m/s2 ; f) 50 J.
6.
Une auto de 1 200 kg monte sans frottement
5
100
un plan incliné à 5 % à la vitesse constante de
36 km/h.
a) Quel travail le moteur a-t-il fourni pendant
les 5 premières minutes ? (g = 9,8 m/s2)
b) Quelle est la puissance du moteur ?
Réponses : a) 1,766 . 106 J ; b) 5 887 W
7. Un point matériel de 3 kg se déplace sur une droite et subit une décélération uniforme
faisant passer sa vitesse de 40 m/s à 20 m/s sur une distance de 300 m.
a) Que vaut la décélération ?
b) Quelle distance doit-il encore parcourir avant de s'arrêter ? (à partir de v = 20 m/s)
c) Combien de temps lui faut-il encore pour s'arrêter ?
d) Quel est le travail des forces de freinage ? (à partir de 20 m/s).
Réponses : a) 2 m/s2 ; b) 100 m ; c) 10 s ; d) 600 J.
8.
Une pierre de 100 kg roule sur la pente
d'une colline située à 500 m au-dessus
d'une vallée. g = 10 m/s2.
Elle quitte le sommet de la colline (point
A) avec une vitesse de 150 m/s sous un
angle de 30° avec l'horizontale.
a) Quel est le temps de chute de la
pierre (de A jusqu'au sol) ?
b) A quelle distance du point B la pierre
va-t-elle toucher le sol ?
c) Quelle est la vitesse résultante à
l'arrivée au sol et l'orientation du
vecteur vitesse par rapport à la verticale
?
d) Dessinez les graphes de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique en fonction de la
hauteur.
Réponses : a) 5 s ; b) 650 m ; c) 180 m/s ; tg T =
130
125
103
9.
Dans une expérience comparable à celle
qui a été vue au cours, on considère une
masse de 100 g qui glisse sans
frottement de A vers B sur un rail à
coussin d'air incliné. On lâche la masse
au temps t = 0 et sans vitesse initiale, au
point A situé à 10 cm au-dessus du
niveau du sol. La distance A-B vaut 200
cm.
a) Quel est le temps nécessaire pour couvrir la distance A-B ? (B est situé au niveau du
sol, g = 9,8 m/s2 )
b) Quelle est l'énergie cinétique en B ? Dessinez le vecteur vitesse en ce point.
c) Quelle est l'énergie potentielle en A ?
d) Que vaut l'énergie cinétique au point C, situé à 5 cm au dessus du niveau du sol ?
Réponses : a) 2,85 s ; b) 98 . 10-3 J ; c) 98 . 10-3 J ; d) 49 . 10-3 J
10. a) Quelle est la vitesse maximum avec laquelle une auto peut aborder un virage de 25 m
de rayon sur une route horizontale ? Le coefficient de frottement entre les pneus et la
route est 0,3. g = 9,8 m/s2.
b) Quel est le travail de ces forces de frottement ?
Réponses : a) 8,57 m/s ; b) nul
11.
Un corps de 1 kg se trouve en haut d'un plan
incliné à 30°. Le coefficient de frottement P =
0,3 est le même à l'arrêt et en mouvement. La
longueur du plan incliné est 2 m. g = 9,8 m/s2.
a) Si le corps part avec une vitesse initiale
nulle, combien de temps mettra-t-il pour
parcourir les 2 mètres ?
b) Combien de temps mettrait un corps de 2
kg ?
c) Quelle est la vitesse du corps de 1 kg en bout de course ?
d) Quelle est, en calories, la chaleur dégagée par le frottement de la masse de 1 kg ?
Réponses : a) 1,30 s ; b) 1,30 s ; c) 3,07 m/s ; d) 5,09 J = 1,22 cal
104
12.
Un corps A pèse 15 kg et peut glisser
sans frottement sur un plan incliné à
30°. Il est relié à un poids B de 10 kg par
un câble qui passe sur une poulie sans
frottement. g = 10 m/s2.
a) Le corps va-t-il monter ou descendre
le plan incliné ?
b) Avec quelle accélération ?
c) Si le corps A part du repos, quelle est
son énergie cinétique après 2 mètres
?
d) Si le corps A frotte sur le plan incliné avec un coefficient de frottement égal à 0,1, le
corps va-t-il monter ou descendre le plan incliné ?
e) Avec quelle accélération ?
f) Si le corps A part du repos, quelle est son énergie cinétique après 2 mètres ?
g) Calculez le travail résistant des forces de frottement (sur le parcours de 2 m).
h) Si le coefficient de frottement est égal à 0,2, le corps A va-t-il monter ou descendre et
avec quelle accélération ?
Réponses : a) monter ; b) 1 m/s2 ; c) 30 J ; d) monter ; e) 0,48 m/s2 ; f) 14,4 J ;
g) 26 J ; h) immobile.
13.
Une masse de 1 kg est attachée à l'aide
d'une corde à un chariot d'une masse de
3 kg, qui glisse sans frottement. La
masse de 1 kg se trouve initialement à
1,8 m au-dessus du sol. La longueur de
course du chariot est de 4 m. g = 10
m/s2
a) Quelle est l'énergie potentielle de la
masse de 1 kg ?
b) Jusqu'à quelle distance, le chariot
sera-t-il accéléré ?
c) Que vaut la force sur l'ensemble du
système ?
d) Quelle est l'énergie cinétique du système au moment où la masse de 1 kg touche le sol
?
e) Quelle est la vitesse maximum atteinte par le chariot ?
f) Que vaut l'accélération à laquelle le chariot a été soumis ?
105
g) Quel est le temps nécessaire pour que le chariot parcoure la distance totale de 4 m ?
Réponses : a) 18 J ; b) 1,8 m ; c) 10 N ; d) 18 J ; e) 3 m/s ; f) 2,5 m/s2 ; g) 1,93 s.
14.
Un skieur d'une masse de 80 kg est tiré par un
remonte- pente à la vitesse constante de 10,8 km/h.
La perche fait un angle de 45° avec le sol incliné à
30° par rapport à l'horizontale. Les forces de
frottement sur le sol valent 50 N. g = 10 m/s2.
a) Dessinez le diagramme des forces agissant sur
le skieur.
b) Quelle est la force exercée par la perche sur le
skieur ?
c) Quelle est la réaction du sol sur le skieur ?
d) Quel est le coefficient de frottement des skis sur le sol ?
e) Quelle est le puissance mise en jeu par la perche ?
Réponses : b) F = 636,4 N ; c) N = 242,8 N ; d) P = 0,21 ;
e) puissance = F.v.cos 45° = 1 350 W.
106
C3) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. Un joule égale 1 watt/s.
2. L'énergie cinétique d'un corps égale le travail qu'il faut fournir pour l'arrêter.
3. L'énergie cinétique s'exprime dans les mêmes unités que la puissance.
4. Le watt.seconde est une unité de travail.
5. La quantité totale d'énergie dans l'univers varie constamment.
6. Lorsqu'une auto gravit une côte, le travail qu'il faut fournir est égal au produit de son
poids par la distance parcourue.
7. L'énergie cinétique peut se transformer en énergie potentielle.
Les questions 8.à 19.se rapportent au mouvement d'un obus, tiré sous un angle de 45° avec
une vitesse initiale de 700 m/s ; on appelle A le point le plus élevé de la trajectoire.
8. La vitesse est minimum au point A.
9. Au long de la trajectoire, la vitesse croît d'abord, décroît ensuite.
10. L'accélération reste constante en direction.
11. L'accélération croît d'abord puis décroît.
12. L'accélération est nulle au point A.
13. L'accélération reste constante en valeur absolue.
14. En A, les énergies cinétique et potentielle sont égales.
15. L'énergie potentielle décroît d'abord, croît ensuite.
16. La quantité de mouvement décroît d'abord,croît ensuite.
17. La composante horizontale de la quantité de mouvement reste constante.
107
18. En doublant la vitesse initiale, on double la portée du canon.
19. Le temps mis par l'obus pour atteindre le point A est égal au temps qu'il met pour
retomber au sol.
20. L'énergie cinétique d'un pendule est maximum quand son énergie potentielle est minimum.
Les questions 21 à 26 se rapportent au dessin ci-contre.
21. En E, l'accélération est dirigée vers la
droite, même si le pendule va vers A.
22. L'énergie cinétique est maximum en B.
23. L'accélération est plus grande en D
qu'en C.
24. La tension dans le fil est plus grande en
D qu'en C.
25. Quand le pendule va de B en C, sa quantité de mouvement ne varie pas.
26. Le pendule est en équilibre statique en A.
Réponses :
1 F - 2 V - 3 F - 4 V - 5 F - 6 F - 7 V - 8 V - 9 F - 10 V - 11 F 12 F - 13 V - 14 V - 15 F - 16 V - 17 V - 18 F - 19 V - 20 V - 21 V
- 22 V - 23 F - 24 V - 25 F - 26 F.
108
D) DYNAMIQUE DU SOLIDE
D1) EXERCICES RESOLUS
1. Déterminez le moment de force dans les différentes figures ci-dessous. Déterminez
également la direction et le sens du moment de force. Le centre de rotation est en C.
Solution :
(a)
(c)
M = 1 N.m
M = 1,6 N.m
(e)
M = 0
(b)
(d)
M
M
= 0,5 N.m
= 0,5 N.m
Tous ces vecteurs sont perpendiculaires au plan de la feuille ; le point d'application est
toujours C.
Pour (a), (b), (c), le vecteur s'enfonce dans la feuille et se note
placé au point C ;
pour (d) le vecteur sort de la feuille et se note
placé au point C.
2b. Un cylindre plein dont le rayon est 1 mètre et la masse 1 000 kg tourne autour de son axe
à la vitesse de 25 tours/s. Abandonné à lui-même, il s'arrête après une heure par suite
des frottements. Quel est le moment des forces de frottement ?
Solution : Le moment de force est M = ID où D est l'accélération angulaire : ici, c'est
une décélération.
D =
'Z
=
't
25.2S
= 0,0436 rd/s2
3600
109
1000.12
m.R 2
I =
=
= 500 kg.m2
2
2
M = I . D = 21,8 N.m
3 b. Un cylindre creux de 40 kg, dont le rayon vaut 15 cm et dont l'épaisseur est négligeable,
peut tourner autour de son axe. Une corde est enroulée autour du cylindre. On tire sur la
corde de manière à exercer un moment de force constant de 15 N.m. En partant sans
vitesse initiale, quelle est l'accélération angulaire du cylindre ? Quelle est l'accélération
linéaire de la corde ? Quelle est la vitesse angulaire du cylindre après 5 secondes ?
Solution : L'accélération angulaire se déduit de M = I D où le moment d'inertie est
I = m R2 car c'est un cylindre creux.
I = m R2 = 40 (0,15)2 = 0,9 kg.m2
D = M = 16,67 rd/s2
I
L'accélération linéaire est
a = D . R = 16,67 . 0,15 = 2,50 m/s2
La vitesse angulaire est
Z = D . t = 16,67 . 5 = 83,35 rd/s
4 b. Un moteur est freiné par un moment de force constant M = 8 N.m. Il passe de 1 000
tours/min à 400 t/min en 5 secondes. Quelle est sa décélération angulaire ? Après
combien de temps serait-il complètement arrêté ? Quel est son moment d'inertie ? Quelle
est, après 5 sec., l'accélération centripète d'un point situé à 10 cm du centre ?
Et son accélération tangentielle ?
Solution :
'Z = 600 t/min = 20 S rd/s
'Z
D =
= 4 Srd/s
't
CommeZ Zo - Dt avec Zo = 1 000 t/min =
100.S
rd/s
3
il est arrêté après un temps
t =
Z0
25
=
= 8,3 s
3
D
Le moment d'inertie est
2
8
=
= 0,64 kg.m2
S
D
4S
40S
Après 5 secondes, Z = 400 t/min =
= 41,88 rd/s
3
ac = Z2 . R = 175,4 m/s2
at = D . R = 1,25 m/s2
I =
M
=
110
5 b. Un cylindre plein de 20 kg et dont le rayon est 25 cm tourne à 1 200 tours/minute autour
de son axe. Quelle est la force tangentielle nécessaire pour l'arrêter au bout de 1 800
tours ?
Solution :
1200.2S
= 40 S rd/s
60
­ Z Z 0 D .t
°
D .t 2
®
Z
t
.
0
0
°̄
2
Zo =
A l'arrêt on a
0 40.S D .t
­°
2
®1800.2.S 40.S .t D .t
°̄
2
En remplaçant Dt par 40 Sdans la seconde équation, on a
40S .t
1 800 . 2 S = 40 St 2
d'où
t = 180 s
2.S
D =
rd/s2
9
Le moment d'inertie du cylindre est
20(0,25) 2
MR 2
=
= 0,625 kg.m2
I =
2
2
Le moment de force de freinage est
M = ID = Ftg . R
I .D
= 1,75 N
d'où
Ftg =
R
6 b. Une roue possède une vitesse angulaire initiale et est soumise à un moment de force
constant de 40 N.m. En 3 secondes elle effectue un angle de 234 rd et a une vitesse de
108 rd/s à la fin de ces 3 secondes. Quelle est l'accélération angulaire ? Quelle est, à la
fin de ces 3 s, l'accélération centripète d'un point situé à 10 cm du centre ? Et
l'accélération tangentielle ? Quel est le moment d'inertie de la roue ?
Solution :
Puisqu'il y a un moment de force constant, il y a une accélération angulaire constante et
­ Z Z 0 D .t
°
D .t 2
®
Z
t
.
0
0
°̄
2
Pour t = 3 s
111
­ 108 Z 0 3.D
®
¯234 3.Z 0 4,5.D
d'où
D = 20 rd/s
ac = Z2 . R = 1082 . 0,1 = 1 166 m/s2
at = D . R = 20 . 0,1
= 2 m/s2
Le moment d'inertie est
I =
M
D
=
40
= 2 kg.m2
20
7 b.
Un cylindre plein de 4 kg et de 50 cm de
rayon peut tourner autour de son axe.
Immobile au départ, il est accéléré
uniformément jusqu'à atteindre 20 rd/s après
5 secondes. Il continue à tourner à cette
vitesse pendant un certain temps, puis il est
freiné uniformément. Le freinage dure 5
minutes. Au total, depuis le début du
mouvement, le cylindre a effectué une
rotation de 5 050 radians.
Quelle a été la durée totale du mouvement ?
Quel est le moment de force de freinage ?
Si le freinage est effectué par un sabot de frein, quelle est la force F appliquée, sachant
que le coefficient de frottement est 0,3 ?
Solution :
1)
2)
Z
= Dt
T
=
T
= To + Zt = 50 + 20 t
Dt 2
2
d'où
D =
20
Z
=
= 4 rd/s2
5
t
= 50 rd
3) pendant 5 minutes = 300 s
Z = Zo - Dt et à l'arrêt
= 20 - D . 300
20
1
=
=
rd/s2
d'où D
300
15
D .t 2
T
= To + Zot 2
0
112
1 300 2
5 050
= (50 + 20 t) + 20 . 300 15 2
d'où t
= 100 s (durée de la deuxième partie du mouvement)
La durée totale du mouvement est
5
+ 100 + 300 = 405 s
Le moment de force de freinage est
M
= ID
où I =
4(0,5) 2
MR 2
=
= 0,5 kg.m2
2
2
1
rd/s2
15
1
M =
= 0,033 N.m
30
Ce moment est aussi donné par
M = Ffrott . R
M
1
d'où Ffrott =
=
N
R
15
mais Ffrott = 0,3 . F
1
d'où
F =
= 0,22 N
15.0,3
D
8b.
=
Une tige horizontale dont on peut
négliger la masse, comporte cinq
masses ponctuelles et tourne autour
d'un axe de rotation vertical à la vitesse
constante de 2 rd/s. Quel est son
moment d'inertie ? Quelle est son
énergie cinétique ? Quel est son
moment angulaire ? Quel est le moment
de freinage nécessaire pour arrêter la
rotation en 4 secondes ? Quelles sont,
dans ce cas, les deux forces de freinage
qu'il faudrait appliquer aux deux
masses de 1 kg ?
Solution :
2
I = 6miRi
= 2 (1 . 0,42) + 2 (3 . 0,22) = 0,56 kg.m2
113
0,56.2 2
IZ 2
=
= 1,12 J
k =
2
2
Moment angulaire = IZ = 1,12 kg.m2 . rd/s
Pour l'arrêter en 4 secondes il faut une décélération
'Z
2
D =
=
= 0,5 rd/s2
't
4
M = ID = 0,28 N.m
Ce moment de force peut être obtenu à partir de 2 forces F agissant chacune à 0,40 m de
l'axe de rotation
M = 2 F . 0,4 = 0,28 N.m
d'où F = 0,35 N
E
9 b. Un cylindre plein, dont la masse est 2 kg et le rayon 20 cm, est entraîné par un moteur
dont le moment du couple de force est constant et vaut 0,16 N.m. Si le moteur part du
repos, quelle est, après 10 secondes, la vitesse linéaire d'un point extérieur du cylindre ?
Quelle est, après 10 s, l'énergie cinétique du cylindre ? Quel est le travail effectué par le
moteur durant ces 10 secondes ? Quelle est la puissance du moteur ? Quel est le moment
angulaire du cylindre après 10 secondes ?
Solution :
2(0,2) 2
MR 2
=
= 0,04 kg.m2
2
2
L'accélération angulaire se calcule à partir de
M = ID
M
0,16
=
= 4 rd/s2
d'où D =
I
0,04
Moment d'inertie I =
Après 10 secondes,
Z = Dt = 40 rd/s
v = ZR = 8 m/s
I .Z 2
= 32 J
Ek =
2
Le travail effectué par le moteur doit correspondre à l'énergie cinétique acquise : 32 J.
On peut cependant le calculer par
W = MT
où
T =
D .t 2
2
= 200 rd
W = 0,16 . 200 = 32 J
W
= 3,2 watts
Puissance =
t
Le moment angulaire est IZ = 1,6 kg.m2 . rd/s
114
10 b. a) Un corps de 2 kg initialement au repos, est soumis pendant 10 secondes à une force
constante qui le déplace en ligne droite sur une distance de 2 m. Quel est le travail
effectué ?
b) Un cylindre plein de 2 kg et de 10 cm de rayon initialement au repos est soumis
pendant 10 secondes à une force tangentielle constante qui le fait tourner autour de
son axe de telle sorte qu'un point de la circonférence parcourt un espace de 2 m. Quel
est le travail effectué ?
Solution :
a) Le corps est en mouvement rectiligne uniformément accéléré.
at 2
4
2x
d'où a = 2 =
= 0,04 m/s2
x =
2
100
t
F = m a = 0,08 N
W = F . l = 0,16 J
b) Le cylindre a un mouvement de rotation uniformément accéléré.
D .t 2
2
s
T =
où
T =
=
= 20 rd
0,1
2
R
2.T
D =
= 0,4 rd/s2
t2
2.0,12
MR 2
=
= 0,01 kg.m2
I =
2
2
M = ID 1m
W 0T = 0,004 . 20 = 0,08 J
11 b. Un disque de 20 cm de diamètre, de 2 cm d'épaisseur, de densité 10, est mis en rotation
par un moteur qui l'amène à 100 tours/s au bout d'une minute.
Quel est le moment du couple moteur ?
Quelle est la puissance du moteur ?
Solution : masse du disque :
m = U . SR2h = 10 . S . 102 . 2 = 6,28 . 103 g = 6,28 kg
6,28(0,1) 2
mR 2
=
= 3,14 . 10-2 kg.m2
I =
2
2
Z = 100 . 2S = 628 rd/s
Comme c'est un mouvement uniformément accéléré,
628
Z
D =
=
= 10,46 rd/s2
60
t
Moment du couple moteur : M = ID = 0,3284 N.m
115
W
où
W = F . l dans un mouvement de translation et
t
W = M . T dans un mouvement de rotation. Mais, dans ce mouvement de rotation
1
uniformément accéléré, T = 2 Dt2
W
M .T
M .D .t
M .Z
=
=
=
car Z = Dt
d'où
P =
t
t
2
2
0,3284.628
= 103 watts
Donc,
P =
2
La puissance P =
12. Un homme, assis sur un tabouret tournant sans frottement, tourne à la vitesse de 1 tour/s
lorsqu'il a les bras étendus. Son moment d'inertie, tabouret compris, est alors 2 kg.m2. En
mettant les bras le long du corps, ce moment d'inertie devient 0,8 kg.m2. Quelle est alors
la vitesse de rotation ?
Solution :
Il y a conservation de la quantité de mouvement angulaire :
IZ = I'Z'
Donc
2 . 2S . 1
et
Z'
= 0,8 Z'
= 15,7 rad/s (il fera 2,5 tours/s)
13 b.
Un cylindre plein monté sur un axe de 8 cm
de rayon est mis en mouvement à partir du
repos par une corde enroulée autour de l'axe
et au bout de laquelle pend une masse de 10
kg. Cette masse descend de 2 m en 5 secondes
à partir du repos. Quel est le moment
d'inertie de l'ensemble cylindre-axe ? (g = 10
m/s2)
y
at 2
=
d'où a
2
Solution :
Il y a conservation d'énergie du système :
l'énergie potentielle mgh de la masse de 10 kg
se transforme en énergie cinétique de translamv 2
pour la masse de 10 kg et de
tion
2
IZ 2
pour l'ensemble cylindre-axe.
rotation
2
La masse de 10 kg prend un mouvement uniformément accéléré, d'accélération a.
2 .2
2y
=
=
= 0,16 m/s2
2
t
52
116
v= at = 0,16 . 5 = 0,8 m/s
v
0,8
Z=
=
= 10 rd/s
R
0,08
d'où
mv 2
IZ 2
+
= mgh
2
2
10.0,8 2
I .10 2
+
= 10 . 10 . 2
2
2
I
= 3,9 kg.m2
14 b.
l
Un disque plein de 2 kg roule sur une surface horizontale avec une vitesse de 20 m/s. Il
arrive au pied d'un plan incliné à 30°. En négligeant le frottement,
a) calculez l'énergie cinétique du cylindre lorsqu'il arrive au pied du plan incliné.
b) quelle distance, l, parcourra-t-il le long du plan ? (g = 10 m/s2)
1 2
1 2
1 2 1
3 2
R2 v2
mv + IZ =
mv + m
. 2 =
mv = 600 J
Solution : a) Ek =
2
2
2
2
4
2 R
b) 600 J = mgh
30
= 60 m
donc h = 30 m et l =
sin 30q
15 b.
On fait tourner un disque horizontalement à la vitesse
constante de 1 rd/s. Le disque a un rayon de 10 cm, une
épaisseur de 1 cm et une masse de 2 kg. Sur le disque est
déposée une masse ponctuelle m = 100 g à une distance
de 5 cm de l'axe de rotation. Le coefficient de frottement
entre la masse et le disque est 0,3. A un moment donné,
on applique au disque un moment de force de 0,02 N.m.
Combien de temps plus tard la masse sera-t-elle projetée
vers l'extérieur ?
Solution :
mR 2
= 10-2 kg.m2
2
Imasse = mR2 = 25 . 10-5 kg.m2
Itotal = 0,01025 r 0,01 kg.m2
Idisque =
117
M
= 2 rd/s2
I
Z = Zo + Dt = 1 + 2 t
Ma masse sera projetée lorsque mZ2R > Ffrott. = 0,3 mg
0,3.mg
= 60
c-à-d Z2 >
mR
Z > 7,7 rd/s
Une vitesse angulaire de 7,7 rd/s est atteinte après un temps t déterminé par la relation :
7,7 = 1 + 2 t
d'où
t = 3,35 s
D =
16 b.
Sur un plan incliné à 30° glisse, sans
frottement, une masse A de 10 kg. Cette
masse est attachée à une masse B par un
câble (de masse négligeable) qui passe sur
une poulie.
a) Quelle est la condition pour que la masse
B se déplace vers le bas ?
b) Si on prend B = 10 kg, quelle est
l'accélération du mouvement avec une
poulie sans frottement et de masse négligeable ?
c) Si on prend B = 10 kg, quelle est l'accélération du mouvement avec une poulie qu'on
peut considérer comme un cylindre plein de 5 kg et de 10 cm de rayon ?
Solution :
a) mBg > 10 g sin 30°
mB > 5 kg
b) Pour la masse B (= 10 kg) :
&
T
PB - T = mBa
&
PB
Pour la masse A :
&
T
T - PA sin 30° = mA a
&
PA
Il s'en suit que a = 2,5 m/s2
et
T = 75 N
118
c) Si la poulie possède de l'inertie, elle ne peut tourner que si les tensions qui s'exercent
de part et d'autre sont différentes :
&
&
| T B| > | T A| ou
T B > TA
&
&
Utilisons 6 M = I D
TB . R - TA . R = ID
a
1
mpoulie R2 .
d'où (TB - TA) R =
2
R
1
mpoulie a
donc TB - TA =
2
(1)
Pour la masse B :
PB - TB = mBa
(2)
Pour la masse A :
TA - PA sin 30° = mAa
(3)
En faisant la somme des équations (1), (2) et (3), on obtient :
a = 2,2 m/s2.
Puis on trouve
TB = 78 N et TA = 72 N
17 b.
Un cerceau de 3 m de rayon et ayant une masse de 150 kg roule
sur un plan horizontal. Quel travail doit-on fournir pour l'arrêter
si la vitesse de son centre est 0,15 m/s ?
Solution : Le travail W pour arrêter le cerceau correspond à
l'énergie cinétique totale (de translation et de rotation) du
cerceau :
1
1
W = mv2 + I Z2
2
2
I .Z 2
v2
v
1 2
2
, l'énergie cinétique de rotation
=
mr . 2 =
Avec I = mr et Z =
r
2
2
r
1 2
mv .
2
Donc, W = mv2 = 3,375 J.
18. Un disque de 25 kg et de 4 m de rayon peut tourner sans frottement autour de son axe. Il
est au repos. Sur le bord du disque se trouve une masse ponctuelle de 1 kg qui est
expulsée tangentiellement avec une vitesse de 10 m/s. Par réaction, le disque se met à
tourner en sens opposé.
Avec quelle vitesse angulaire ?
Solution :
La masse de 1 kg a un moment angulaire L = mvr = 1 . 10 . 4 = 40 kg.m2/s
119
MR 2
25.16
Le disque a un moment d'inertie I =
=
= 200 kg.m2
2
2
Il y a conservation du moment angulaire,
donc :
IZ = mvr
40
= 0,2 rd/s.
d'où
Z =
200
120
D2) EXERCICES NON RESOLUS
1 b. Une masse ponctuelle m = 10 grammes, retenue par un fil long de 50 cm et de masse
négligeable, est animée d'un mouvement circulaire uniforme autour d'un point fixe.
La rotation se fait dans le sens inverse des
aiguilles d'une montre.
La masse fait deux tours par seconde.
a) Quel est le moment d'inertie du système ?
b) Quelle est l'accélération centripète de la
masse m ?
C) Quelle est la vitesse linéaire de la masse
m?
d) Quelle est la vitesse angulaire de la masse m ?
e) Quelle est la force centrifuge de réaction ?
f) Quelle est l'énergie cinétique du système ?
Certaines de ces grandeurs sont des vecteurs. Portez-les clairement sur le dessin.
(Convention
= vecteur perpendiculaire à la feuille, venant vers vous.
= vecteur
perpendiculaire à la feuille rentrant dans le papier).
Réponses : a) 25 . 10-4 kg.m2 ; b) 80 m/s2 ; C) 2 S m/s ; d) 4 S rd/s ; e) 0,8 N ;
f) 0,2 J.
2b. Quel est le travail effectué par une force de 1 Newton qui agit durant 10 secondes
tangentiellement à un cylindre plein pouvant tourner autour de son axe ? Le cylindre a
un rayon de 50 cm et une masse de 20 kg.
Réponse : 5 J.
3b.
2
Aux travaux pratiques, on a fait faire 20
tours au disque pour l'amener de la
position 1 à la position 2.
1
La descente du mobile de 2 à 1
s'effectue en 2 secondes.
Quelle est l'accélération angulaire du
disque ?
121
Réponse : 62,8 rd/s2
4b. a) Quel est le travail effectué par une force de 1 N qui agit durant 10 s sur le centre de
masse d'un mobile de 500 g initialement au repos ?
b) Quel est le travail effectué par une force de 1 N qui agit durant 10 s tangentiellement à
un cylindre plein pouvant tourner autour de son axe ? Le cylindre a un rayon de 50 cm
et une masse de 20 kg.
Réponses : a) 100 J ; b) 5 J.
5b. Un cylindre plein pèse 5 kg et tourne à une vitesse de 5 rd/s. Sachant que son diamètre
vaut 40 cm, quelle force tangentielle faut-il appliquer pour qu'après 4 s, il tourne 10 fois
plus vite ?
Réponse : 5,6 N
6b. Un cylindre plein de 10 cm de rayon a une masse de 5 kg. Il tourne à une vitesse
angulaire de 12 rd/s autour de son axe.
a) Quelle force tangentielle faut-il lui appliquer pour qu'il atteigne une vitesse
angulaire de 40 rd/s après 7 s ?
b) Quelle est l'énergie cinétique du cylindre à la 5e seconde ?
Réponses :
a) 1 N ; b) 12,8 J
7b. Un carrousel est mis en mouvement en tirant sur une corde enroulée autour de celui-ci.
On exerce une force de 200 N sur la corde, tangentiellement au carrousel, durant 10 s.
Durant ce laps de temps, le carrousel qui a un rayon de 2 m, a effectué un tour complet.
a) Quelle est l'accélération angulaire du carrousel en supposant qu'elle reste constante ?
b) Quel est le moment de la force exercée par la corde sur le carrousel ?
c) Que vaut le moment d'inertie du carrousel ?
d) Calculez le travail total exercé par le couple de force.
e) Montrez par le calcul que le travail exercé est égal à l'énergie cinétique.
Réponses : a) 0,1256 rd/s2 ; b) 400 N.m ; c) 3 184 kg.m2 ; d) 2 513 J.
8b. Un cylindre plein de 50 cm de rayon et pesant 120 kg tourne à une vitesse de 90 rd/s.
a) Quel moment de force faut-il appliquer pour le ralentir à 40 rd/s en 20 secondes ?
b) Quel est le déplacement angulaire du cylindre effectué pendant la phase de
ralentissement de 20 s ?
c) Quelle est l'énergie cinétique perdue par le cylindre ?
122
Réponses : a) 37,5 N.m ; b) 1 300 rd ; c) 48 750 J.
9b. Un cylindre plein dont la masse est 2 kg et le rayon 20 cm tourne à une vitesse de 600
tours/min. On lui applique un couple moteur qui augmente sa vitesse angulaire à 1 200
tours/min. en 5 secondes.
a) Quelle est son accélération angulaire ?
b) Combien de tours effectue-t-il pendant ce temps ?
c) Quelle est la vitesse linéaire après ces 5 secondes d'un point extérieur du cylindre ?
d) Quelle est l'énergie cinétique du cylindre à ce moment là ?
e) Quel est le travail effectué en ces 5 secondes ?
f) Quel est le moment angulaire du cylindre après 5 secondes ?
Réponses : a) 4 S rd/s2 ; b) 75 tours ; c) 8 S m/s ; d) 320 J ; e) 240 J ;
f) 1,6 S kg.m2/s.
10b. Un cylindre plein de 10 kg et de 50 cm de rayon est entraîné par une machine à la vitesse
constante de 150 tours/min. Lorsqu'on supprime l'entraînement, les forces de frottement
l'arrêtent après 10 minutes.
a) Combien de tours, le cylindre accomplit-il pendant ces 10 minutes ?
b) Quelle est l'accélération tangentielle d'un point extérieur du cylindre lorsque sa
vitesse est 75 tours/minute
c) Quelle est son accélération centripète dans ce dernier cas ?
d) Quel est le moment de force de frottement ?
Réponses : a) 750 tours ; b) 1,3 . 10-2 m/s2 ; c) 31,2 m/s2 ; d) 3,27 . 10-2 N.m
11b.
Un cylindre plein de 50 cm de rayon, pesant 5
kg, tourne autour de son axe à la vitesse de
1 000 tours/minute. Il est freiné par un sabot
de frein appliqué avec une force constante de
20 Newtons ; le coefficient de frottement est
0,5. Après combien de temps le cylindre serat-il arrêté ?
Réponse : 13 s
123
12b.
Un cylindre plein peut tourner autour d'un
axe fixe horizontal. Il pèse 20 kg et son rayon
est de 30 cm. Un poids de 10 kg, attaché à
une corde dont on peut négliger la masse, le
fait tourner. g = 10 m/s2
a) Quelle est l'accélération de la masse de
10 kg ?
b) Quelle est l'accélération tangentielle d'un
point extérieur du cylindre ?
c) Quelle est l'accélération angulaire d'un point extérieur du cylindre ?
d) Que vaut la tension dans la corde ?
Réponses : a) 5 m/s2 ;
13b.
b) 5 m/s2
;
c) 16,7 rd/s2 ;
d) 50 N.
Un axe AB tourne à la vitesse constante de 0,5 tour/s. En
A sont fixes deux fils longs de 2 m, à l'extrémité desquels
sont suspendues deux masses de 100 g. Sous l'effet de la
rotation, ces fils s'écartent de la verticale d'un angle T.
a) Dessinez les forces qui s'exercent sur chacune des
masses.
b) Quelle est la tension dans chaque fil lorsque le système
en rotation ? (g = 10 m/s2)
c) Que vaut l'angle T ?
d) Quel est le moment angulaire du système en rotation
? Représentez le vecteur sur le dessin.
e) Quelle est l'énergie cinétique du système en rotation ?
f) Par rapport au repos, quel est l'accroissement d'énergie potentielle du système en
rotation ?
Réponses : a) le poids, la tension et la force fictive d'inertie ;
b) 2 N ; c) 60° ; d) 0,6.S kg.m2/s ; e) 3 J ; f) 2 J.
124
14b.
Résolvez le problème suivant en utilisant
la loi de conservation de l'énergie.
Un seau de masse ms = 6 kg est suspendu
au-dessus d'un puits par une corde de
masse négligeable, enroulée autour d'une
poulie pleine de masse ma = 4 kg et de
10 m
eau
rayon r = 10 cm.
a) Si on lâche le seau, quelle sera sa
vitesse (arrondie au m/s) lorsqu'il
touchera la surface de l'eau située 10 m
plus bas.
b) Que valent le(s) énergie(s) cinétique(s) au moment de l'impact du seau à la surface de
l'eau ?
c) Quelle est la durée totale du mouvement (arrondie au dixième de seconde) ?
d) Que vaut l'accélération linéaire du seau (arrondie au m/s2) ?
e) Que vaut la tension de la corde ?
Réponses : a) v r 12 m/s ; b) Ek (translation) = 450 J, Ek (rotation) = 150 J ; c) t r 1,7
s ; d) a r 7 m/s2 ; e) 18 N (g = 10 m/s2).
15 b.
Un cylindre creux et un cylindre plein
se trouvent au sommet d'un plan
incliné. Les 2 cylindres ont même
masse et même rayon : m = 2 kg et r =
30 cm. On lâche les deux cylindres en
même temps.
Sachant que les cylindres roulent sans
glisser, lequel arrivera en bas le
premier?
Calculez le temps mis par chaque cylindre pour parcourir la pente de 2 m.
Réponses : t (cyl. creux) # 1,8 s ; t (cyl. plein) # 1,5 s (g = 10 m/s2)
125
16 b.
Sur un plan incliné à 30° se trouve une
r = 10 cm
masse de 50 g qui peut glisser sans
frottement. Elle est attachée à un câble de
500 g
masse négligeable qui est enroulé autour
50 g
d'une poulie, cylindre plein de 500 g et de
10 cm de rayon.
a) Si le système est abandonné à partir
30°
du repos, quelle est la vitesse de la
masse après un parcours de 60 cm ?
(à résoudre par la conservation de l'énergie).
b) Quelle est l'accélération de la masse ?
c) Quelle est la tension dans le câble ?
d) Quelle aurait été la vitesse de la masse après un parcours de 60 cm s'il y avait du
frottement avec P = 0,1 ?
Réponses : (g = 9,8 m/s2)
a) v = 0,99 m/s ; b) a = 0,82 m/s2 ; c) T = 0,204 N ; d) v = 0,90 m/s
17 b.
g = 10 m/s2
Soient 2 cylindres solidaires, de rayons égaux à 25 et 10
cm et ayant leur axe commun placé horizontalement. Une
masse M2 égale à 3 kg est attachée à une ficelle enroulée
autour du cylindre intérieur. Une autre ficelle est enroulée
autour du cylindre extérieur. Le moment d'inertie de
l'ensemble des deux cylindres, par rapport à leur axe, vaut
2 kg.m2.
Les masses des ficelles sont négligeables.
a) Quelle masse M1 faut-il accrocher à la ficelle
extérieure pour maintenir le système au repos ?
b) Si M1 = 2 kg, quelle sera l'accélération angulaire des cylindres ? Indiquez sur le
dessin le sens de rotation.
c) Avec M1 = 2 kg, que vaut l'accélération de la masse M1 ?
d) Avec M1 = 2 kg, que vaut la tension dans la ficelle attachée à M2 ?
126
Réponses : T1 s'exerçant sur la ficelle extérieure produit un moment de force opposé au
moment de force produit par T2 s'exerçant sur la ficelle intérieure. On écrira la 2e loi de
Newton pour les deux masses M1 et M2 (translation, forces) et les cylindres (rotation,
moments de force).
a) M1 = 1,2 kg ; b) M1 descend, M2 monte avec D = 0,928 rd/s2 ; c) a1 = 0,232 m/s2 ;
d) T2 = 30,28 N.
127
D3) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. Le moment d'inertie se mesure en kg/m2.
2. Le moment d'inertie d'une sphère pleine est le même que celui d'un cylindre plein de
même masse et de même rayon que la sphère.
3. Dans un système isolé, la vitesse angulaire d'un corps ne peut pas varier.
4. Le moment d'une force est la dérivée du moment angulaire.
Réponses : 1 F - 2 F - 3 F - 4 V.
128
E)IMPULSION ET LES COLLISIONS
E1) EXERCICES RESOLUS
1. Une bille de billard pesant 150 grammes reçoit une impulsion qui lui donne une vitesse
de 80 cm/s. La durée du choc est 0,001 seconde. Calculez la force moyenne pendant le
choc.
Solution :
F . dt = m . dv
0,150.0,80
m.dv
=
= 120 N
F =
0,001
dt
2.
Une masse de 5 kg ayant une vitesse de 30
m/s rebondit sur une plaque d'acier suivant un
choc élastique. La masse arrive sur la plaque
suivant un angle de 45°. Quelle est la
variation de quantité de mouvement de la
masse (grandeur et direction) ? Quelle est la
variation de quantité de mouvement de la
plaque (grandeur et direction) ?
Solution :
avant le choc
après le choc
Les deux composantes horizontales, avant et après le choc, sont identiques. La variation
de quantité de mouvement de la masse vaut donc :
&
&
&
m v y (après) - m v y (avant) = 2 m v y. Ce vecteur est dirigé vers le haut et vaut
2 . 5 . 30 cos 45° = 210 kg.m/s. La variation de la quantité de mouvement de la plaque
est un vecteur valant également 210 kg.m/s mais dirigé vers le bas.
3. Deux masses glissent sans frottement le long d'une même droite et dans le même sens.
L'une a une masse de 100 g et une vitesse de 50 cm/s, l'autre, 200 g et 20 cm/s. Elles se
cognent. Quelles sont leurs vitesses après le choc ?
129
Solution : Il faut exprimer qu'avant et après le choc, l'ensemble des deux masses a la
même quantité de mouvement et la même énergie. Prenons comme sens positif le sens
d'avancement des deux masses.
Si x et y sont les vitesses des deux masses après le choc, on a :
- quantité de mouvement
avant le choc : 0,1 . 0,5 + 0,2 . 0,2 = 0,09 kg.m/s
après le choc : 0,1 x + 0,2 y
- énergie cinétique
1
1
0,1 . (0,5)2 + 0,2 . (0,2)2 = 1,65 .10-2 J
2
2
1
1
0,1 x2 + 0,2 y2
après le choc :
2
2
x et y sont les solutions du système
0,1.x 0,2. y 0,09
­
­ x 2. y 0,9
ou
®
® 2
2
2
2
2
0,33
¯0,05 x 0,1. y 1,65.10
¯ x 2. y
avant le choc :
d'où
x = 0,9 - 2 y
En remplaçant x dans la deuxième équation, on a
0,81 - 3,6 y + 6 y2 = 0,33
d'où
ou
y2 - 0,6 y + 0,08 = 0
y = 0,4 et 0,2
Les solutions sont :
y = 0,4 m/s
y = 0,2 m/s
et
et
x = 0,1 m/s (vitesse après le choc)
x = 0,5 m/s (vitesse avant le choc)
On trouve deux solutions : en effet, la conservation de la quantité de mouvement et celle
de l'énergie sont vérifiées aussi bien avant le choc qu'après.
Toutes les valeurs étant positives, les vitesses sont toutes dirigées dans le sens
d'avancement des masses avant le choc.
4. Deux masses glissent sans frottement le long d'une même droite mais en sens opposé.
L'une a une masse de 100 g et une vitesse de 50 cm/s ; l'autre 200 g et 20 cm/s. Elles se
cognent. Quelles sont leurs vitesses après le choc ?
Solution : Ce problème ne diffère du précédent que par le sens des vecteurs. Choisissons
le sens positif vers la droite.
130
- Quantité de mouvement
avant le choc : 0,1 . 0,5 - 0,2 . 0,2 = 0,01 kg.m/s
après le choc : 0,1 x + 0,2 y
- Energie cinétique
1
1
0,1 . (0,5)2 + 0,2 . (0,2)2 = 1,65 . 10-2 J
2
2
1
1
0,1 x2 + 0,2 y2
après le choc :
2
2
x et y sont les solutions du système
0,1.x 0,2. y 0,01
­
®
2
2
2
¯0,05 x 0,1. y 1,65.10
avant le choc :
On trouve deux solutions :
1,3
0,8
, y =
1) x = 3
3
après le choc, la masse de 100 g a une vitesse de
1,3
m/s vers la gauche et la masse
3
0,8
m/s vers la droite.
3
2) x = 0,5 m/s,
y = - 0,2 m/s
Ce sont les vitesses avant le choc.
de 200 g a une vitesse de
5.
Deux patineurs glissent sans frottement dans des
x
directions perpendiculaires et entrent en collision .
Chacun d'eux a une masse de 70 kg et une célérité
de 5 m/s. Au moment du choc, ils s'agrippent l'un à
x
l'autre et continuent leur mouvement ensemble.
a) dans quelle direction ?
b) à quelle vitesse
c) quelle est la partie d'énergie cinétique perdue dans ce choc inélastique ?
Solution :
a) et b) La quantité de mouvement est conservée :
&
&
&
=
m1v1 m2 v2
(m1 m2 )v
avant la collision
après la collision
131
En projections horizontales :
m1 v1 = (m1 + m2) v cos T
En projections verticales
m2 v2 = (m1 + m2) v sin T
v2
et T = 45°
v1
350
= 3,5 m/s
et
v =
140 cos 45q
c) L'énergie cinétique totale avant la collision vaut
m1v12
m2 v 22
+
= 1 750 J
2
2
L'énergie cinétique totale après la collision vaut
(m1 m2 )v 2
= 857,5 J
2
La perte est donc de 892,5 J
6.
Un bloc de bois de 1 kg est attaché à un ressort dont la
raideur vaut 200 N/m. On tire une balle de 40 g qui vient
s'encastrer dans le bloc. L'ensemble recule et comprime
le ressort de 10,2 cm. Quelle était la vitesse initiale de la
40 g
balle ? On peut négliger le frottement du bloc de bois sur
1 kg
le sol.
Il s'en suit que tg T
Solution :
Dans une première étape, la balle de masse m et de vitesse v s'encastre dans le bloc de
masse M : le choc est inélastique ; il y a conservation de la quantité de mouvement :
mv = (M + m) v'
(1)
v' étant la vitesse de l'ensemble balle-bloc après le choc. Dans une deuxième étape,
l'ensemble balle-bloc comprime le ressort ; il y a conservation de l'énergie :
1
1
( M m) v'2 =
kx2
(2)
2
2
ou 1,04 v'2 = 200 (0,102)2 = 2,08
d'où v' r 1,4 m/s et, par (1), v = 36,4 m/s
132
g = 10 m/s2 ; sin 30° = 0,5 ; cos 30° = 0,87
7.
Une masse de 2 kg est lâchée sur une pente
inclinée à 30°. Elle glisse sans frottement sur
une distance de 2 m avant de cogner un
ressort ayant une constante de raideur de 100
N/m.
Répondez aux questions suivantes en
utilisant le principe de la conservation de
l'énergie.
a) A quelle vitesse la masse va-t-elle cogner le ressort ?
b) Quelle sera la distance de compression maximale du ressort ?
Solution :
Lorsque la masse est à l'arrêt tout en haut de la pente, son énergie est purement
potentielle : Etot = mgh.
Lorsque la masse glisse, cette énergie potentielle se transforme petit à petit en énergie
1
cinétique. A l'instant précis où elle cogne le ressort, Etot = mgh' + mv2.
2
Ensuite, la masse comprime le ressort et ralentit. A l'instant où elle s'arrête, le ressort est
1 2
comprimé au maximum et emmagasine une énergie de kxmax , xmax étant la distance
2
1 2
de compression maximale : Etot = mgh" + kxmax .
2
h, h' et h" sont les hauteurs des trois positions précédentes.
1
a) Etot = mgh = mgh' + mv2
2
h - h' = 'h
'x = 2 m
'
h
1
mv2
mg'h =
30°
2
'h = 'x . sin30° = 1 m
v2 = 2 . g . 1 = 20
b) Etot = mgh' +
h' - h" = 'h'
et
v r 4,5 m/s
1
1 2
mv2 = mgh" + kxmax
2
2
2
1
. 100 xmax = 0
2
'h' = xmax . sin 30° = 0,5 xmax
mg'h' + 20 -
x max
' ' h'
30°
133
2
50 xmax - 10 xmax - 20 = 0
d'où x = 0,74 m (l'autre solution, x = -0,54 m, est à rejeter).
134
E2) EXERCICES NON RESOLUS
1.
On applique une force de 5 N durant 0,1 s sur une masse de 50 grammes initialement au
repos.
a) Si on néglige les forces de frottement, à quelle vitesse va-t-elle continuer à se déplacer
sur un plan horizontal ?
b) La masse en mouvement aborde et remonte un plan incliné qui fait un angle de 30°
avec le plan horizontal. Calculez l'énergie cinétique totale de la masse au moment où
elle aborde le plan incliné.
c) Quelle distance va-t-elle parcourir en remontant le plan incliné ? (g = 10 m/s2)
d) Quelle est son énergie cinétique à mi-distance sur le plan incliné ?
e) Combien lui faut-il de temps pour monter et redescendre complètement la pente ?
f) Si la masse est remplacée par une bille qui aborde la pente en roulant sans glisser avec
la même vitesse, la bille remonterait-elle la pente sur la même distance ? Justifiez
votre réponse.
Réponses : a) 10 m/s ; b) 2,5 J ; c) 10 m ; d) 1,25 J ; e) 4 s
2. Un joueur de golf tape sur une balle de golf de 45 g.
a) En supposant que la balle parte sous un angle de 45° avec l'horizontale, quelle doit
être la vitesse initiale pour que la balle ait une portée de 180 m ? (g = 10 m/s2)
b) Quelle hauteur atteindra la balle ?
c) Quelle est l'énergie cinétique en ce point ?
d) Quelle est l'énergie potentielle en ce point ?
e) Si le temps de collision de la canne de golf sur la balle dure 0,001 sec., quelle est la
force moyenne que la canne doit exercer sur la balle ?
Réponses : a) 42,4 m/s ; b) 45 m ; c) 20,25 J ; d) 20,25 J ; e) 1 908 N
3. Un objet de 3 kg tombe d'une hauteur de 20 m. (g = 10 m/s2)
a) Quelle est la force avec laquelle la terre attire cet objet vers elle ?
b) Appliquez à cette situation la loi de l'action et de la réaction.
c) Que vaut l'énergie cinétique de l'objet lorsque, dans sa chute, il a atteint une hauteur
de 10 mètres ?
d) Si le temps d'arrêt lors du contact avec le sol dure 0,1 seconde, quelle est la
décélération subie par l'objet ?
e) Que vaut l'impulsion communiquée à la terre au moment du contact ?
Réponses :
a) 30 N ; c) 300 J ; d) 200 m/s2 ; e) 60 N.s
135
4.
Sur un sol horizontal sans frottement, on a
F
deux masses. On exerce une force de 5 N
pendant 10 secondes sur la masse de 2 kg.
2 kg
1 kg
Ensuite, on la lâche et après 5 s, elle fait une
collision élastique avec la masse de 1 kg
primitivement au repos.
a) Quelle est la vitesse de la masse de 2 kg juste avant le choc ?
b) Quelle est la vitesse que prend la masse de 1 kg après le choc ?
Réponses : a) 25 m/s ; b) 33,3 m/s
5.
masse 1
masse 2
200 g
50 cm/s
150 cm/s
100 g
Une masse de 200 g animée d'une vitesse de 150 cm/s entre en collision élastique frontale
avec une masse de 100 g animée d'une vitesse de 50 cm/s.
a) Quelle est la quantité de mouvement totale avant le choc ?
b) Quelle est l'énergie cinétique totale avant le choc ?
c) Quelle est la vitesse de la masse 1 après le choc ?
d) Cette vitesse est-elle dirigée vers la gauche ou vers la droite ?
e) Quelle est la vitesse de la masse 2 après le choc ?
f) Cette vitesse est-elle dirigée vers la gauche ou vers la droite ? On suppose que les
mouvements se font sans aucun frottement.
Réponses : a) 0,25 kg.m/s ; b) 0,2375 J ; c) 0,167 m/s ; d) droite ; e) 2,167 m/s ;
f) droite.
6.
Un pendule simple est constitué d'un fil de 1
m de long et d'une masse ponctuelle de 100
grammes. Il est lâché sans vitesse initiale
1m
100 g
20 cm
100 g
d'une hauteur de 20 cm au-dessus de la
position d'équilibre 0. (g = 10 m/s2)
a) Quelle est sa vitesse à la position 0 ?
0
b) En 0, il heurte une masse au repos de 100 grammes se trouvant sur un plan horizontal.
Si le choc est élastique et frontal, quelle vitesse prend cette masse après le choc ?
c) Si la masse frotte sur un plan horizontal avec un coefficient de frottement P = 0,5,
quelle distance va parcourir cette masse ?
136
Réponses : a) 2 m/s ; b) 2 m/s ; c) 0,4 m.
7.
Une balle de 500 g est lancée obliquement vers
10 m/s
Mur
60°
1m
le haut à partir d'une hauteur de 1 m sous un
angle de 60° par rapport à l'horizontale. (g = 9,8
m/s2)
a) A quelle hauteur du sol, cette balle va-t-elle
frapper un mur vertical qui se trouve à 5 m du
point de lancement ?
b) Quelle est la vitesse à cet endroit (en grandeur
et direction) ?
c) Quelle est son énergie cinétique lorsqu'elle
5m
atteint le point le plus haut de sa trajectoire ?
d) Si la balle rebondit d'un choc parfaitement élastique, à quelle distance du mur se
trouvera-t-elle lorsqu'elle touche le sol ?
Réponses : a) y = 4,76 m ; b) v = 5,13 m/s, 12,8° avec l'horizontale ; c) Ek = 6,25 J ;
d) x = 4,38 m (g = 9,8 m/s2).
8. Une boule B1 de masse m1 = 2 kg animée d'une vitesse v1 = 2 m/s heurte une autre
boule B2 de masse m2 au repos.
a) Le choc est d'abord supposé élastique. Après le choc, la boule B1 continue à se
v
déplacer dans sa direction initiale mais avec une vitesse v'1 = 1 . Calculez la vitesse
4
après le choc de la boule B2 et la masse de celle-ci.
b) Si les deux boules B1 et B2 étaient restées collées après le choc, quels auraient été la
direction et le module de leur vitesse après le choc ? La masse m2 est celle trouvée
dans a).
Réponses : a) v2 = 2,5 m/s et m2 = 1,2 kg ; b) v2 = 1,25 m/s dans le même sens.
9.
m
M
h
Un révolver braqué à l'horizontale tire une balle de
masse m = 15 g qui pénètre dans un bloc de masse
M = 3 kg, suspendu à une longue corde.
L'ensemble oscille sous l'effet du choc et atteint un
déplacement vertical h = 10 cm.
Trouvez la vitesse initiale de la balle.
137
Réponses : Voir exercice 7, (p. 88) ; ici, l'énergie cinétique se transforme en énergie
potentielle (m + M) gh.
La vitesse de l'ensemble balle-bloc vaut ~ 1,4 m/s et la vitesse initiale de la balle 284 m/s.
(g = 10 m/s2)
138
4. PHENOMENES PERIODIQUES
A) MOUVEMENTS OSCILLATOIRES HARMONIQUES
A1) EXERCICES RESOLUS
1.
Faites le graphe de l'élongation en fonction du temps pour un mouvement oscillatoire
harmonique dont la période est 8 secondes et l'amplitude 4 cm :
a) la constante de phase = 0
S
b) la constante de phase =
2
c) la constante de phase = S
Pour l'échelle du temps, on prendra 1 cm = 1 s.
Solution :
a) x = 4 cos
2S .t
8
139
b) x = 4 cos (
2S .t S
+ )
8
2
Il y a une avance de phase de
S;
2
à une avance de phase de 2 S
correspondrait une avance de
temps d'une période T ; à une
S
corresavance de phase de
2
pond une avance de temps de
T.
T . S
=
2S 2
4
La courbe a) doit être décalée de
T
= 2s en avance, c-à-d vers la
4
gauche sur l'axe des temps. Pour
plus de facilité on peut plutôt
décaler l'origine des temps de 2 s
vers la droite.
2S .t
c) x = 4 cos (
+ S)
8
L'avance de phase de S correspond à une avance de temps de
T
T
.S =
= 4 s.
2S
2
2.
Ecrivez l'équation de l'élongation en fonction du temps d'une vibration de 4 cm
d'amplitude, de 2,5 Hz de fréquence sachant que l'élongation initiale est - 2 cm. Faites-en
la représentation graphique.
Solution :
Z = 2 Sf = 5 S
x = 4 cos (5 St + H)
Au temps t = 0, x = 4 cos H = - 2
140
cos H = x = 4 cos (5 St ±
3.
2S
)
3
1
d'où
2
H = ±
2S
3
Un mouvement oscillatoire harmonique a une amplitude de 15 cm et une fréquence de 4
Hz.
a) Quelle est la valeur maximum de la vitesse de ce mouvement ?
b) Quelle est la valeur maximum de son accélération ?
c) Lorsque l'élongation vaut 9 cm, quelle est l'accélération ?
Solution :
a) Dans un mouvement oscillatoire harmonique d'équation x = A cos (Zt + H),
v = - A Z sin (Zt + H) et la valeur maximum de la vitesse est
AZ = A . 2Sf = 15 . 2S . 4 = 377 cm/s
b) a = - AZ2 cos (Zt + H) et la valeur maximum de l'accélération est
AZ2 = 15 (2S . 4)2 = 9 475 cm/s2
c) a = - Z2x
= - (2S . 4)2 . 9 = - 5 685 cm/s2
141
Le signe négatif indique que le vecteur accélération est dirigé en sens inverse
du sens positif de l'élongation.
4.
Un point matériel est animé d'un mouvement oscillatoire harmonique rectiligne
horizontal. Ce mouvement a une période 6 s et est défini par x = A sin Zt.
Au temps t = 0,5 s la vitesse est S cm/s.
a) Quelle est la valeur de l'amplitude ?
b) Quelle est l'accélération du point lorsque son élongation est 0,5 cm ?
Solution :
2S
S
=
T
3
dx
= AZ cos Zt
v =
dt
a) Z =
Au temps t = 0,5 s
S = A
S
S
cos ( . 0,5)
3
3
S
. 0,5) = 0,87 on a A = 3,45 cm
3
b) L'accélération a = - Z2 x
S2
0,5 = - 0,55 cm/s2
= 9
Comme cos (
Une masse de 2 kg, suspendue à un ressort, effectue un mouvement oscillatoire
harmonique. Elle est soumise à une force égale à 8 fois l'élongation mais de sens opposé.
Force et élongation sont mesurées en unités SI.
Quelle est la période de ce mouvement oscillatoire ?
Solution : La force de rappel F = - kx est ici F = - 8x, donc k = 8 N/m.
La période du mouvement oscillatoire est
m
2
= 2S
= S = 3,14 s
T = 2S
k
8
5.
Quelle est la période d'un pendule simple de 1 m de long ?
Solution : T = 2 S
l
= 2S
g
1
= 2s
9,8
6. Quelle doit être la longueur d'un pendule dont la période est 4 fois plus petite que celle du
problème précédent ?
142
Solution : La période est proportionnelle à la racine carrée de la longueur, ou la longueur
est proportionnelle au carré de la période. Donc, si la période est 4 fois plus petite, la
1
m = 6,25 cm.
longueur doit être 16 fois plus petite, c-à-d
16
7. Un pendule simple a 1 m de long et sa masse est 100 g. A son élongation maximale, la
masse se trouve 5 cm plus haut qu'à sa position d'équilibre. Quelle est son énergie
cinétique au moment du passage par la position d'équilibre ? Quelle est la vitesse de la
masse au moment du passage par la position d'équilibre ?
Solution : L'énergie cinétique au passage par la position d'équilibre égale l'énergie
potentielle à l'élongation maximale, donc
Ek = mgh = 0,1 . 9,8 . 0,05 = 0,049 J
1
2.0,049
Si 2 m v2 = 0,049,
v2 =
= 0,98
0,1
et v = 0,985 m/s.
8.
Une masse ponctuelle de 10 grammes se meut sur une droite horizontale avec un
mouvement oscillatoire harmonique de 24 cm d'amplitude et 4 s de période.
Au temps t = 0, l'élongation est 24 cm.
a) Quelle est l'élongation après une demi-seconde ?
b) Quelle est la force exercée sur la masse après une demi-seconde ?
c) Quelle est la vitesse de la masse lorsqu'elle a une élongation de - 12 cm ?
d) Quelle est l'accélération de la masse lorsqu'elle a une élongation de - 12 cm ?
Solution : L'équation de ce mouvement est
x = A cos (Zt + H)
2S
S
=
où Z =
T
2
S
d'où x = 24 cos ( .t + H)
2
Au temps t = 0, 24 = 24 cos H
cosH = 1 d'où H = 0
et
a)
x = 24 cos
S
t
2
Au temps t = 0,5, x = 24 cos
b) F = ma
S
= 17 cm
4
= - mZ2 x
= - 0,01 .
S2
. 0,17 = - 4,2 . 10-3 N
4
143
Le signe négatif indique que le vecteur force est dirigé en sens inverse de l'axe des
c)
élongations.
dx
S
S
= - 24 sin t
v =
dt
2
2
Pour déterminer le temps on sait que
S
x = - 12 = 24 cos t
2
1
S
t = -2
cos
2
2S
4S
S
t =
ou
3
3
2
8
4
t = 3 s ou 3 s
S
S 4
sin
= - 32,6 cm/s
v = - 24
23
2
ou
S
S8
sin
= + 32,6 cm/s
23
2
Lorsque la masse a une élongation de - 12 cm elle peut se diriger vers la gauche ou
vers la droite et avoir une vitesse dans un sens ou dans l'autre.
d) a = - Z2 x
S2
(- 12) = + 30 cm/s2
= 4
L'accélération est dirigée dans le sens des élongations positives.
v = - 24
9.
Un ressort est soumis à un mouvement oscillatoire harmonique ; sa raideur est k = 40 N/m et la
masse fixée à son extrémité est m = 100 grammes.
Au temps t = 0, l'élongation est de 3,5 cm et la vitesse de la masse est 70 cm/s dirigée vers la
position d'équilibre.
Ecrivez l'équation de ce mouvement.
Solution :
0
3,5 cm
x
t = 0
v = 70 cm/s
Z =
k
=
m
40
= 20 Hz
0,1
x = A cos (Zt + H)
v = - AZ sin (Zt + H)
au temps t = 0
3,5 . 10-2 = A cos H
(1)
144
- 70 . 10-2 = - A . 20 sin H
(2)
En divisant, membre par membre, les deux expressions précédentes, on trouve
la valeur de H :
70
70
sin H
= 20
d'où tg H = 3,5 . 20 = 1
cos H
3,5
Les expressions (1) et (2) exigent que sin H et cos H soient positifs, donc
S
4
H =
A =
3,5.10 2
cos
S
= 5 . 10-2 m
4
x = 5 . 10-2 cos (20 t +
S
)
4
145
A2) EXERCICES NON RESOLUS
1. L'équation d'une vibration est x = 3 . sin (2t + 4)
Quelles sont les dimensions de 3 ?
Quelles sont les dimensions de 2 ?
Quelles sont les dimensions de 4 ?
Quelle est la période ?
Quelle est la phase ?
Faites le graphe de x en fonction de t pour cette vibration, en graduant les axes.
Réponses : L ; T-1 ; pas de dimensions ; 3,14 s ; 2t + 4
2. Une particule animée d'un mouvement oscillatoire harmonique passe par sa position
d'équilibre avec une vitesse de 2 m/s ; à sa position extrême, l'accélération est 4 000
m/s2. Quelle est sa fréquence ? Quelle est l'équation de l'élongation en fonction du temps
sachant que au temps t = 0, cette élongation est 0,5 mm ?
Réponses : 318 Hz ; x = cos (2 000 t ±
S
) en mm.
3
3. Une particule de 1 gramme a un mouvement harmonique de 2 mm d'amplitude.
A l'élongation maximum, l'accélération est 8 000 m/s2.
a) Quelle est la fréquence de cette vibration ?
b) Quelle est la vitesse de la particule au moment où l'élongation est 1,2 mm ?
Réponses : a) 318 Hz ; b) ± 3,2 m/s
4.
Une masse de 5 kg est suspendue à un ressort dont la raideur est k = 125 N/m.
L'amplitude de la vibration est 25 cm. Au temps t = 0, on laisse partir la masse de sa
position extrême.
a) Quelle est la période d'oscillation ?
b) Quelle est la vitesse quand la masse passe par la position d'équilibre ?
c) Quelle est l'équation de la vibration ?
Réponses : a) 1,25 s ; b) 1,25 m/s ; c) x = 0,25 cos 5 t ou x = 0,25 sin (5t +
S
)
2
146
5. Une force de 10 N allonge un ressort de 2 cm.
Quelle masse faut-il suspendre à ce ressort pour avoir une période propre de vibration de
0,5 s ?
Ecrivez l'équation de ce mouvement oscillatoire sachant que l'amplitude est 5 cm et que
la masse passe par sa position d'équilibre au temps t = 0.
Réponses : 3,17 kg, x = 5 cos (4 St ±
S
)
2
ou x = 5 sin (4 St)
ou x = 5 sin (4St + S)
6.
Une masse de 5 kg accrochée à un ressort effectue un mouvement harmonique simple
non amorti dont l'élongation évolue comme indiqué sur le graphe ci-dessous :
a) Donnez l'équation de la courbe en utilisant un cosinus.
b)
Complétez le dessin ci-dessus en ajoutant la position d'équilibre et les vecteurs
élongation, vitesse et accélération à l'instant initial.
c) Que valent à cet instant, l'accélération et l'énergie totale mécanique ?
d) Que vaut la raideur du ressort ?
e) Dessinez l'allure de la courbe donnant l'énergie cinétique en fonction de l'élongation,
en graduant les axes.
Solution :
a) x = A cos (Zt + H)
Une lecture attentive du graphe révèle que :
147
1) l'amplitude du mouvement vaut 0,1 m
2) la période est de 2 s (l'intervalle de temps entre le maximum et le minimum de la
T
courbe, , est de 1 s)
2
3) la constante de phase vaut - 120°. En effet, le maximum de la courbe n'apparaît
6
s (attention, sur l'axe des temps, 1 s est divisée en 9
pas à t = 0 mais à t =
9
parties égales, chacune correspondant en fait à 20° !). Ce décalage de la courbe
6
6 T 6
2
.s =
. i
S = S ou
vers la droite signifie un retard de phase de 120° :
9
9 2 9
3
120°.
2S
= S
Z =
T
x = 0,1 cos (St - 120°)
b)
c) et d) a = - AZ2 cos (Zt + H) = - 0,1 S2 cos (- 120°) = 0,5 m/s2
ou a = -Z2x = - S2 . (- 0,05) = + 0,5 m/s2
m
, d'où k = 50 N/m
T = 2S
k
1
1
Etot = kA2 = . 50 . 0,12 = 0,25 J
2
2
e)
148
7.
Quand on dépose un corps de 1 kg
sur un ressort, celui-ci se comprime
de 1,25 cm. De combien se
comprimera-t-il quand on laisse
tomber le corps de 20 cm de haut ?
On néglige tout frottement.
Solution :
F
10
= 800 N/m.
k = x =
1,25.10 2
Par rapport à la position finale : Epot. pesanteur = mgh = 1 . 10 (0,2 + x)
800 2
kx 2
=
x = 400 x2
Epot. élastique =
2
2
400 x2 = 10 (0,2 + x)
400 x2 - 10 x - 2 = 0 d'où x = 0,084 m
(la solution négative est à rejeter).
8.
Une masse de 500 g exécute un mouvement oscillatoire harmonique horizontal dont la
période est 0,5 s et dont l'énergie totale est 5 J.
a) Quelle est son amplitude ? Quelle est la vitesse maximum ? Quelle est l'accélération
maximum ?
b) Quelle est son énergie potentielle lorsque la vitesse vaut la moitié de la vitesse
maximum ?
Réponses : a) 36 cm, 4,5 m/s, 56,8 m/s2 ; b) 3,75 J
9. Un oscillateur harmonique a une masse de 500 g et possède une énergie potentielle de 4 J
au moment de passer par sa position extrême.
Son amplitude est 20 cm. Quelle est sa période ?
Réponse : 0,314 s
10. Une masse de 3 kg est attachée à un ressort dont la raideur k est 500 N/m. L'ensemble a
un mouvement oscillatoire harmonique dont l'énergie cinétique maximum vaut 5 J.
Quelle est la période d'oscillation ?
Quelle est l'amplitude de l'oscillation ?
Quelle est la force maximum qu'exerce le ressort ?
149
Réponses : 0,48 s ; 14 cm ; 70 N
11. Un point matériel dont la masse est 2 kg exécute un mouvement oscillatoire harmonique.
A l'extrémité de sa course, son accélération est a = 20 m/s2 et son énergie potentielle
est 100 J. D'autre part, au temps t = 0, son élongation est x = 2,5 m.
a) Quelle est la vitesse maximum de ce point ?
b) Donnez l'équation de ce mouvement, c-à-d la relation donnant l'élongation en fonction
du temps.
c) Quelle est la vitesse initiale de ce point ?
Réponses : a) 10 m/s ; b) x = 5 cos (2t ±
S
) ; c) ± 8,7 m/s.
3
12. Une masse de 4 kg est suspendue à un ressort dont la constante de raideur est k = 64
N/m. L'amplitude de vibration est 20 cm. Au temps t = 0, on laisse partir la masse de sa
position extrême.
a) Quelle est la période d'oscillation ?
b) Quelle est la vitesse quand la masse passe par sa position d'équilibre ?
c) Quelle est l'équation de la vibration ?
d) Quelle est l'énergie potentielle lors de la position extrême ?
Réponses : a) 1,57 s ; b) 0,8 m/s ; c) x = 0,2 cos 4 t ; d) 1,28 J
13. Une masse de 2 kg est suspendue à un ressort dont la raideur est k = 32 N/m. L'amplitude
est 15 cm. Au temps t = 0, on laisse partir la masse de sa position extrême.
- Quelle est la période de l'oscillation ?
- Quelle est la vitesse quand la masse passe par la position d'équilibre ?
- Quelle est l'énergie potentielle lors de la position extrême et quelle est l'énergie
cinétique
de cette position ?
Reponses : 1,57 s ; 60 cm/s ; 0,36 J ; 0 J
14. Une masse de 2 kg allonge un ressort de 10 cm lorsqu'il est à l'équilibre à la verticale
(g = 10 m/s2). On dispose ensuite la masse et le ressort sur une table horizontale sans
frottement, en fixant l'autre extrémité du ressort. En écartant la masse de 5 cm par
rapport au point d'équilibre, on le lâche au temps t = 0.
Quelle est la constante de raideur du ressort ?
Quelle est la période du mouvement ?
150
Quelle est la pulsation du mouvement ?
Quelle est l'équation du mouvement ?
Quelle est la vitesse maximum et à quel endroit est-elle maximum ?
Réponses : 200 N/m ;
S
s ; 10 Hz ; x = 5 cos 10 t ; 50 cm/s
5
15. Une particule de masse m se déplace le long d'un axe des x sous l'action d'une force
F = -kx. Lorsque t = 1 s, l'élongation de la particule est 2 cm ; lorsque t = 3 s, sa
vitesse est nulle.
Trouvez l'équation de ce mouvement dont la période d'oscillation est 16 s.
Si la masse m = 1 kg, que vaut le coefficient k dans F = -kx ?
Réponses : x = 2 cos (
3S
S
t ) ; 0,156 N/m
8
8
16. Dans un mouvement oscillatoire harmonique rectiligne de fréquence 3 Hz, une masse
ponctuelle de 10 g attachée à un ressort passe par sa position d'équilibre vers les x
positifs avec une vitesse de 5 cm/s au temps t = 0.
a) A quel instant la vitesse s'annule-t-elle pour la première fois ?
b) Que vaut l'accélération à cet instant ?
c) Quelle est l'équation du mouvement ? Utilisez un cosinus.
d) Que vaut l'énergie potentielle maximum ?
Réponses : a) 1/12 s ; b) 30 S cm/s2 ; c) x =
5
S
cos (6 St - )
6S
2
17. Un ressort à l'extrémite duquel est fixée une masse de 200 grammes est soumis à un
mouvement harmonique horizontal dont la pulsation Z est 5 Hz.
L'énergie potentielle maximum est 0,025 J. Au temps t = 0 l'élongation est 7 cm.
On donne sin 30° = cos 60° = 0,5 ; sin 60° = cos 30° = 0,87 ; sin 45° = cos 45° = 0,7.
a) Ecrivez l'équation du mouvement.
b) Pour quelle élongation l'énergie cinétique est-elle maximum et que vaut-elle ?
c) Quelle est la vitesse lorsque l'élongation vaut 6 cm ?
Reponses : a) x = 0,1 cos (5t ±
S
) ; b) 0,025 J pour x = 0 ; c) 0,4 m/s.
4
151
18.
Une masse de 2 kg située à 50 cm tombe sur un ressort dont la
raideur vaut 250 N/m. (g = 9,8 m/s2)
a) De combien de cm le ressort va-t-il se comprimer ?
b) Quelle sera la période d'oscillation ?
Réponses : a) 0,369 m ; b) 0,562 s
152
B) ONDES SINUSOÏDALES
B1) EXERCICES RESOLUS
1. La vitesse du son dans l'air à 15°C est 340 m/s. Quelle est la longueur d'onde d'un son
dont la fréquence est 440 Hz ?
Solution : c = O . f
2.
d'où
340
c
=
= 0,77 m
440
f
O =
Le 3ème programme de la RTBF est émis sur une fréquence de 96,1 MHz. Les ondes
radio se propagent à la vitesse de 300 000 km/s. Quelle est la longueur d'onde
correspondante ?
Solution : 1 MHz (mégahertz) = 106 Hz
3.10 8
c
=
= 3,12 m
O =
f
96,1.10 6
3.
A la surface d'un étang on crée des ondes d'une demi-seconde de période ; la distance
entre deux creux consécutifs est 20 cm. Quelle est la vitesse de propagation de ces ondes
?
Solution :
4.
1
s
2
1
= 2 Hz
Fréquence
: f =
T
Longueur d'onde
: O = 20 cm
Vitesse de propagation : c = O . f = 40 cm/s
Période
: T =
Une onde a les caractéristiques suivantes :
amplitude : 2 cm ; fréquence : 250 Hz ; vitesse de propagation : 330 m/s.
Ecrivez l'équation générale de cette onde.
Solution : x = A cos 2S (
où
1
= 250
T
330
et O = c . T = 250
t y
- )
T O
= 1,32 m
153
d'où x = 0,02 cos 2S (250 t -
5.
y
)
1,32
L'équation d'une onde progressive, en unités S I, est
20S . y
)
x = 10-4 . sin (200 St 17
a) quelle est la fréquence de l'onde ?
b) quelle est la longueur d'onde ?
c) quelle est la célérité de l'onde ?
d) quelle est la différence de phase entre les vibrations de deux points situés
respectivement à 25 cm et 1,10 m de la source de vibration ?
Solution :
a) Comparons l'équation donnée avec l'équation générale
2S .t 2S . y
)
x = A sin (
O
T
2S .t
= 2 S f t = 200 St
T
f = 100 Hz
2S . y 20S . y
b)
17
O
O = 1,7 m
c) c = Of = 170 m/s
20.S .1,10 20.S .0,25
20.S .0,85
=
= S
d)
17
17
17
6.
Une onde a une fréquence de 500 Hz et une célérité de 350 m/s.
a) Ecrivez l'équation de l'onde progressive sachant que l'amplitude est 2 cm.
b) Quelle est la distance séparant deux points déphasés de 60° au même instant ?
c) Quelle est la différence de phase entre deux élongations d'un même point
correspondant à un intervalle de temps d'une milliseconde ?
c
350
= 0,7 m
O = f =
500
y
t
y
) = 0,02 cos 2 S(500 t - 0,7 )
x = A cos 2 S(T O
0,7
2S . y
S
O
= 60° =
; y =
= 6 = 0,117 m
b)
O
3
6
2S .t
= 2 S. 500 . 10-3 = S ou 180°
c)
T
Solution : a)
154
7.
Un point est soumis à deux vibrations de même période et de même direction :
S
S
x1 = 2 . cos (Zt - ) et x2 = 3 . cos (Zt + )
6
3
Calculez l'amplitude résultante. Faites la représentation graphique de ces deux vibrations
et de leur résultante.
Solution :
Les deux vibrations ont même période.
2
2
A2 = A1 + A2 + 2 A1A2 cos (H1 - H2)
S
S
= 4 + 9 + 2 . 2 . 3 . cos ( +
)
3
6
S
= 4 + 9 + 12 . cos
2
= 13
A = 13 = 3,6
Pour les représentations graphiques, on remarque que la première vibration, pour t = 0, a
S
un retard de = 30°, soit un douzième de période. La deuxième vibration, pour t = 0, a
6
S
= 60°, soit un sixième de période. Une vibration résultante se
une avance de phase de
3
trouve en additionnant les ordonnées en différents points.
155
8.
Quelle est la période des battements
et T2 = 0,0021 s ?
T1 = 0,002 s
entre
deux
sons
de
période
Solution : La fréquence des battements est égale à la différence des fréquences des deux
sons.
T1
T2
f
T
9.
2
s
d'où
1000
21
=
s
d'où
10000
= 500 - 476 = 24 Hz
1
= 0,0416 s
=
24
=
f1
=
f2
=
1000
= 500 Hz
2
10000
= 476 Hz
21
A partir de deux points de la surface d'une eau tranquille on produit deux ondes
synchrones de fréquence 1,5 Hz. La célérité de l'onde est 60 cm/s. Quel est l'état
vibratoire d'un point situé à 60 cm d'une des sources et à 80 cm de l'autre ?
Solution :
La longueur d'onde est :
c
60
=
= 40 cm
O =
1,5
f
La différence de marche des deux ondes est 80 - 60 = 20 cm, soit une demi-longueur
d'onde. Les vibrations sont en opposition de phase et le point est immobile.
10. Calculez la distance de deux noeuds consécutifs dans un système d'ondes stationnaires
produites par des vibrations de 1 140 Hz qui se propagent à la vitesse de 342 m/s.
Solution : Deux noeuds consécutifs sont distants d'une demi-longueur d'onde.
342
c
=
= 0,30 m
Or O =
1140
f
La distance entre deux noeuds consécutifs est 15 cm.
11. On produit des ondes stationnaires sur une corde de 81 cm de long et dont les deux
extrémités sont fixes. Entre ces extrémités il y a deux noeuds. Quelle est la vitesse de
propagation des ondes dans la corde, sachant qu'elle vibre à la fréquence de 50 Hz ?
Solution : La distance entre deux noeuds consécutifs est
d'onde est 54 cm.
c = O . f = 54 . 50 = 2 700 cm/s = 27 m/s.
81
= 27 cm ; la longueur
3
156
12. Une source sonore émet un son de fréquence et d'intensité constantes en face d'une paroi
fixe. On observe des minima d'intensité tous les 20 cm entre la paroi et la source. La
célérité du son est 340 m/s. Quelle est la fréquence du son émis ? Quelle est l'équation de
l'onde incidente sachant que l'amplitude est 1 cm ?
Solution : Les minima d'intensité correspondent à des noeuds de l'onde stationnaire. La
distance entre deux noeuds consécutifs, soit 20 cm, est une demi-longueur d'onde, d'où
O = 40 cm et la fréquence
c
340
=
= 850 Hz.
f =
O
0,4
L'équation de l'onde incidente est
en SI,
13.
x
= A cos (2Sft -
x
= cos (1 700 St -
2S . y
O
S .y
0,2
)
)
Deux sources synchrones de vibration S et
S' distantes de 12 cm vibrent suivant
l'équation x = 2 sin 20 St.
Si la célérité des ondes émises est 30 cm/s,
quelle est la fréquence de vibration et quelle
est la longueur d'onde ?
Quelle est l'amplitude de vibration d'un
point M situé à 7 cm de S et à 11 cm de S' ?
Quelle est l'amplitude de vibration d'un
point P situé sur la droite SS', à 4,5 cm de S'
?
Solution : D'après l'équation de la vibration,
Z = 2Sf = 20 S d'où f = 10 Hz
30
c
et
O = f = 10 = 3 cm
Les deux vibrations qui se superposent en M ont pour équation
2S .7
)
x1 = 2 sin (20 St 3
2S .11
)
x2 = 2 sin (20 St 3
8S
2S
2S
(11 7) =
= 2S+
La différence de phase est
3
3
3
L'amplitude résultante est donnée par
157
A2 = 22 + 22 + 2 . 2 . 2 cos
= 4 + 4 - 2.2.2.
d'où
A
2S
3
1
= 4
2
= 2 cm
Le point P est à 4,5 cm de S' et à 7,5 cm de S.
La différence de marche est 3 cm, c-à-d une longueur d'onde.
L'amplitude en P est maximum : c'est la somme des deux amplitudes.
A = 2 + 2 = 4 cm.
14.
1m
A
P
B
fixe
1,35 m
Une corde AB a 1,35 m de long. L'extrémité B est fixe. On fait vibrer le point A à la
fréquence de 10 Hz avec une amplitude de 4 cm. La célérité de l'onde dans la corde est 6
m/s. Au temps t = 0, l'élongation de A est 4 cm.
a) Ecrivez l'équation de l'élongation du point A en fonction du temps (avec les valeurs
numériques).
b) Ecrivez l'équation de l'onde incidente en fonction du temps et de l'espace (avec les
valeurs numériques).
c) Si P est situé à 1 m de A, quelle est, au temps t = 0,5 s, l'élongation en P de l'onde
incidente ?
d) Au même temps t = 0,5 s, quelle est l'élongation en P de l'onde réfléchie ?
e) Au même temps t = 0,5 s, quelle est l'élongation en P de l'onde résultante ?
f) Combien de ventres y a-t-il entre A et B ? Expliquez.
Solution :
6
c
=
= 0,6 m
a) O =
10
f
Z = 2 Sf = 20 S Hz ; H = 0
En SI : x = 0,04 cos (20 St)
2S . y
)
b) x = 0,04 cos (20St 0,6
y
10
)
c) x = 0,04 cos 2S (10 t - 0,6 ) = 0,04 cos 2S (5 6
20
1
2S
) = 0,04 cos 2S (3 + ) = 0,04 cos
= - 0,02 m
= 0,04 cos (2 S .
6
3
3
158
O
= 2m
2
20
10
2
) = 0,04 cos (2 S .
) = 0,04 cos 2 S = - 0,02 m
x = 0,04 cos 2S (5 6
6
3
e) x = - 0,02 - 0,02 = - 0,04 m
f) 4
V
V N
V
V
V
d) y = 1,35 + 0,35 +
0
15.
0,3
0,6
0,9
1,2 O = 0,15 m
/4
Une onde harmonique se propage le long
d'une corde. Le dessin ci-contre donne la
forme de la corde aux temps t = 0 et
t = 0,2 s.
a) Quelle est la fréquence de l'onde ?
b) Quelle est la célérité ?
c) Quelle est l'équation de l'onde ?
d) Déduisez-en l'équation de la vitesse de
vibration des points de la corde en fonction du temps et de la distance.
e) Calculez la vitesse pour y = 0 à t = 0,2
s.
Solution :
a) les dessins à t = 0 et t = 0,2 s révèlent que la période T = 0,8 s et donc que f = 1,25
Hz
b) ils fournissent également la longueur d'onde O = 6,4 m, donc c = O.f = 8 m/s
t
y
), puisque pour t = 0 et y = 0, x = - 0,1 m.
c) x = - 0,1 cos 2 S (
0,8 6,4
wx
2S
t
y
S
t
y
= 0,1 .
d) v =
sin 2S (
)
sin 2S (
)
wt
0,8
0,8 6,4
4
0,8 6,4
S
S
S
sin
=
= 0,785 m/s
e) v =
4
2
4
2S
S
=
m/s.
ou v = A Z = 0,1
0,8
4
16. Un faisceau de lumière monochromatique (O = 632,8 nm) est
perpendiculairement vers un réseau de diffraction contenant 6 000 traits/cm.
a) Déterminez les angles pour lesquels on observe une intensité maximale.
envoyé
159
b) Faites un dessin schématique du réseau, de la lumière et des angles.
Solution :
n.O
1
avec d =
cm = 1 666,7 nm
6000
d
n = 0, T = 0°
n = 1, T = 22,31°
n = 2, T = 49,41°
n = 3, sin T > 1
a) sin T =
avec
avec
avec
avec
b)
49,41°
22,31°
0°
22,31°
49,41°
17. Une distance de 3 m sépare deux haut-parleurs branchés au même oscillateur. Un
auditeur, initialement au point 0, à 8 m sur la ligne médiane, avance perpendiculairement
à cette ligne. Il atteint le premier minimum d'intensité sonore à 0,35 m de son point de
départ.
Calculez la fréquence de l'oscillateur.
P
0,35 m
8m
3m
0
Solution :
r1 =
8 2 1,15 2 = 8,082 m
r2 =
8 2 1,85 2 = 8,211 m
r2 - r1 = 0,129 m =
O
=> O = 0,258 m
2
160
f =
1,15 m
340
= 1 317,8 Hz
0,258
r1
P
0,35 m
8m
3m
0
r2
161
B2) EXERCICES NON RESOLUS
1. Deux diapasons identiques ont une fréquence de 256 Hz. Sur l'un d'eux, on fixe une
petite surcharge telle qu'il y ait 6 battements par seconde lorsqu'on les entend ensemble.
Quelle est la période du diapason surchargé ?
Réponse : 0,004 s
2. Un point d'une corde de 4 m de long est agité à la cadence de 2 vibrations par seconde ;
il se forme alors un noeud à chacune des extrémités et 4 noeuds intermédiaires. Quelle
est la célérité des ondes dans cette corde ?
Réponse : 3,2 m/s.
3. Les tremblements de terre engendrent des ondes de différentes natures à l’intérieur de la
Terre. Dans un modèle simplifié, la Terre est parcourue à la fois par des ondes transversales,
notées S, et par des ondes longitudinales, notées P. Les ondes P et S ont des célérités
différentes considérées comme constantes : vs = 4,5 km/s et vp = 8 km/s. Un sismographe
enregistrant les ondes P et S provoquées par un séisme note que le premières ondes P arrivent
3 minutes avant les premières ondes S. Si on suppose que les ondes se propagent en ligne
droite, à quelle distance D du sismographe se situe l’épicentre du séisme ?
Réponse : 1851 km
4. Une onde harmonique simple se propage dans une corde à une célérité de 4 m/s. Les
graphes représentent les élongations en fonction du temps des points situés à y = 0 et y = 2
m sur la corde.
a) Quelles sont la fréquence et la longueur d'onde de cette onde ?
b) Dessinez la corde à t = 0 et à t = 0,5 s
162
c) Donnez l'équation de la corde avec la constante de phase adéquate.
d) Déduisez-en l'équation de la vitesse de vibration des points de la corde en fonction du
temps et de la distance.
t y
S
Réponses : a) T = 2 s, f = 0,5 Hz et O = 8 m ; c) x = 0,08 cos [ 2 S ( 2 - 8 ) + ]
2
y
t
S
d) v = - 0,08 S sin [ 2 S ( 2 - 8 ) + ]
2
5.
Un réseau comporte 500 traits par mm. On l'éclaire sous incidence normale en lumière
parallèle monochromatique : O = 500 nm.
a) Sous quel angle T observe-t-on la raie O avec n = 2 (ordre 2) ?
b) Quelle est la valeur maximum de n (ordre maximum) du spectre dans lequel il sera
possible d'observer cette raie ?
c) Serait-il possible d'observer une raie de O = 600 nm dans le spectre du même ordre ?
Réponses : a) T = 30° ; b) n ≤ 4 ; c) sin T = 1,2 donc impossible.
163
C2) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1.
La période d'un pendule simple est indépendante de sa masse.
2.
La période d'un pendule simple est indépendante de l'endroit où on l'utilise.
3.
La période d'un pendule simple au niveau de la mer est plus petite que sa période en
haute montagne.
4.
Dans un mouvement oscillatoire harmonique, si la force de rappel augmente, la période
diminue.
5.
Dans un pendule simple, à l'extrémité de sa course, l'accélération est nulle.
6.
Dans un pendule simple, au passage par la position d'équilibre, la vitesse change de
signe.
7.
Dans un mouvement oscillatoire harmonique, la vitesse du point vibrant est toujours plus
petite que la vitesse du point en rotation uniforme dont il est la projection.
8.
Dans un mouvement oscillatoire harmonique, si l'amplitude augmente, la période
augmente également.
9. Il y a battements lorsque deux sons d'amplitudes légèrement différentes interfèrent.
10. Dans une onde stationnaire, certains points sont toujours au repos.
11. Dans une onde stationnaire, la distance entre deux noeuds consécutifs est la longueur
d'onde.
12. L'onde stationnaire résulte de l'interférence de deux ondes voyageant en sens opposés.
13. La réflexion d'une onde s'accompagne toujours d'un changement de signe de l'élongation.
14. Dans une onde stationnaire, les points situés aux ventres atteignent tous leur élongation
maximum au même instant.
164
15. La superposition de deux oscillations sinusoïdales est encore une oscillation
sinusoïdale.
16. Quand on superpose deux mouvements oscillatoires de même fréquence, l'amplitude de
la résultante peut être inférieure à l'amplitude de chacune des deux oscillations.
17. Dans l'onde stationnaire, la distance entre deux ventres consécutifs égale une demilongueur d'onde.
Réponses :
1 V - 2 F - 3 V - 4 V - 5 F - 6 F - 7 F - 8 F - 9 F - 10 V - 11 F - 12 V 13 F - 14 V - 15 F - 16 V - 17 V
165
C) ONDES SONORES
C1) EXERCICES RESOLUS
1. Une source sonore émet une onde sphérique. A 20 cm de la source, l'intensité est 2 .10-8
W/m2. Quelle est son intensité à 10 cm de la source ? et à 40 cm ?
Solution : Pour une onde sphérique, l'intensité est inversement proportionnelle au carré de la
distance. A 10 cm de la source, c-à-d à une distance 2 fois plus petite, l'intensité est 4 fois plus
grande, soit 8 . 10-8 W/m2.
A 40 cm de la source, c-à-d à une distance 2 fois plus grande, l'intensité est 4 fois plus petite,
2
soit .10-8 = 0,5.10-8 = 5.10-9 W/m2.
4
2. A combien de décibels correspond un son dont l'intensité est 10-5 W/m2 ?
Solution : 10. log
10 5
= 10 log 107 = 70 dB
12
10
3. A combien de décibels correspond un son dont la pression acoustique est 2.10-2 Pa ?
2.10 2
= 20 log 103 = 60 dB
Solution : 20. log
5
2.10
4. Quelle est l'intensité d'un son de 100 dB ?
I
I
d'où log 12
12
10
10
I = 1010 . 10-12 = 10-2 W/m2
Solution : 100 = 10. log
10 et
I
10 12
1010
5. Par quel facteur multiplie-t-on l'intensité d'un son en l'augmentant de 20 dB ?
Solution : Il s'agit ici de dB relatifs et
I
I
20 = 10. log 2 d'où log 2
I1
I1
L'intensité est multipliée par 100.
2 et
I2
I1
10 2
100
166
6. A une certaine distance d'une source sonore émettant des ondes sphériques on perçoit une
intensité donnée. Si on se place dix fois plus loin de la source, quel est l'affaiblissement en dB
?
Solution : L'intensité d'une onde sphérique est inversement proportionnelle au carré de la
distance. A une distance dix fois plus grande, l'intensité est 100 fois plus faible. Donc
I2
1
10 2
I 1 100
I
et 10. log 2 = 10. log 10 2 - 20 dB
I1
7. Un son de 60 dB est amplifié de sorte que la pression acoustique est multipliée par 10.
Quelle est, après amplification, l'intensité en dB ? Et quelle est l'intensité en W/m2 ?
Solution :
L'amplification correspond à une augmentation de
p
20. log 2 = 20 log 10 = 20 dB
p1
Le son a une intensité de 80 dB.
I
80 = 10. log 12
10
I
= 108
10 12
I = 10-4 W/m2
8. Une machine produit un bruit dont le niveau sonore est 105 dB. On arrive à insonoriser de
manière à réduire l'intensité du bruit à 20 % de sa valeur initiale. Quel est le niveau sonore
après insonorisation ? (log 2 = 0,3).
Solution :
La variation du niveau sonore est
ndb = 10. log
I2
I1
car I2 =
10 log 0,2
20
.I1
100
2
= log 2 - log 10 = 0,3 – 1 = -0,7
10
La variation est donc de 10 (- 0,7) = - 7 dB, et le niveau est 105 - 7 = 98 dB
log 0,2 = log
167
9. Un son de 60 dB pénètre dans une fenêtre ouverte de 50 cm sur 2 m. Quelle est la
puissance acoustique qui pénètre à travers la fenêtre ?
Solution :
L'intensité est la puissance par unité de surface du front d'onde
I
I
60 dB = 10. log 12 d'où 12 10 6 et I = 10-6 W/m2
10
10
S = 1 m2
Puissance = I . S = 10-6 W.
10. Quel est le niveau sonore en dB d'un groupe de 32 personnes parlant ensemble, chacune
avec un niveau de 40 dB (log 2 = 0,3) ?
Solution :
L' intensité I est multipliée par 32 = 25.
Il y a augmentation de
I
10. log 2 10 log 25 = 50 log 2 = 15 dB
I1
Le niveau est donc 40 + 15 = 55 dB
11. Une source sonore émet une onde sphérique telle qu'à 5 mètres de la source le niveau
sonore est 50 dB. Quel est le niveau sonore à 20 mètres de la source ? (log 2 = 0,3)
Solution : A 20 m de la source, l'intensité est 42 = 16 fois plus petite.
Il y a diminution de
I
1
10. log 2 10. log
10 log 2-4 = - 12 dB
I1
16
Le niveau est 50 - 12 = 38 dB.
12. Un avion à réaction produit un bruit de 140 dB à 1 m de distance. A quelle distance doiton se placer pour ne plus entendre que 90 dB ?
Solution :
Il y a diminution de 50 dB
- 50 dB = 10. log
I2
I1
§x
10 = ¨¨ 1
© x2
-5
2
I2
I1
·
¸¸ , x1 et x2 étant les deux distances correspondant à I1 et I2.
¹
168
x1
x
10 5 ou 2
10 5
x2
x1
x2 = 315.x1 = 315 m.
10 2. 10 | 315
13. Debout sur le trottoir, vous percevez une fréquence de 510 Hz provenant de la sirène
d'une voiture de police qui approche.
Après le passage de la voiture, vous percevez le son de la sirène à une fréquence de 430 Hz.
Quelle était la vitesse de la voiture de police ?
Solution :
340
. f1
340 v
340
430 =
. f1
340 v
(1)
510 =
(1)
510
Ÿ
(2)
430
(2)
340 v
340 v
340.510 – 510.v = 340.430 + 430.v
940.v = 340.(510 - 430) = 27 200
v
27200
940
29 m/s
169
C2) EXERCICES NON RESOLUS
1. Un violon émet une intensité sonore de 60 dB. Quelle est l'intensité émise par 16 violons
identiques jouant ensemble ? (log 2 = 0,3). Combien de violons identiques devraient jouer
ensemble pour émettre 120 dB ?
Réponses : 72 dB ; 106
2. Une source sonore produit des ondes sphériques avec une puissance telle qu'il y ait 60 dB à
1 m de la source.
a) Quelle est la puissance de la source sonore ?
b) Quel est le niveau sonore en dB à 8 m de la source ? (log 2 = 0,3)
Réponses : a) 12,6.10-6 W ; b) 42 dB
3. Une source émet des ondes sphériques. A 5 m de la source, le niveau sonore est 60 dB. A
une autre distance de la source, le niveau est 54 dB.
Quelle est cette distance ? log 2 = 0,3 ; log 4 = 0,6 ; log 10 = 1
Réponse : 10 m.
4 . Un microphone placé à 5 mètres d'une source sonore émettant de manière isotrope, reçoit
une intensité de 80 dB.
a) A quelle distance de la source faut-il le placer pour qu'il perçoive une intensité de 60 dB?
b) Avec le détecteur placé à 5 mètres, on diminue la fréquence de la source d'un facteur 2 en
maintenant les autres facteurs constants. Que vaut l'intensité détectée en dB ?
Réponse : a) 50 m ; b) si f est divisée par 2, p l'est aussi, I est donc divisée par 4 et vaut 73,98
dB.
5 . Une explosion émet un son de puissance acoustique estimée à 12,5 W.
a) Calculer l’intensité acoustique à une distance de 100 m. Quel est le niveau
acoustique ?
b) L’explosion est considérée comme audible tant que son niveau acoustique est
supérieur à 30 dB. Jusqu’à quelle distance peut-on l’entendre ?
c) Montrer que cette distance se réduit à 10 km si on tient compte de pertes acoustiques
d’environ 1 dB/km.
Réponses : a) 10-4 W/m2 et 80 dB, b) 31,5 km
170
6. Sur le trottoir, vous percevez une fréquence de 510 Hz provenant de la sirène d’une voiture
de police qui s’approche. Après le passage de la voiture, vous ne percevez plus le son de la
sirène qu’à une fréquence de 430 Hz. Déduisez-en la vitesse de la voiture de police.
Réponse : 29 m/s ou 104 km/h
7. Pour mesurer la vitesse de circulation du sang par effet Doppler, on utilise une sonde
composée d'un émetteur et d'un récepteur d'ultra-sons. La fréquence de l'émetteur est 2 MHz.
La célérité des ultra-sons dans les tissus biologiques vaut ~ 1 500 m/s. Les ondes se
réfléchissent sur un globule du sang qui s'éloigne de la source. On mesure une fréquence de
battement de 200 Hz. Calculez la vitesse du globule.
Réponse : 7,5 cm/s
171
C3) ENONCES VRAIS OU FAUX
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. Les tuyaux d'orgue les plus longs produisent les plus petites fréquences.
2. Les ondes sonores sont toujours longitudinales.
3. Toutes autres choses restant égales, une augmentation de la densité du gaz provoque une
diminution de la célérité du son dans ce gaz.
4. Quand la température de l'air augmente, la célérité du son augmente.
5. A l'extrémité d'un tuyau sonore il y a toujours un noeud.
6. L'intensité d'une onde quelconque est inversement proportionnelle au carré de la distance.
7. Lorsqu'on émet un son, les particules d'air vibrent à la vitesse de 340 m/s.
Réponses : 1 V - 2 V - 3 V - 4 V - 5 F - 6 F - 7 F
172
5. STATIQUE ET LA DYNAMIQUE DES FLUIDES
A) HYDROSTATIQUE
A1) EXERCICES RESOLUS
Table de densités
Acier
Aluminium
Argent
Cadmium
Carbone (graphite)
Cobalt
Cuivre
Fer (électrolytique)
Magnésium
Mercure
Nickel
Table de tension superficielle :
Eau
Ether
Alcool
Benzène
1.
7,8
2,70
10,50
8,65
2,24
8,90
8,94
7,90
1,74
13,60
8,90
Plomb
11,34
Tungstène
Uranium
Zinc
Alcool méthylique
Benzène
Bromoforme
Tétrachlorure de carbone
Glycérine
Glace
19,30
18,70
7,14
0,792
0,878
2,890
1,595
1,26
0,93
f (N/m)
0,075
0,018
0,021
0,029
Pétrole
Mercure
Glycérine
0,029
0,505
0,065
Quelle est la variation de pression correspondant à 20 cm d'un liquide de densité 0,8 ?
Solution : En unités SI,
U kg/m3
'p = Ug'h = 800 . 9,8 . 0,20 = 1 568 Pa
2. A quelle profondeur d'un lac la pression est-elle 5 fois plus grande qu'en surface ?
Solution :
A la surface, la pression est de 1 atm = 101 300 Pa
173
A la profondeur 'h, la pression est
pression atm. + Ug'h = 5 atm
En utilisant les unités SI, la masse volumique de l'eau est U = 1 000 kg/m3
et l'équation précédente s'écrit
101 300 + 1 000 . 9,8 . 'h = 5 . 101 300 d'où 'h = 41 m
3. L'acier a une masse volumique de 7 g/cm3.
a) Quelle est la masse de 5 dm3 d'acier ?
b) Quel est le poids de 5 dm3 d'acier ?
c) Quel est le poids apparent lorsque ces 5 dm3 d'acier sont plongés dans un liquide de
densité 0,8 ?
d) Si le bloc de 5 dm3 d'acier a une masse apparente de 31,5 kg, quelle est la densité du
liquide dans lequel il est plongé ?
Solution :
a) La masse volumique est 7 g/cm3 = 7 kg/dm3 = 7 000 kg/m3
La masse de 5 dm3 ou 5 . 10-3 m3 d'acier est
7 . 5 = 35 kg
b) Son poids est 350 N
c) La poussée vers le haut égale le poids de 5 dm3 de liquide de densité 0,8 ou 800 kg/m3
de masse volumique, soit U Vg = 800 . 5 . 10-3 . 10 = 40 N
Le poids apparent est
350 - 40 = 310 N.
d) Si la masse apparente est 31,5 kg, le poids apparent est 315 N et la poussée vers le
haut est
350 - 315 = 35 N
C'est le poids de 5 dm3 du liquide dont la masse volumique est
3,5kg
m
=
= 700 kg/m3
U =
V
5.10 3 m 3
Sa densité est 0,7.
174
4.
Dans le fond d'un tube en U on verse 2 kg de
mercure. Dans une des branches on ajoute 10
cm d'eau, dans l'autre on verse de l'alcool
méthylique jusqu'à ce que les niveaux de
mercure dans les deux branches soient dans un
même plan horizontal. Quelle hauteur a la
colonne d'alcool ?
Solution : A partir d'un plan horizontal sous
lequel on a le même liquide, ici le niveau du
mercure, on peut écrire l'égalité des pressions.
Ug'h = U'g'h'
1 . 10 = 0,792 'h'
5.
'h' = 12,6 cm
Dans un tube en U contenant du mercure on
verse d'un côté 10 cm d'eau et de l'autre côté
20 cm de tétrachlorure de carbone. Quelle est
la différence de niveau du mercure dans les
deux branches ?
Solution
: Comme plan horizontal de
référence, on prend le niveau inférieur du
mercure. L'égalité des pressions donne
13,6 . g . 'h + 1 . g . 10 = 1,595 . g . 20
d'où 'h = 1,6 cm
6. Une péniche a une longueur de 35 m et une largeur de 5 m. Lorsqu'on la charge, elle
s'enfonce de 1,60 m. Quelle est la valeur de cette charge ?
Solution : D'après le principe d'Archimède, lorsqu'un corps flotte, son poids égale la
poussée, c-à-d le poids du liquide déplacé. Lorsque la péniche s'enfonce de 1,60 m elle
déplace un volume
V = 35 . 5 . 1,6 = 280 m3 c-à-d 280 tonnes d'eau.
Donc la charge pèse 280 tonnes.
175
7. Un récipient contenant de l'eau se trouve sur le plateau d'une balance. Sur l'autre plateau,
des masses font équilibre. Sans toucher les parois du récipient on plonge dans l'eau un
corps dont le volume est 150 cm3 et le poids 400 grammes. Pour rétablir l'équilibre de la
balance, quelle masse faut-il ajouter et sur quel plateau ?
Solution : D'après la réciproque du principe d'Archimède, le corps qui déplace 150 cm3 ,
c-à-d 150 g d'eau, exerce sur l'eau une poussée de 150 g vers le bas. Il faut donc ajouter
150 g sur l'autre plateau.
8.
Un corps plongé dans l'eau subit une poussée de 2 N. Quelle poussée subit-il lorsqu'on le
plonge dans le mercure ? dans le benzène ?
Solution : La densité du mercure est 13,6 ce qui veut dire qu'un volume de mercure pèse
13,6 fois plus que le même volume d'eau ; donc la poussée
dans le mercure est :
dans le benzène :
9.
13,6 . 2 N = 27,2 N
0,878 . 2 N = 1,756 N
Un bloc de glace de 1 kg flotte sur l'eau. Quel est le volume qui émerge de l'eau ?
Solution : Le volume total du bloc de glace est
1000
m
=
= 1 075 cm3
V =
U
0,93
Lorsque le bloc de glace flotte, son poids est compensé par la poussée de l'eau, c-à-d, le
poids du volume d'eau déplacé.
Donc, d'après le principe d'Archimède, le volume immergé égale le volume de 1 kg d'eau,
c-à-d 1 000 cm3. Donc, le volume émergent est
1 075 - 1 000 = 75 cm3
10. Pour déterminer la densité du sucre, soluble dans l'eau, on le plonge dans du benzène.
Un morceau de sucre pesant 0,222 N dans l'air a, dans le benzène, un poids apparent de
0,045 N. Quelle est la densité du sucre ?
Solution : La poussée du benzène sur le sucre est 0,222 - 0,045 = 0,177 N : c'est le
poids du benzène déplacé ce qui correspond à un volume
0,0177kg
m
=
= 2,016 . 10-5 m3 = 20,16 cm3
V =
3
U
878kg / m
Le sucre a donc un volume de 20,16 cm3 et sa masse volumique est
m
0,0222kg
=
= 1 100 kg/m3 = 1,1 g/cm3
6
3
V
20,16.10 m
Sa densité est 1,1.
176
11. Un corps pèse 500 gf dans l'air, 300 gf dans l'eau et 340 gf dans un autre liquide. Quelle
est la densité de ce liquide ?
Solution : Le corps subit une poussée de 200 g.force dans l'eau ; il a donc un volume de
200 cm3 et déplace 200 cm3 de l'autre liquide. Le poids de ce liquide déplacé est
500 - 340 = 160 g.force.
Masse volumique du liquide =
160
m
=
= 0,8 g/cm3
V
200
Densité : 0,8
12. Un cylindre plein en aluminium, de densité 2,7, pèse 300 N dans l'air et 200 N lorsqu'il
est entièrement plongé dans la térébenthine. Quelle est la densité de la térébenthine ?
Quel est le volume du cylindre ?
Solution : En unités SI, l'aluminium a
une masse volumique
une masse
un volume
U = 2 700 kg/m3
P
300
=
= 30 kg
m =
10
g
m
30
1 3
=
=
m
V =
U
2700
90
La térébenthine déplacée a
un volume
une masse
une masse volumique
1 3
m
90
300 200
= 10 kg
m =
10
m
= 900 kg/m3
U =
V
V =
une densité égale à 0,9
13. Une bille de cuivre est creuse. Elle pèse 500 g dans l'air et 410 g dans l'eau. Quel est le
volume du creux ?
Solution : La poussée exercée sur la bille est
500 - 410 = 90 g.force
Le volume total de la bille est 90 cm3
m
500
=
= 55,9 cm3
Le volume du cuivre est V =
U
8,94
Le volume du creux est
90 - 55,9 = 34,1 cm3
177
14.
Un récipient contient 10 cm d'eau surmontée
de 10 cm d'huile de densité 0,6.
Un bloc cubique de 10 cm de côté reste en
huile
10 cm
8 cm
10 cm
eau
équilibre au sein du liquide de telle sorte qu'il
plonge de 8 cm dans l'eau.
a) Quelle est la masse volumique du bloc ?
b) Quelle est la pression exercée à la surface
inférieure du bloc ?
c) Quelle est la force exercée par cette pression sur la surface inférieure du bloc ?
Solution :
a) La masse du bloc est égale à la masse du liquide déplacé, soit
8 . 10 . 10 = 800 cm3 d'eau, donc 800 grammes
et 2 . 10 . 10 = 200 cm3 d'huile, donc 120 grammes
La masse du bloc est 920 g et son volume 1 000 cm3
Sa masse volumique est 0,92 g/cm3 ou 920 kg/m3
b) Au niveau supérieur, il y a éventuellement la pression atmosphérique ; à une
profondeur de 10 cm d'huile, il y a une augmentation de pression
Ugh = 600 . 9,81 . 0,10 = 588,6 Pa
à 8 cm d'eau correspond une augmentation de pression
Ugh = 1000 . 9,81 . 0,08 = 784,8 Pa
Au total 1 373,4 Pa.
c) La force exercée est F = P . S = 1 373,4 . (0,1)2 = 13,734 N
15.
eau
Hg
Un cube de métal flotte sur le mercure avec
3/4 de son volume dans le mercure. Quelle est
la masse volumique de ce métal ?
Ensuite on ajoute de l'eau jusqu'à submerger
exactement le cube. Quelle est alors la partie
du volume du bloc immergée dans le mercure
?
Solution :
Quand le bloc flotte, son poids est égal au poids du liquide déplacé :
3
Ubloc Vbloc g
= UHg . Vbloc g
4
Ubloc = 13,6 . 3
4
= 10,2 g/cm3
178
Après avoir ajouté l'eau, si x.V est la partie du bloc immergée dans le mercure, le reste :
V - xV = (1 - x) V est immergé dans l'eau et on a
Ubloc Vg = UHg x.V.g + Ueau (1 - x) Vg
ou
10,2 = 13,6 x + 1 - x
d'où x = 0,73
16. Un bloc flotte sur l'eau avec les 2/3 de son volume dans l'eau. Le même bloc flotte sur
l'huile avec 0,9 de son volume dans l'huile. Quelle est la masse volumique du bloc ?
Quelle est la masse volumique de l'huile ?
Solution :
Si le bloc flotte, son poids égale la force de poussée, c-à-d le poids du liquide déplacé :
Ubloc Vbloc g = Ueau 2 Vbloc g
dans l'eau
3
Ubloc = 2 Ueau = 0,66 g/cm3 = 666 kg)m3
3
dans l'huile Ubloc Vbloc g = Uhuile 0,9 Vbloc g
Uhuile = U bloc = 0,74 g/cm3 = 740 kg/m3
0,9
17. Un corps dont la masse volumique est 0,9 g/cm3 tombe dans l'eau.
Au moment d'entrer dans l'eau, il a une vitesse verticale de 7 m/s.
A quelle profondeur va-t-il descendre ?
Après combien de temps revient-il à la surface ?
On suppose la profondeur de l'eau suffisante et l'eau liquide parfait (pas de frottement).
Solution en SI :
Soit V le volume du corps ; sa masse est 900 . V.
Son poids est 900 . V.g
La poussée vers le haut est 1 000 V.g
La force résultante est dirigée vers le haut et vaut 100 V.g
F
100V .g
=
= 1,1 m/s2
Elle exerce une accélération a =
m
900V
Ici, il y a une vitesse initiale vers le bas vo = 7 m/s et une accélération vers le haut
a = 1,1 m/s2
La vitesse v = vo - at est nulle après un temps t =
vo
7
=
= 6,4 s
a
1,1
Le temps de remontée est le même et le corps revient en surface après 12,8 s.
L'espace parcouru pendant 6,4 s est
at 2
= 22,5 m
e =
2
179
C'est la profondeur à laquelle le corps descend.
18. La tension superficielle de l'eau est 0,075 N/m.
Si l'angle de contact est 30°, pour un capillaire de 1 mm de rayon, à quelle hauteur monte
l'eau ? Quelle est la variation de pression à la surface du ménisque ?
Solution :
La hauteur dans le capillaire est
2 f cos T
2.0,075. cos 30q
=
= 1,3 . 10-2 m = 1,3 cm
h =
U .rg
1000.10 3.9,81
La variation de pression correspond à
Ugh = 1 000 . 9,81 . 1,3 . 10-2 = 130 Pa
19. Par capillarité un liquide monte de 5 mm dans un tube de 1 mm2 de section. Dans un
tube de 4 mm2 de section, à quelle hauteur montera le liquide ?
Solution : La hauteur du liquide est inversement proportionnelle au rayon du capillaire.
Si
la section est 4 fois plus grande,
le rayon est 2 fois plus grand
et la hauteur h est 2 fois plus petite.
Donc h = 2,5 mm
20. A quelle hauteur monte l'eau dans un tube capillaire de 0,2 mm de rayon ? Le liquide se
raccorde tangentiellement au tube, c-à-d que l'angle T est nul.
Solution : h =
f
2. f . cos T
r.U .g
= tension superficielle de l'eau = 0,075 N/m
cos T = cos 0° = 1
U
= masse volumique de l'eau = 1 000 kg/m3
h
= 7,65 . 10-2 m = 7,65 cm
21. Dans le capillaire de l'exercice précédent, quelle est la variation de pression qu'on
observe en passant de l'air dans le liquide ? Est-ce une dépression ou une surpression ?
Solution : La variation de pression est
2f
r
où R, rayon du ménisque, égale
R
cos T
(r est le rayon du capillaire).
2.0,075
2f
=
= 750 Pa
R
2.10 4
180
Comme on pénètre dans le liquide par une face concave, c'est une dépression.
22. Un ballon a les caractéristiques suivantes :
volume 500 m3
poids de l'enveloppe 60 kg
poids de la nacelle 30 kg
lest 50 kg
L'aéronaute pèse 70 kg. Le ballon est gonflé au gaz d'éclairage dont la masse volumique
est 0,4 kg/m3. La masse volumique de l'air est 1,293 g/litre soit 1,293 kg/m3.
Quelle est la force ascensionnelle du ballon ?
Quelle est son accélération au départ ?
Solution : Masse du gaz :
500 . 0,4 = 200 kg
Masse totale :
200 + 60 + 30 + 50 + 70 = 410 kg
Masse d'air déplacé : 500 . 1,293 = 646,5 kg
D'après le principe d'Archimède, il y a une force ascensionnelle de
(646,5 - 410) . g = 2 318 Newtons.
L'accélération se calcule à partir de F = m . a où toutes les grandeurs sont exprimées
dans un même système d'unités, c-à-d en Newtons, kg masse et m/s2
F
236,5.9,8
=
= 5,65 m/s2
a =
m
410
23. La pression qui existe à 2 m sous le niveau d'un lac est cinq fois moindre que celle qui
règne au fond. Quelle est la profondeur de ce lac ?
Solution :
A la surface, règne la pression atmosphérique, soit 1 atm ou 101 300 Pa.
A 2 m sous la surface :
p = 101 300 + Ugh
= 101 300 + 1 000 . 9,81 . 2
= 121 300 Pa
Au fond,
p = 5 . 121 300 = 606 500 Pa = 101 300 + Ugh
606500 101300
= 50,5 m.
D'où
h =
U .g
24. Du mercure se trouve dans la partie inférieure du tube en U. Du gaz se trouve dans le
récipient sphérique. Indiquez la position des niveaux de mercure dans les tubes en U et
spécifiez la différence de hauteur de ces niveaux.
181
Solution :
a) 50 cm plus haut à droite
b) 26 cm plus haut à gauche
c) 20 cm plus haut à droite
182
A2) EXERCICES NON RESOLUS
1. Une bille d'aluminium de densité 2,7 est plongée dans de l'eau douce. Quels sont le sens,
la direction et la grandeur de l'accélération à laquelle est soumise la bille ?
Si la même bille est plongée dans du mercure de densité 13,6, quels sont le sens, la
direction et la grandeur de l'accélération ?
Si la même bille est plongée dans de l'huile de densité 0,9, quels sont le sens, la direction
et la grandeur de l'accélération ?
Réponses : 6,3 m/s2 vers le bas ; 40 m/s2 vers le haut ; 6,7 m/s2 vers le bas.
2.
Un tube en U est inversé. Une extrémité
plonge dans un récipient rempli d'eau et
l'autre extrémité plonge dans un récipient
rempli d'huile. On aspire de l'air par la
vanne V et les liquides montent dans les
tubes. Si l'eau monte de 50 cm, quelle est
la pression résiduelle dans le tube en U ? Si
l'huile monte de 60 cm, quelle est la masse
volumique de l'huile ? Si l'on remplace
l'huile par du mercure, de combien montet-il dans les mêmes conditions ?
Réponses : pr. atm. - 5 000 Pa ; 833 kg/m3 ; 3,67 cm
3. Un récipient est rempli d'un liquide et est mis sur le plateau d'une balance qu'on équilibre.
Sans toucher le fond du récipient, on plonge entièrement dans ce liquide un cylindre de
métal (rayon = 1,5 cm, hauteur = 5 cm, densité = 7,6).
Pour rééquilibrer la balance, il faut ajouter à l'autre plateau 45 grammes. Quel est la
masse volumique du liquide ?
Réponse : 1,273 g/cm3 = 1 273 kg/m3
4. Les deux bras du fléau d'une balance sont égaux. A l'extrémité d'un bras est suspendu un
bloc d'aluminium (densité 2,7), à l'extrémité de l'autre bras, un bloc de cuivre (densité 9).
La masse du bloc d'aluminium est 54 g. Quelle est la masse du bloc de cuivre sachant
que, si les deux blocs sont entièrement plongés dans l'eau, la balance est en équilibre ?
Réponse : 38,25 g
183
5.
Un cube de bois flotte à ras de l'eau avec
une masse de 200 g posée dessus.
Quand on enlève la masse, le cube émerge de 2 cm.
a) Quelles sont ses dimensions ?
b) Quelle est sa masse volumique ?
Réponses : a) côté = 10 cm ; b) 0,8 g/cm3 = 800 kg/m3
6. Un bouchon a une masse volumique de 0,2 g/cm3.
a) Quelle est la fraction de son volume qui est immergée (dans l'eau) lorsque le bouchon
flotte sur l'eau ?
b) Si on immerge complètement le bouchon dans l'eau, à quelle accélération est-il
soumis au moment où on le lâche ?
Réponses : a)
1
; b) 40 m/s2
5
7. Un bloc métallique dont la masse est 800 g a un poids apparent de 6 N dans l'eau et de 5
N dans un autre liquide. Quelle est la masse volumique de ce liquide ?
Réponse : 1 500 kg/m3
8.
a) Un bloc de bois a une masse de 3,6 kg et une densité de 0,6. Sur le bloc, on dépose
une masse de plomb de telle sorte que le bloc flotte sur l'eau avec 90 % de son
volume dans l'eau. Que vaut cette masse de plomb ? (densité du plomb = 11,3)
b) Si au lieu de déposer le plomb sur le bloc, on le suspend en-dessous du bloc, quelle
masse de plomb faut-il suspendre pour que le bloc flotte sur l'eau avec 90 % de son
volume dans l'eau ?
Réponses : a) 1,8 kg ; b) 1,97 kg
184
9. La figure ci-dessous représente un cric hydraulique formé de deux pistons de section
circulaire. Sous l’effet d’une action sur le levier, le piston 1 agit, au point A, par une force F1
sur l’huile. L’huile agit, au point B, sur le piston 2 par une force F2. Les diamètres des pistons
sont respectivement d1 = 10 mm et d2 = 100 mm. La force F1 vaut 150 N.
a) Déterminer la pression PA de l’huile au point A.
b) Quelle est la pression PB ?
c) En déduire l’intensité de la force de pression F2.
Réponses :
a)
19.105 Pa ; b) 19.105 Pa ; c) 14923 N
10. Une tige de bois homogène (ρ = 700 kg.m-3) de section S et de longueur 2L, est retenue à
l’une de ses extrémités par un filin de longueur L attaché au fond d’un lac de profondeur 2L.
L’ensemble est à l’équilibre. Quelles sont les forces qui agissent sur la tige ? Quelle est la
longueur immergée de la tige (exprimer en fonction de L) ainsi que l’angle formé avec
l’horizontale ?
185
Réponses :
a) 1,67.L ; b) 36,7 °
11. La figure ci-dessous représente un montage destiné pour la pêche à la ligne. Il est
composé d’une sphère pleine en plomb de 10 mm de rayon et d’un flotteur creux sphérique de
35 mm de rayon et d’épaisseur 5 mm. Les densités respectives sont 1,027 pour l’eau de mer,
11,34 pour le plomb et 0,5 pour le matériau constituant le flotteur. En prenant g = 9,81 m/s2,
déterminez la fraction volumique immergée du flotteur.
Réponse : 41 %
12. On considère un aquarium géant utilisé dans les parcs d’attraction représenté par la figure
ci-dessous. L’aquarium est rempli avec H = 6 m d’eau et la vitre servant à visualiser
l’intérieur a une surface de 6 m2. Calculer la résultante des forces de pression s’exerçant sur la
vitre.
Réponse : 235440 N
186
A3) ENONCES VRAIS OU FAUX
1.
La pression totale à 10 m sous la surface d'un lac est le double de la pression totale à 5 m
sous sa surface.
2. La force exercée par l'eau sur un morceau de bois entièrement submergé est plus grande
que la force exercée par l'eau sur une pierre de même volume.
3. La force de pression dans un fluide est toujours perpendiculaire à n'importe quelle
surface.
4. En doublant la surface du fond d'un récipient rempli d'eau, on double la valeur de la
pression.
5. Sur une pierre entièrement submergée, la force exercée par l'eau vers le bas est plus
grande que la force exercée vers le haut.
6. La pression hydrostatique de l'eau à 50 cm de profondeur égale 50 g/cm2 si g = 10 m/s2.
7. La force qu'un liquide exerce sur le fond d'un récipient ne peut pas dépasser le poids total
de ce liquide.
8. Un lac de 4 km de long exerce sur un barrage une plus grande pression qu'un lac de 30 m
de long mais de même profondeur.
9.
Dans un capillaire, la hauteur du liquide est inversement proportionnelle à la section du
tube.
10. Pour maintenir un corps flottant à 5 m sous l'eau, il faut exercer une force plus grande que
pour le maintenir à 1 m sous l'eau.
11. Tout corps de 1 dm3 perd 1 kgf de son poids quand il est plongé dans l'eau.
12. Un bateau s'enfonce plus dans l'eau douce que dans l'eau de mer.
13. Une colonne de 76 cm de mercure équilibre une colonne d'environ 10 m d'eau.
14. Le principe d'Archimède est valable pour les gaz comme pour les liquides.
15. 1 atmosphère égale environ 1 kg/cm2.
187
Réponses : 1 F - 2 F - 3V - 4 F
- 5 F - 6 V - 7 F - 8 F - 9 F - 10 F -
11 V - 12 V - 13 V - 14 V - 15 V.
188
B) HYDRODYNAMIQUE
B1) EXERCICES RESOLUS
1.
Dans un tuyau de 50 cm2 de section s'écoule un liquide à la vitesse de 1 m/s. Le tuyau se
rétrécit et sa section tombe à 20 cm2. Quelle est la vitesse du liquide à cet endroit ? Quel
est le débit ?
Solution : Le débit D = S . v reste constant, donc
S1v1 = S2v2 et v2 =
S1v1
50.1
=
= 2,5 m/s
S2
20
D = S . v = 50 . 10-4 . 1 = 5 . 10-3 m3/s = 5 litres/s
2. De l'eau s'écoule dans un tuyau horizontal : le débit est 2 litres/s. Quelle est la différence
de pression entre deux points où les sections du tuyau sont respectivement 20 et 50 cm 2
?
Solution : Les vitesses d'écoulement sont respectivement
v2 =
D
S2
=
2.10 3 m 3 / s
20.10 4 m 2
=
1 m/s
v1 =
D
S1
=
2.10 3 m 3 / s
50.10 4 m 2
=
0,4 m/s
En exprimant toutes les grandeurs en unités SI dans la loi de Bernoulli, on a
v2
v2
p1 + Ugh1+ U 1 = p2 + Ugh2 + U 2 avec h1 = h2
2
2
1
1
2
2
p1 - p2 = 2 U(v2 - v1 ) = 2 1 000 (1 - 0,16) = 420 Pa
3. Un réservoir de grande section, à ciel ouvert débite 150 litres d'eau par minute par une
ouverture de 1 cm de rayon située au bas du réservoir. Quelle est la hauteur d'eau dans le
réservoir ? (l'eau est assimilée à un liquide parfait).
Solution : Section de l'ouverture : S = Sr2 = 3,14 . 10-4 m2
Débit : D = S . v = 150 l/min = 2,5 . 10-3 m3/s.
D
= 7,96 m/s
Vitesse d'écoulement : v =
S
D'après la loi de Bernoulli :
189
v12
v 22
p1 + Ugh1+ U
= p2 + Ugh2 + U
2
2
à la hauteur h : p1 = patm
h1 = h
v1 = 0 (grande section)
à l'ouverture
p2 = patm
h2 = 0
v2 = v = 7,96 m/s
d'où h
=
v2
=
2g
(7,96) 2
= 3,23 m
2.9,8
4.
Un réservoir contient 50 cm d'eau au dessus
d'un orifice qui se trouve à 50 cm au-dessus
du sol. Un jet d'eau s'écoule du réservoir. A
quelle distance du réservoir vient-il toucher le
sol ? (liquide idéal, pas de frottement)
Solution : Comme le réservoir et l'orifice sont
tous deux à l'air libre, en utilisant la loi de
Bernoulli de la même façon que dans
2
l'exercice précédent, on a : h =
d'où v =
v =
2 gh =
v
où h est la hauteur d'eau au-dessus de l'orifice.
2g
2 gh (formule de Torricelli)
2.9,8.0,5 = 3,13 m/s
Le jet d'eau quitte le réservoir avec une vitesse horizontale et est soumis à la pesanteur.
Ce problème est analogue à celui de la bombe.
2y
2.0,5
=
= 0,319 s où y est la hauteur de chute de l'eau
Temps de chute : t =
g
9,8
par rapport au sol.
Distance parcourue horizontalement :
x = v t = 3,13 . 0,319 = 0,998 m
D'ailleurs, en remplaçant v et t par leurs valeurs :
2y
4hy =
4.0,5.0,5 = 1 m
2 gh .
=
x =
g
La valeur de 0,998 provient de l'approximation faite dans les deux racines carrées
précédentes.
190
5.
Dans une canalisation, on a un débit
d'eau de 100 litres/s.
SA = 1 000 cm2 et SB = 500 cm2.
Quelle est la différence de pression entre
A et B ?
Dans le manomètre contenant du mercure, quelle est la différence de niveau
entre C et D et où le niveau est-il le plus
élevé ?
Solution : Exprimons toutes les grandeurs en unités SI :
D = 100 litres/s = 0,1 m3/s
D
= 1 m/s et vB = 2 m/s
vA =
SA
D'après le théorème de Bernouilli et comme la canalisation est horizontale,
v2
v2
= pB + U B
pA + U A
2
2
1
2
2
d'où
pA - pB = 2 U (vB - vA )
1
= 2 . 1 000 . 3 = 1 500 Pa
Comme pA est supérieur à pB, le niveau de mercure en C est plus bas qu'en D. La
différence de niveau est donnée par
Ug'h = 1500 Pa
1500
= 0,0112 m
d'où
'h =
13600.9,8
191
6. Dans le récipient ci-contre le niveau de l'eau
en B est maintenu constant. Section en B = 4
cm2
Quelle est la vitesse d'écoulement en A ?
Section en A = 1 cm2
Quel est le débit de l'eau qui s'amène dans le
récipient ?
Solution :
Comme SB = 4 SA
on a vA = 4 vB
La loi de Bernoulli donne
1 2
1 2
pB + UghB + UvB = pA + UghA + UvA
2
2
pB = pA = pression atmosphérique
2
2
1
Ug (hB - hA) = U (vA - vB )
2
1
g.2 =
(16v B2 v B2 )
2
et
vA = 6,52 m/s
d'où
vB = 1,63 m/s
Le débit est
D = S . v = 6,52 . 10-4 m3/s.
7.
Un récipient dont la section est 100 cm2 et la hauteur 20
cm a le fond percé d'une ouverture de 1 cm2. Une
canalisation introduit 140 cm3 d'eau par seconde.
Jusqu'à quelle hauteur l'eau pourra-t-elle monter dans le
récipient ?
Solution :
Comme la section du récipient est 100 fois plus grande
que celle de l'ouverture, la vitesse dans le récipient est 100
fois
plus petite et peut être négligée. L'eau monte jusqu'au moment où le débit d'écoulement
est 140 cm3/s.
Comme D = v . S
D
140
=
= 140 cm/s
v =
S
1
2 gh
Mais
v =
d'où
v2
140 2
=
= 10 cm
h =
2.980
2g
192
8.
Un réservoir contient de l'eau. Entre les
niveaux 1 et 3 il y a 1 mètre. La section en 1
est suffisamment grande pour qu'on puisse
négliger la vitesse d'écoulement.
La section S2 = 5 cm2 et S3 = 2,5 cm2
Quelle est la pression en 3 ? en 2 ?
Quelle est la vitesse en 3 ? en 2 ?
Quel est le débit en 3 ? en 2 ?
Quelles sont les grandeurs précédentes qui
resteraient inchangées et quelles sont celles
qui seraient modifiées si le liquide du
réservoir avait une autre densité ?
Solution :
En 3, la vitesse est
v =
2 gh
(3 et 1 sont tous deux à la pression
atmosphérique).
v =
19,6 = 4,43 m/s
Le débit D = S . v
= 2,5 . 10-4 . 4,43 = 11,07 . 10-4 m3/s
La pression est la pression atmosphérique.
En 2, le débit est toujours 11,07 . 10-4 m3/s
Comme la section est deux fois plus grande, la vitesse est deux fois plus petite :
v = 2,215 m/s
D'après la loi de Bernoulli
2
1 2
1
p2 + Uv2 = p3 + U v3
2
2
2
2
1
p2 = p3 + U (v3 - v2 )
2
1
= 101 300 + 1 000 (19,6 - 4,9)
2
= 108 650 Pa
Seule cette pression dépend de la densité du liquide.
193
9.
Un réservoir contenant de l'eau a, à sa base, un
orifice circulaire de 1 cm de rayon. Le niveau
de l'eau est situé 1 m plus haut. Les dimensions du réservoir sont telles que la vitesse
d'abaissement
de
ce
niveau
peut
être
considérée comme nulle. Quel est le débit
d'écoulement de l'eau à travers l'orifice ?
Si on considère le même réservoir mais fermé
à la partie supérieure de sorte qu'on puisse
appliquer une pression de 2 atm à la surface
libre de l'eau, quel sera le débit ?
Solution :
Dans le premier cas on peut employer la formule de Torricelli (A et B sont tous deux à la
pression atmosphérique)
v =
2 gh
=
2.9,8.1 = 4,43 m/s
La section de l'orifice est S = Sr2 = S cm2 = S . 10-4 m2
et le débit est
D = S . v = 13,9 . 10-4 m3/s
Dans le deuxième cas, on peut aussi appliquer la loi de Bernoulli
1 2
1 2
=
PB + UghB + UvB
pA + UghA + UvA
2
2
vB = 0
pB = 2 atm ; pA = 1 atm
pB - pA = 1 atm = 101 300 Pa
hB - hA = 1 m
Ueau = 103 kg/m3
1 2
Uv = (pB - pA) + Ug (hB - hA)
2 A
= 101 300 + 103 . 9,8 . 1
= 111 100
2
d'où vA = 222,2 et vA = 14,90 m/s
194
10.
Dans le manomètre contenant du mercure il y a une différence de pression de 10 cm de
mercure (densité 13,6). Dans la canalisation circule de l'eau de gauche à droite. Calculez
le débit en S1. L'eau est considérée comme un liquide idéal (K = 0)
Que deviendrait la différence de pression dans le manomètre si l'eau s'écoulait avec le
même débit mais dans le sens de droite à gauche ? Quelle est la vitesse de l'eau en S2 ?
Solution :
Appliquons la loi de Bernoulli
1 2
1 2
p1 + Ugh1 + Uv1 = p3 + Ugh3 + Uv3
2
2
h1 = h3
p3 - p1
= 10 cm de mercure (p3 > p1)
v1
= U . g . h = 13 600 . 9,8 . 0,1
= 13 330 Pa
D
D
=
=
S1
0,01
D
D
=
=
0,02
S3
v3
Pour l'eau de la canalisation U = 1 000 kg/m3
La loi de Bernoulli devient
1
1
D 2
D 2
. 1 000 . (
) = 13 330 + . 1 000 . (
)
2
2
0,02
0,01
d'où D = 0 06 m3/s.
Si l'eau coule de droite à gauche, rien n'est modifié dans la loi de Bernoulli, si K = 0.
Le débit est constant et
D
0,06
=
= 10 m/s
v2 =
S2
0,006
195
11.
(Le dessin n'est pas fait à l'échelle.
La pression à la sortie est égale à
la pression atmosphérique).
g = 10 m/s2
Dans les réservoirs A et B il y a de
l'eau supposée liquide parfait. La
section de l'étranglement en S est
la moitié de la section en S'. Les
dimensions de A sont grandes de
sorte que la vitesse d'écoulement y
est faible. La pression à la sortie
est égale à la pression atmosphérique.
a) Quelle est la pression en C ?
b) A quelle hauteur h l'eau estelle aspirée dans le réservoir B
?
Solution :
a) En S' la vitesse est vS' =
2 gh =
2.10.0,2 = 2 m/s (cfr ex. 3).
Par conséquent, en S, elle vaut vS = 4 m/s
1 2
1 2
pC + UghC + UvC = pA + UghA + UvA
2
2
1
pC = pA + 1 000 . 10 . 0,2 - . 1 000 . 16
2
pC = patm - 6 000 = 95 300 Pa
b) La surface libre de B se trouve à la pression atmosphérique. Entre B et C règne une
différence de pression de 6 000 Pa.
La hauteur h est donnée par 6 000 = Ugh. Il s'en suit que h = 0,6 m.
12.
Un réservoir cylindrique de 4 m de hauteur
et de grande section, contient de l'eau. Il se
vide par un tuyau dont l'embouchure se
trouve à une hauteur hB = 1 m au-dessus du
sol. La partie supérieure du réservoir est
fermée hermétiquement de sorte que l'air
s'y trouve enfermé à une pression initiale
PA = 2 atm lorsque le niveau de l'eau
atteint une hauteur HA de 3,5 m.
196
a) Calculez la vitesse du liquide à la sortie (B) du tuyau dans ces conditions.
b) Calculez la vitesse du liquide lorsque le niveau HA est descendu à 3 m.
Solution :
a) La vitesse en B se calcule à partir de la loi de Bernoulli :
1 2
1 2
pA + UghA + UvA = pB + UghB + UvB
2
2
2
1
2 . 105 + 103 . 10 . 3,5 = 105 + 103 . 10 . 1 + . 103 . vB
2
250 m/s = 15,8 m/s
vB =
b) Lorsque le niveau est à 3 m, il y a une nouvelle pression pA que l'on peut calculer à
partir de la loi de Boyle-Mariotte : pV = constante
2 . (section . 0,5) = pA . (section . l) d'où pA = 1 atm.
Puisque la pression en A est, cette fois-ci, égale à la pression atmosphérique comme
en B, on peut utiliser :
v =
2 gh =
2.10.2 = 6,3 m/s
13. On considère de l'eau qui s'écoule à une vitesse moyenne de 10 cm/s dans une
canalisation de 2 cm de rayon. L'eau est assimilée à un fluide visqueux.
a) Quelle est la perte de charge due aux forces de viscosité par mètre de longueur
(K = 10-3 Pl) ?
b) Que vaut le nombre de Reynolds ? L'écoulement est-il laminaire ou turbulent ? Que
doit-on en conclure ?
Solution :
8 lK
8 lK
. 4D =
.
v.S r2
S r
S r4
8.1.10 3.0,1
8lK .v
=
= 2 Pa
=
4.10 4
r2
1000.0,1.0,04
U .vd
b) R =
=
= 4 000 : écoulement turbulent.
K
10 3
a) 'p =
Le régime étant turbulent, la loi de Poiseuille n'est pas d'application. La perte de
charge est, en fait, supérieure à 2 Pa, mais sa valeur précise ne peut être calculée.
14. Un manomètre contenant du mercure (densité 13,6) indique une différence de pression
de 20 mm de Hg entre les points A et B distants de 1 cm. Dans la canalisation
cylindrique de rayon 0,1 mm, circule de l'eau (K = 10-3 Pl)
197
a) Quel est le sens d'écoulement de l'eau ?
b) Quelle est la perte de charge entre A et B ?
c) Quel est le débit ?
d) Quelle est la vitesse moyenne d'écoulement ?
e) Que vaut le nombre de Reynolds ?
f) Quelle est la puissance de la pompe qui assure ce débit constant ?
g) Faites une représentation graphique des différentes pertes de charges et lignes pour le
présent problème.
Solutions : a) Puisque pB > pA, l'eau s'écoule de B vers A
b) 'p = 20 mm Hg = 13 600 . 9,8 . 0,02 = 2 665,6 Pa
8 lK
D
c) 'p =
S r4
2665,6.S .10 16
S .r 4
=
= 10-8 m3/s
D = 'p
8lK
8.10 2.10 3
10 8
D
=
= 0,318 m/s
d) v =
S
S .10 8
1000.0,318.2.10 4
U .vd
=
= 63,6
e) R =
K
10 3
f) P = 'p . D = 2 665,6 . 10-8 W
15.
Un organe est irrigué par N capillaires de 1 cm
de longueur et 10 Pm de rayon, placés en
parallèle entre une artère et une veine. Entre
l'artère et la veine règne une différence de
pression de 100 mm de mercure (densité du
mercure = 13,6). La viscosité du sang est K =
3.10-3 poiseuille.
198
a) Quel est le débit dans un capillaire ?
b) Si la section de l'artère est 20 mm2 et si la vitesse du sang dans l'artère est 25 cm/s,
combien y a-t-il de capillaires ?
Solutions :
a) D =
'p.S .r 4
avec 'p = Ug'h = 13 600 . 10 . 0,1 = 13 600 Pa
8K .l
13600.S .10 20
= 1,8 . 10-12 m3/s
3
2
8.3.10 .10
b) Le débit dans l'artère vaut
D =
D = v . S = 25 . 10-2 . 20 . 10-6 = 5 . 10-6 m3/s
Le nombre de capillaires est le rapport entre le débit dans l'artère et le débit dans un
capillaire :
5.10 6
r 2,8 . 106
N =
1,8.10 12
16. Par sédimentation dans l'eau à 20°, des grains de densité 2,5 mettent 10 minutes pour
descendre de 36 cm. Quel est leur diamètre ? La viscosité de l'eau à 20° est 10-3 Pl
(ou 10-3 Pa.s)
Solution : La vitesse de sédimentation est :
0,36
= 6 . 10-4 m/s
600
Exprimons les grandeurs en SI dans la formule
2 ( U s U l )r 2 g
.
v =
9
K
6 . 10-4
2 (2500 1000)r 2 .9,8
9
10 3
= 1,83 . 10-10
=
d'où
r2
et
r = 1,35 . 10-5 m
Le diamètre des grains est 27 Pm.
17. Calculez la vitesse limite de sédimentation dans l'huile de particules sphériques dont la
masse est 5 mg et le rayon 1 mm. Le coefficient de viscosité de l'huile est 1 Pl (ou 1 Pa.s)
et sa densité est 0,9.
Solution : En SI
Le volume de la particule :
V =
4 3
4
S r = S . 10-9 m3
3
3
199
5.10 6
Sa masse volumique : Us =
= 1 194 kg/m3
V
2 r2g
2 10 6.10
(1194 900)
la vitesse de sédimentation : v =
(U s Ul ) = .
1
9
9 K
= 6 . 10-4 m/s = 0,6 mm/s
18. Une bille d'aluminium de très petit rayon met 40 secondes pour tomber d'une certaine
hauteur dans l'eau alors qu'elle met 34 secondes pour tomber de la même hauteur dans le
chloroforme. Les deux liquides sont à la même température. La masse volumique de
l'aluminium est 2,7 g/cm3 et celle du chloroforme est 1,5 g/cm3. La viscosité de l'eau est
10-3 poiseuille. Quelle est la viscosité du chloroforme ?
Solution :
La vitesse de sédimentation dans l'eau est
2 r2g
h
v =
(U s Ul ) =
t
9 K
La vitesse de sédimentation dans le chloroforme est donnée par une formule analogue où
on mettra un prime (') aux grandeurs propres au chloroforme :
v' =
2 r2g
h
( U s U 'l ) =
t'
9 K
En divisant membre à membre ces deux égalités, on a
K ' (U s Ul )
t'
=
K ( U s U 'l )
t
K' = 0,6 . 10-3 poiseuille ou Pa.s
19. Une bille sphérique d'acier de 1 mm de rayon tombe dans de la glycérine.
Quelle est sa vitesse limite de chute ?
Masse volumique de l'acier : 8,5 g/cm3 ; de la glycérine : 1,32 g/cm3 ; coefficient de
viscosité de la glycérine : 0,84 Poiseuille = 0,84 Pa.s
Que vaut le nombre de Reynolds dans ces conditions ? Que vaut la force de résistance au
cheminement au moment où la bille a sa vitesse limite ? Quelle est la vitesse de la bille
au moment où son accélération est la moitié de celle de la pesanteur ?
Solution :
La vitesse limite en SI est :
2 r2g
2 10 6.10
(U s Ul ) =
(8500 1320)
v =
9 K
9 0,84
200
= 1,9 . 10-2 m/s soit 1,9 cm/s
Nombre de Reynolds
Uvd 1320.1,9.10 2.2.10 3
R =
K
0,84
0,06
Résistance au cheminement
= 6 S . 0,84 . 1,9 10-2 . 10-3
Fr = 6 S K vr
= 3 . 10-4 N
g
Si la bille a une accélération 2 , c'est que la force résultante est
4
g
F = ma = Us S r3
3
2
Or, la force résultante est F = P - FA - Fr
4
F = (Us - Ul) S r3 g - 6 SK vr
3
L'égalité de ces deux expressions de la force donne
g
4
6 SK vr = S r3 (Usg - Ulg - Us )
3
2
d'où v = 7,7 . 10-3 m/s soit 7,7 mm/s.
20. Un parachutiste dont le poids total est 100 kg est attaché à un parachute de 3 m de rayon.
Quelle est sa vitesse limite ? (Cx = 1,2).
S'il se laisse tomber sans ouvrir son parachute, quelle vitesse a-t-il après 30 m de chute
libre ? (on néglige ici la résistance de l'air).
S'il ouvre alors son parachute, quelle est la résultante des forces à laquelle il est soumis ?
Solution : S = SR2 = 28,26 m2
La vitesse limite est atteinte lorsque
1
1,2 . U v2 S = mg
2
0,6 . 1,3 . v2 . 28,26 = 980
d'où v2 = 44,46
et
v = 6,6 m/s
S'il tombe en chute libre, après 30 m il a une vitesse
2.9,8.30 = 24,25 m/s
2 gh =
v =
Si, à ce moment, il ouvre son parachute, il est soumis à une force de frottement
F = 0,6 . 1,3 (24,25)2 . 28,26 = 12 962 N
Cette force est dirigée vers le haut et son poids, 980 N, est dirigé vers le bas.
Il est donc soumis à une résultante de 12 962 - 980 = 11 982 N vers le haut.
201
21. Un parachutiste saute et n'ouvre son parachute qu'au moment où sa vitesse est le double
de la vitesse limite qu'il atteindrait avec le parachute ouvert. Il ouvre son parachute : à
quelle décélération est-il soumis ?
Solution : La force de frottement étant proportionnelle à v2, on peut la mettre sous la
forme kv2.
&
&
2
La vitesse limite vl est atteinte lorsque 6 F = 0 c-à-d quand kvl = mg
S'il a une vitesse v = 2 vl, il sera soumis à une force de frottement vers le haut
2
F = kv2 = k ( 2 vl)2 = 4 kvl
= 4 mg
Comme il est soumis à son poids mg vers le bas, la force résultante est 3 mg vers le haut.
L'accélération dirigée vers le haut, donc en sens inverse du mouvement, est
3 g = 29,4 m/s2.
22. Une balle de 500 g lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 20 m/s
atteint une hauteur de 15 m. Quelle est la perte d'énergie due à la résistance de l'air ?
(masse volumique de l'air = 1,3 g/litre). Quelle est la valeur moyenne de la force de
résistance de l'air ? En considérant des valeurs moyennes, quelle est la section de cette
balle ?
Solution :
Au départ, l'énergie cinétique est
0,5.20 2
= 100 J
2
Au point le plus haut, l'énergie potentielle est
Ep = 0,5 . 10 . 15 = 75 J
Ek =
Il y a une perte de 25 J qui s'est faite sur 15 m de parcours avec une force moyenne
W
25
5
=
=
N
F =
l
15
3
La force de résistance au cheminement est
5
N
F = 0,6 U S v2 =
3
U = 1,3 kg/m3
v varie de 20 à 0
v2 varie de 400 à 0 et sa valeur moyenne est 200.
On en déduit S = 0,01 m2
202
23. Une particule de masse m et de poids apparent P sédimente dans un fluide où elle est
soumise à une force de frottement proportionnelle à la vitesse v. Cette force s'écrit sous
la forme F = - kv.
a) Écrivez l'équation de la dynamique pour cette particule.
b) Résolvez cette équation différentielle pour obtenir une expression de v en fonction
de P, k, m et du temps. Les conditions initiales sont : t = 0, v = 0.
c) Faites-en une représentation graphique en graduant les axes
d) Démontrez que la vitesse maximum obtenue ci-dessus est identique à l'expression de
la vitesse limite donnée dans le syllabus.
e) Calculez la vitesse limite dans le cas d'une particule sphérique de 10 Pm de rayon et
de densité 2, sédimentant dans l'eau dont le coefficient de viscosité vaut 10-3 Pl.
f) Que vaut le nombre de Reynolds ?
Solutions :
a) P - kv = ma
dv
dt
v
t
dv
dt
³o P kv = ³o m
b) P - kv = m
P - kv = u ; -kdv = du ; dv = -
1
du
k
v
1
t
- k [ln (P - kv)]o =
m
ln
k
P kv
= -m t
P
v =
;
P - kv = P e -(k/m) t
P
(1 e ( k / m )t )
k
c)
d) vmax =
P
=
k
4
( U s U l ) S .r 3 g
2 ( U s U l )r 2 g
3
=
6SK r
K
9
203
2 (2000 1000).10.(10 5 ) 2
e) v = 9 .
=
10 3
f)
R =
2
. 10-3 m/s = 0,22 mm/s
9
1000.0,22.10 3.20.10 6
U .vd
=
= 4,4 . 10-3
K
10 3
204
B2) EXERCICES NON RESOLUS
1. De l'eau, supposée liquide parfait, circule dans un tuyau horizontal à la vitesse de 5 m/s
dans la partie de grande section (10 cm2).
La pression mesurée dans la partie de faible section (5 cm2) est 2.105 Pa.
a) Quelle est la pression dans la partie de grande section ?
b) Quel est le débit en litres par seconde ?
Réponses : a) 237,5 . 103 Pa ; b) 5 litres/s
2. Dans la loi de Poiseuille donnant la perte de charge dans une canalisation intervient la
résistance hydraulique.
a) quelles sont les dimensions de la résistance hydraulique ?
b) d'après ces dimensions, quelles sont, parmi les unités suivantes, celles qui pourraient
correspondre à une résistance hydraulique ?
N/m2 - m/s - m3 - m3/s - N.s/m5.
Réponses : a) ML-4T-1 ; b) N.s/m5
3. Le débit cardiaque d'un homme au repos est en moyenne de 5 litres par minute, mais
pendant la phase systolique il peut être trois fois supérieur.
La masse volumique du sang est 1,05 qu'on peut arrondir à 1 g/cm3.
Le coefficient de viscosité du sang est 4 . 10-3 poiseuille.
A) L'écoulement dans l'aorte (diamètre 2 cm) est-il laminaire ou turbulent
a) pour le débit moyen ?
et
b) en phase systolique ?
B) Même question pour une veine dont le diamètre est 0,5 cm qui reçoit 1 % du débit
sanguin.
Réponses :
A. a) laminaire (R = 1 326) ; b) turbulent (R = 3 980)
B. a) laminaire (R =
50) ; b) laminaire (R =
150).
4. a) Pour une différence de pression de 20 mm de mercure entre les extrémités d'un tube
horizontal de 1 cm de long, quel est le débit de l'eau si le rayon du tube est 1 mm ?
La viscosité de l'eau est 10-3 Pa.s. Densité du mercure 13,6.
b) D'après le nombre de Reynolds, le régime est-il laminaire ou turbulent ? Que doit-on
en conclure au sujet de la valeur trouvée pour le débit ?
c) Si le rayon du tube est 0,1 mm, quel est le débit ?
Le régime est-il turbulent ou laminaire et pourquoi ?
205
Réponses :
a) 1,07.10-4 m3/s = 0,107 l/s = 107 cm3/s ;
b) turbulent, donc la loi de Poiseuille n'est pas valable
c) 0,0107 cm3/s ; laminaire.
5. Le coeur est une pompe d'une puissance de 1 Watt qui assure un débit sanguin de 5 litres
par minute. On prendra pour le sang une masse volumique de 1 g/cm3 et une viscosité de
4 . 10-3 Pa.s.
a) Quelle est la perte de pression entre les extrémités du système de circulation
sanguine ?
b) Quelle est la perte de charge entre les extrémités de l'aorte qui a 40 cm de long et 1
cm de rayon ?
c) Quelle est la vitesse moyenne du sang dans l'aorte ?
d) Que vaut le nombre de Reynolds dans l'aorte ?
e) Quel devrait être le débit pour avoir un régime turbulent dans l'aorte ?
Réponses : a) 12 000 Pa ; b) 33 Pa ; c) 0,26 m/s ; d) 1 326 ;
e) 150 . 10-6 m3/s = 9 l/min.
6. Un ballon sphérique, dont le rayon est de 3 m, est gonflé à l'hélium.
Le poids de l'enveloppe du ballon (donc, sans l'hélium) est 80 kg.
La masse volumique de l'air est 1,3 g/litre et de l'hélium : 0,2 g/litre.
a) Quelle est la force ascensionnelle qui fera monter le ballon ?
b) Comment peut-on exprimer la force de résistance de l'air qui s'oppose au mouvement
du ballon ? (formule).
c) Quelle est la vitesse limite du ballon ?
Réponses :
a) 443 N ; b) 0,6 Uv2 S
;
c) 4,5 m/s
7. Un liquide a une masse volumique de 900 kg/m3 et un coefficient de viscosité
K = 0,15 Pa.s. Au fond du récipient, il y a une bulle d'air sphérique de 1 mm de
diamètre. On suppose que son volume reste constant et que sa masse est négligeable.
a) Quelle est la vitesse limite de montée de la bulle ? (g = 10 m/s2)
Vérifiez la valeur du nombre de Reynolds.
b) Si la même bulle, de même diamètre, était dans l'eau dont le coefficient de viscosité
est 10-3 Pa.s, quelle serait la vitesse limite de montée ?
Vérifiez la valeur du nombre de Reynolds et tirez-en les conclusions.
Réponses :
a) 3,33 mm/s avec R = 0,02 ;
b) 0,5 m/s avec R = 450. La formule de Stokes
n'est plus valable dans ce cas.
206
8.
Deux canalisations cylindriques, chacune de 1 m de long, sont placées à la suite l'une de
l'autre. L'une horizontale, a un diamètre d = 2 cm et de l'eau y circule de A vers B à la
vitesse de 5 cm/s. L'autre, inclinée, a un diamètre de 1 cm. La pression en A est 1 000
Pa. (Les extrémités de la canalisation ne sont pas à la pression atmosphérique).
a) Si on considère l'eau comme un liquide parfait, quelle est la pression en B ?
b) Quelle est la pression en C situé 50 cm plus bas ?
c) Quel est le débit ?
d) Si on considère l'eau comme un liquide réel dont le coefficient de viscosité est 10-3
Pa.s, quel est le nombre de Reynolds en A ?
e) Quel est le nombre de Reynolds en C ?
f) Toujours avec le liquide réel, quelle est la pression en B ?
g) Et quelle est la pression en C ?
Réponses :
9.
a) 1 000 Pa ; b) 5 981,25 Pa ; c) 15,7 cm3/s ;
d) 1 000 ; e) 2 000 ; f) 996 Pa ; g) 5 913,25 Pa.
Un submersible dont la masse est 5 500 kg et le volume 3,5 m3 s'enfonce verticalement
dans l'eau. La force de résistance au cheminement est 800 v2 newtons, v étant la vitesse
en m/s.
a) Dessinez le diagramme des forces agissant sur le submersible.
b) Quelle est sa vitesse limite de descente ?
c) Quelle est son accélération au moment où la vitesse est 3 m/s ?
Réponses :
;
a) le poids, la poussée d'Archimède et la force de résistance ; b) 5 m/s
c) 2,3 m/s2
207
10.
Un réservoir a, au niveau de sa base, une
canalisation de 1 m de long (BC) ayant un
rayon de 1 mm. Le réservoir, de très grande
A
section, est rempli, jusqu'à une hauteur h,
d'un liquide de densité 1,2 et de coefficient
de viscosité 4.10-3 Pl.
On peut négliger la perte de charge dans le
h
B
10°
réservoir.
a) Si la vitesse du fluide dans la
1m
C
canalisation vaut 10 cm/s, quel est le
débit du fluide ?
b) Combien de temps faudra-t-il pour collecter, à la sortie de la canalisation, une masse
de liquide égale à 1 kg ?
c) Que vaut le nombre de Reynolds et quelle est la perte de charge entre B et C ?
d) Quelle est la pression en B si C est à la pression atmosphérique ?
e) Que doit valoir la hauteur h, le sommet du réservoir (A) étant lui aussi à la pression
atmosphérique ?
Réponses :
a) D = S . 10-7 m3/s ; b) temps =
volume
= 2 652,6 s
débit
1
m3 ; c) R = 60 et 'p = 3 200 Pa ;
1200
1
d) pB + UghB = pC + Ughc + Uv2C + 'p
2
pB = 101 300 - 2 044,2 + 6 + 3 200 = 102 461,8 Pa ;
avec volume =
e) 9,865 cm (g = 9,81 m/s2).
11.
g = 10 m/s2
Une pompe située en A pousse un liquide de densité égale à
1 et dont le coefficient de viscosité vaut 10-3 Pl (ou Pa.s)
vers le réservoir de droite. Le diamètre de la canalisation
cylindrique vaut 5 mm et la vitesse du liquide y vaut 10
cm/s.
La section du réservoir, en B, vaut 10 cm2. La résistance
hydraulique du circuit entre A et B vaut 2,608.108 Pa.s/m3.
a) A quelle vitesse le niveau du fluide monte-t-il dans le
réservoir ?
208
b) Le réservoir étant à l'air libre et à la pression de 1 atmosphère, quelle est la pression du
fluide à la sortie de la pompe, en A, au moment où le point B est 20 cm plus haut que
le point A ?
Réponses : a) vB = 1,963 mm/s ;
1
b) pA = pB + Ug (hB - hA) + U (vB2 - vA2) + 'p = 103 832 Pa (avec pB = 101 325 Pa)
2
12. Un pipe-line horizontal de diamètre 25 cm et de longueur L est destiné à acheminer du
pétrole brut d’une station A à une station B avec un débit massique égal à 18kg/s. La densité
du pétrole vaut 0,9 et sa viscosité 0,261 Pa.s. Calculer le nombre de Reynolds et déduisez-en
la nature de l’écoulement. Si l’on dispose d’une pompe de 6kW pour faire circuler le pétrole,
quelle est la distance maximale entre les deux stations pour que le transfert soit réalisable ?
Réponses : Re = 351 donc laminaire, L = 5510 m
13. Une pompe à essence de débit volumique 0,629 L/s assure le remplissage d’un résevoir
automobile. La pompe aspire l’essence de densité 0,75 à partir d’une grande citerne dont la
surface libre située à une altitude z1 et est à pression atmosphérique. On suppose que le
niveau de la citerne descend lentement. La pompe refoule l’essence, à une altitude z 2, dans le
réservoir automobile. La conduite à une longueur de 3,32 m et un diamètre de 4 cm. La
viscosité vaut 0,0006 Pl, g = 9,8 m/s2 et z2 – z1 = 2 m. Calculez la vitesse d’écoulement de
l’essence ainsi que la puissance de la pompe.
Réponses : 0,5 m/s et 29 W
14. La figure suivante représente une installation utilisée dans un parc aquatique.
L’installation est composée d’une conduite d’aspiration AB horizontale de diamètre 15 cm et
de longueur 10 m, d’une pompe assurant un débit égal à 10,6 L/s, d’une conduite de
refoulement CD de diamètre 20 cm et de longueur 8 m, et enfin d’un tobbogan acheminant
l’eau dans la piscine par gravité. Le tout est en circuit fermé. La piscine a une profondeur de
1,5 m, la viscosité vaut 0,001 Pl, g = 9,8 m/s2 et zc – zb = 0,3 m. Calculez la puissance de la
pompe.
209
Réponse : 712 W
210
B3) ENONCES VRAIS OU FAUX.
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Pourquoi ?
1. Lorsqu'un liquide s'écoule dans un tuyau horizontal d'une grande section vers une petite
section, sa vitesse va croître.
2. Lorsqu'un liquide s'écoule dans un tuyau horizontal d'une grande section vers une petite
section, sa pression va augmenter.
3. Dans une canalisation horizontale, lorsque la vitesse du liquide augmente, la pression
diminue
4. La vitesse d'écoulement d'un liquide à travers un orifice percé dans la paroi du récipient
est plus grande dans le cas du mercure que dans le cas de l'eau.
5. Lorsqu'un parachutiste n'ouvre son parachute qu'après avoir atteint une grande vitesse en
chute libre, il peut être soumis à une force résultante dirigée vers le haut.
6. Si le parachutiste est soumis à cette force résultante dirigée vers le haut, il remonte.
Réponses :
1V - 2F - 3V - 4F - 5V - 6F