Lois de probabilité à densité

Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Chapitre XI
Lois de probabilité à densité
Francis Cortado
Collège Protestant Français de Beyrouth
30 mars 2015
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Exercice 1
1. a) On considère l’ensemble E1 des nombres décimaux
compris entre 3 et 4 (4 exclus) comportant au plus un
chiffre après la virgule. Quelle est la probabilité
d’obtenir un nombre quelconque de cet ensemble ?
b) On considère l’ensemble E2 des nombres décimaux
compris entre 3 et 4 (4 exclus) comportant au plus deux
chiffre après la virgule.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3,14
c) On considère l’ensemble E10 des nombres décimaux
compris entre 3 et 4 (4 exclus) comportant au plus dix
chiffre après la virgule.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3,141 592 653 5
2. On considère un nombre réel quelconque dans l’intervalle
[3, 4[. Quelle est la probabilité d’obtenir π ?
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
1. a) Choisir un nombre "au hasard" dans l’ensemble :
E1 = {3; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 3,7; 3,8; 3,9}
revient à ce que chaque choix ait la même probabilité
Francis Cortado
Lois à densité
1
10
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
b) D’une façon analogue, puisqu’il y a cent nombres dans
1
E2 chacun aura comme probabilité d’apparition
100
En particulier
1
p(3,14) =
100
Francis Cortado
Lois à densité
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
c) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
a) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
p(3,141 592 653 5) =
1
10 000 000 000
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
a) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
p(3,141 592 653 5) =
1
10 000 000 000
2. Pour avoir la probabilité de π, on doit considérer une infinité
de décimales,
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
a) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
p(3,141 592 653 5) =
1
10 000 000 000
2. Pour avoir la probabilité de π, on doit considérer une infinité
de décimales, ou encore prendre n décimales puis la limite
en +∞, soit
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
a) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
p(3,141 592 653 5) =
1
10 000 000 000
2. Pour avoir la probabilité de π, on doit considérer une infinité
de décimales, ou encore prendre n décimales puis la limite
en +∞, soit
1
p (π) = lim
n→+∞ 10n
d’où
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 1
a) Dans le cas de l’ensemble E10 nous obtenons 1010
nombres décimaux, qui auront tous la même probabilité
1
d’apparition, en particulier
1010
p(3,141 592 653 5) =
1
10 000 000 000
2. Pour avoir la probabilité de π, on doit considérer une infinité
de décimales, ou encore prendre n décimales puis la limite
en +∞, soit
1
p (π) = lim
n→+∞ 10n
d’où
p (π) = 0
1.1
1.2
1.3
1.4
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Lois exponentielles
Lois normales
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Exercice 2
1. À l’aide du tableur déterminer la probabilité qu’un réel
choisi au hasard dans l’intervalle [3, 4[ appartienne aux
intervalles
[3; 3,5[
;
[3,5; 4[
;
[3; 3,1[
2. Que peut on conjecturer ?
Francis Cortado
Lois à densité
;
[3,1; 3,7[
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 2
1. Utilisons le tableur Excel de la façon suivante :
• Dans la « zone nom » saisir une plage comportant 10000
cellules, par exemple « A3:B10002 », puis valider.
• Dans la zone formule saisir « =3+ ALEA() », puis valider
• Dans la zone « Édition » , dérouler le menu « remplissage »
et choisir « en bas ».
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1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 2
La colonne A est alors remplie par 10000 nombres aléatoires
compris entre 3 et 4.
Dans une cellule de la colonne B, il suffit de saisir
« =NB.SI(A3:A10002;"<3.5")/10000 » pour afficher la
fréquence demandée. Le tableau ci-dessous donne les
fréquences obtenues pour un choix des 10000 nombres.
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1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 2
2. On conjecture que
La probabilité d’avoir un réel donné est nulle.
Francis Cortado
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Cas de l’intervalle [3, 4[
Solution exercice 2
3. On conjecture que
La probabilité d’avoir un réel donné est nulle.
La probabilité d’avoir un réel compris entre α et β, où α et β
sont dans l’intervalle [3; 4] est égale à β − α
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Cas d’un intervalle quelconque [a, b]
Étude d’un exemple
Considérons l’intervalle [a, b] = [3; 8] et reprenons l’expérience
précédente sur 10 000 tirages aléatoires, on obtient les
fréquences données par le tableau suivant.
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Lois exponentielles
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1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Cas d’un intervalle quelconque [a, b]
Étude d’un exemple
D’une façon générale, on conjecture que
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Cas d’un intervalle quelconque [a, b]
Étude d’un exemple
D’une façon générale, on conjecture que
β−α 1
p [α, β] =
= β−α ×
b−a
b−a
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
c) Interprétation graphique
Remarque
les deux différences β − α et b − a peuvent s’interpréter comme
des longueurs
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Lois à densité
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
c) Interprétation graphique
Remarque
les deux différences β − α et b − a peuvent s’interpréter comme
des longueurs et leur produit comme l’aire
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
c) Interprétation graphique
Remarque
les deux différences β − α et b − a peuvent s’interpréter comme
des longueurs et leur produit comme l’aire d’un rectangle de
1
largeur β − α et de hauteur
b−a
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Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
c) Interprétation graphique
Illustration
y
y=
a
α
Francis Cortado
β
Lois à densité
b
1
b−a
x
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
d) Conclusion
La probabilité d’un intervalle peut s’écrire comme une aire et
s’exprimer comme l’intégrale d’une fonction f .
Francis Cortado
Lois à densité
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
d) Conclusion
La probabilité d’un intervalle peut s’écrire comme une aire et
s’exprimer comme l’intégrale d’une fonction f .
Dans notre exemple,
x 7→ f (x) =
Francis Cortado
1
b−a
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Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
d) Conclusion
La probabilité d’un intervalle peut s’écrire comme une aire et
s’exprimer comme l’intégrale d’une fonction f .
Dans notre exemple,
1
b−a
Graphiquement l’aire du « grand rectangle » est égale à
Zb
Zb
1
p [a, b] =
f (x) dx =
dx = 1
a
a b−a
x 7→ f (x) =
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
d) Conclusion
La probabilité d’un intervalle peut s’écrire comme une aire et
s’exprimer comme l’intégrale d’une fonction f .
Dans notre exemple,
1
b−a
Graphiquement l’aire du « grand rectangle » est égale à
Zb
Zb
1
p [a, b] =
f (x) dx =
dx = 1
a
a b−a
x 7→ f (x) =
et l’aire du petit à
Z
Zβ
p [α, β] =
f (x) dx =
α
Francis Cortado
β
α
β−α
1
dx =
b−a
b−a
Lois à densité
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Définition Variable aléatoire continue
On dit qu’une variable aléatoire est continue, si elle peut
prendre toutes les valeurs d’un intervalle I inclus dans R
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Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Définition Loi de probabilité à densité
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle
I ⊂ R, suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout
intervalle J ⊂ I, on a
Z
p (X ∈ J) = f (x) dx
J
La fonction f devant vérifier les propriétés suivantes :
f est une fonction continue sur l’intervalle I
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Définition Loi de probabilité à densité
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle
I ⊂ R, suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout
intervalle J ⊂ I, on a
Z
p (X ∈ J) = f (x) dx
J
La fonction f devant vérifier les propriétés suivantes :
f est une fonction continue sur l’intervalle I
f est une fonction positive sur l’intervalle I
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Définition Loi de probabilité à densité
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle
I ⊂ R, suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout
intervalle J ⊂ I, on a
Z
p (X ∈ J) = f (x) dx
J
La fonction f devant vérifier les propriétés suivantes :
f est une fonction continue sur l’intervalle I
f est une fonction positive sur l’intervalle I
Z
f (x) dx = 1.
I
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Lois à densité
1.1
1.2
1.3
1.4
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Remarque
On a noté :
Z
Z
Si J = [α, β],
β
f (x) dx =
J
f (x) dx
α
Francis Cortado
Lois à densité
1.1
1.2
1.3
1.4
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définitions
Remarque
On a noté :
Z
Z
β
Si J = [α, β],
f (x) dx =
f (x) dx
J
α
Z
Zx
Si J = [α, +∞[, f (t) dt = lim
f (t) dt
J
Francis Cortado
x→+∞
α
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Propriétés
Propriété
Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant
une loi de probabilités de densité f alors :
Quel que soit x0 dans I, p(X = x0 ) = 0
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Propriétés
Propriété
Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant
une loi de probabilités de densité f alors :
Quel que soit x0 dans I, p(X = x0 ) = 0
Quels que soient a et b dans I
p X ∈ [a, b] = p X ∈ [a, b[ = p X ∈ ]a, b] = p X ∈ ]a, b[
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Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Propriétés
Propriété
Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant
une loi de probabilités de densité f alors :
Quel que soit x0 dans I, p(X = x0 ) = 0
Quels que soient a et b dans I
p X ∈ [a, b] = p X ∈ [a, b[ = p X ∈ ]a, b] = p X ∈ ]a, b[
p X > a = p X > a et p X 6 b = p X < b
Francis Cortado
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Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définition et propriétés
Définition Loi uniforme
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur
l’intervalle I = [a, b], si sa densité de probabilité f est la
1
fonction constante sur I, égale à
b−a
Francis Cortado
Lois à densité
1.1
1.2
1.3
1.4
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
a) Définition et propriétés
Calcul de la probabilité d’un intervalle
Soit X une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur
l’intervalle I = [a, b].
Soient α et β tels que a 6 α 6 β 6 b, et soit J = [α, β], alors
Z
p(J) = p [α, β] =
β
α
Ou encore
p(J) =
β−α
1
dx =
b−a
b−a
Longueur de J
Longueur de I
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Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Exercice 3
X est une variable qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 10].
Calculer
a) p(X 6 3)
b) p(X > 6)
c) p(3 < X < 8)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Solution exercice 3
Puisque la loi est uniforme sur [0; 10], nous avons pour tout
a < b éléments de cet intervalle :
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Solution exercice 3
Puisque la loi est uniforme sur [0; 10], nous avons pour tout
a < b éléments de cet intervalle :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
10 − 0
10
D’où
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Solution exercice 3
Puisque la loi est uniforme sur [0; 10], nous avons pour tout
a < b éléments de cet intervalle :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
10 − 0
10
D’où
3
a) p(X 6 3) = p([0; 3]) =
10
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Solution exercice 3
Puisque la loi est uniforme sur [0; 10], nous avons pour tout
a < b éléments de cet intervalle :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
10 − 0
10
D’où
3
a) p(X 6 3) = p([0; 3]) =
10
4
2
b) p(X > 6) = p([6; 10]) =
=
10 5
Francis Cortado
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Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Exercices
Solution exercice 3
Puisque la loi est uniforme sur [0; 10], nous avons pour tout
a < b éléments de cet intervalle :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
10 − 0
10
D’où
3
a) p(X 6 3) = p([0; 3]) =
10
4
2
b) p(X > 6) = p([6; 10]) =
=
10 5
5
1
c) p(3 < X < 8) = p(]3; 8[) =
=
10 2
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Exercice 4
Á partir de sept heures les bus passent toutes les quinze
minutes à un arrêt A.
Un usager se présente en A entre sept et sept heures trente.
On fait l’hypothèse que la durée X en minutes entre sept
heures et l’heure de son arrivée en A est une variable aléatoire
uniformément répartie sur l’intervalle [0; 30] ?
Quelle est la probabilité des événements E et F suivants :
1. E : l’usager attend le bus moins de cinq minutes
2. F : l’usager attend le bus plus de dix minutes
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
Puisque la loi est uniforme sur [0; 30], pour tout a < b :
p([a, b]) =
Francis Cortado
b−a
b−a
=
30 − 0
30
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
Puisque la loi est uniforme sur [0; 30], pour tout a < b :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
30 − 0
30
1. E signifie que l’usager arrive entre 7h10 et 7h15 ou entre
7h25 et 7h30, soit
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
Puisque la loi est uniforme sur [0; 30], pour tout a < b :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
30 − 0
30
1. E signifie que l’usager arrive entre 7h10 et 7h15 ou entre
7h25 et 7h30, soit
E = {10 < X < 15} ∪ {25 < X < 30}
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
Puisque la loi est uniforme sur [0; 30], pour tout a < b :
p([a, b]) =
b−a
b−a
=
30 − 0
30
1. E signifie que l’usager arrive entre 7h10 et 7h15 ou entre
7h25 et 7h30, soit
E = {10 < X < 15} ∪ {25 < X < 30}
Ces deux événements étant incompatibles, il vient :
p (E) = p (10 < X < 15) + p (25 < X < 30) =
Francis Cortado
Lois à densité
5
1
5
+
=
30 30 3
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
2. F signifie que l’usager arrive entre 7h00 et 7h05 ou entre
7h15 et 7h20, soit
F = (0 < X < 5) ∪ (15 < X < 20)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Solution exercice 4
2. F signifie que l’usager arrive entre 7h00 et 7h05 ou entre
7h15 et 7h20, soit
F = (0 < X < 5) ∪ (15 < X < 20)
Ces deux événements étant incompatibles, il vient :
p (E) = p (0 < X < 5) + p (15 < X < 20) =
Francis Cortado
Lois à densité
5
1
5
+
=
30 30 3
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
a) Étude d’une simulation numérique pour l a loi
uniforme
Effectuons, à l’aide du logiciel Scilab, deux simulations d’un
tirage de 100 000 nombres aléatoires sur l’intervalle [3; 8],
nous obtenons :
La valeur moyenne est à peu prés égale à 5, 5, soit la moyenne
des extrémités de l’intervalle considéré.
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
b) Espérance mathématique d’une loi uniforme
Définition
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un
intervalle [a, b].
On appelle espérance mathématique de X le réel noté E(X) et
défini par :
a+b
E(X) =
2
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
a + b (b + a)(b − a)
=
2
2(b − a)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
a + b (b + a)(b − a)
=
2
2(b − a)
2
b − a2
=
2(b − a)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
a + b (b + a)(b − a)
=
2
2(b − a)
2
b − a2
=
2(b − a)
!
1
b 2 a2
=
×
−
b−a
2
2
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
a + b (b + a)(b − a)
=
2
2(b − a)
2
b − a2
=
2(b − a)
!
1
b 2 a2
=
×
−
b−a
2
2
Zb
1
=
×
x dx =
b−a
a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
Remarque
On remarque que
a + b (b + a)(b − a)
=
2
2(b − a)
2
b − a2
=
2(b − a)
!
1
b 2 a2
=
×
−
b−a
2
2
Zb
1
=
×
x dx =
b−a
a
Zb
1
=
dx
x×
b−a
a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction à la loi uniforme
Variable aléatoire suivant une loi à densité
Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
Espérance mathématique
c) Généralisation à une loi quelconque
Définition Espérance mathématique d’une loi à densité
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité f sur un
intervalle [a, b].
On appelle espérance mathématique de X, le réel noté E(X)
défini par
Zb
x × f (x) dx
E(X) =
a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Définition
Définition
On dit qu’une variable aléatoire T, à valeurs dans [0, +∞[, suit
une loi exponentielle de paramètre λ > 0, si sa fonction de
densité de probabilité est
t 7→ λ e−λ t
Pour tout réel positifs a et b on aura
Zb
p [a, b] =
λ e−λ t dt
a
Francis Cortado
Lois à densité
a) Définition
Représentation graphique de la fonction de densité
S(0, λ)
Zb
p [a, b] =
λ e−λt dt
a
y = λ e−λt
a
b
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
b) Propriétés
Propriétés
h
ib
p [a, b] = − e−λ t = e−λ a − e−λ b
a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
b) Propriétés
Propriétés
h
ib
p [a, b] = − e−λ t = e−λ a − e−λ b
a
p(T 6 b) = p [0, b] = 1 − e−λ b
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
b) Propriétés
Propriétés
h
ib
p [a, b] = − e−λ t = e−λ a − e−λ b
a
p(T 6 b) = p [0, b] = 1 − e−λ b
p(T > a) = e−λ a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
c) Espérance mathématique
Définition
On appelle espérance mathématique de la loi
exponentielle de paramètre λ, le réel E défini par
Zx
E = lim
t × λ e−λ t dt
x→+∞
Francis Cortado
0
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
c) Espérance mathématique
Définition
On appelle espérance mathématique de la loi
exponentielle de paramètre λ, le réel E défini par
Zx
E = lim
t × λ e−λ t dt
x→+∞
0
On montre que
E=
Francis Cortado
1
λ
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Théorème
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de
paramètre λ > 0.
Alors pour tous réels positifs t et h
pT>t (T > t + h) = p(T > h)
On dit que T suit une loi à durée de vie sans vieillissement
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
pT>t (T > t + h) =
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
p (T > t)
Francis Cortado
Lois à densité
=
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
p (T > t)
Francis Cortado
Lois à densité
=
p(T > t + h)
p (T > t)
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
p (T > t)
D’où
Francis Cortado
Lois à densité
=
p(T > t + h)
p (T > t)
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
D’où
p (T > t)
e−λ (t+h)
pT>t T > t + h = −λ t =
e
Francis Cortado
Lois à densité
=
p(T > t + h)
p (T > t)
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
D’où
p (T > t)
=
p(T > t + h)
p (T > t)
e−λ (t+h)
pT>t T > t + h = −λ t = e−λ t−λ h+λ t =
e
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
D’où
p (T > t)
=
p(T > t + h)
p (T > t)
e−λ (t+h)
pT>t T > t + h = −λ t = e−λ t−λ h+λ t = e−λ h
e
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
2.1 Définition et propriétés
2.2 Loi à durée de vie sans vieillissement
a) Théorème et définition
Démonstration.
p {T > t} ∩ {T > t + h}
pT>t (T > t + h) =
D’où
p (T > t)
=
p(T > t + h)
p (T > t)
e−λ (t+h)
pT>t T > t + h = −λ t = e−λ t−λ h+λ t = e−λ h
e
Soit
pT>t (T > t + h) = p(T > h)
Francis Cortado
Lois à densité
b) Exercice
Exercice 5
La durée de vie en heures d’une ampoule électrique est une
variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
λ, où λ est strictement positif.
1. Sachant que p(X 6 1000) = 0, 229, donner la valeur exacte
de λ, et en donner une valeur approchée à 10−5 près.
2. a) Sachant que l’événement (X > 1000) est réalisé,
déterminer la probabilité de l’événement (X > 2500).
b) Démontrer que, pour tout réels t > 0 et h > 0 :
pX>t (X 6 t + h) = p (X 6 h)
c) Sachant qu’une ampoule a fonctionné plus de 3000
heures, quelle est la probabilité qu’elle tombe en panne
avant 4000 heures ?
3. Déterminer la durée moyenne de vie d’une ampoule
électrique (on arrondira à l’heure prés)
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
b) On sait que pour tout réel t > 0 et h > 0
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
b) On sait que pour tout réel t > 0 et h > 0
pX>t (X 6 t + h)
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
b) On sait que pour tout réel t > 0 et h > 0
pX>t (X 6 t + h) = 1 − pX>t (X > t + h)
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
b) On sait que pour tout réel t > 0 et h > 0
pX>t (X 6 t + h) = 1 − pX>t (X > t + h)
= 1 − p(X > h)
Solution exercice 5
1. Nous avons 1 − e−λ×1000 = 0,229, soit
e−λ×1000 = 1 − 0,229 = 0,771
ln 0,771
' 0,000 26.
1000
2. a) En remarquant que 2500 = 1500 + 1000, puisque la loi
exponentielle est une loi à durée de vie sans
vieillissement, nous obtenons
D’où −1000λ = ln 0,771 et λ = −
pX>1000 (X > 1500 + 1000) = p(X > 1500) = e−1500λ ' 0, 677
b) On sait que pour tout réel t > 0 et h > 0
pX>t (X 6 t + h) = 1 − pX>t (X > t + h)
= 1 − p(X > h)
= p(X 6 h)
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
d’après la question précédente, nous obtenons
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
d’après la question précédente, nous obtenons
pX>3000 (X 6 4000) = p(X 6 1000) = 0,229
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
d’après la question précédente, nous obtenons
pX>3000 (X 6 4000) = p(X 6 1000) = 0,229
3. La durée de vie moyenne d’une ampoule est donnée par
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
d’après la question précédente, nous obtenons
pX>3000 (X 6 4000) = p(X 6 1000) = 0,229
3. La durée de vie moyenne d’une ampoule est donnée par
E(X) =
1
' 3846
λ
Solution exercice 5
c) On cherche
pX>3000 (X 6 4000) = pX>3000 (X 6 3000 + 1000)
d’après la question précédente, nous obtenons
pX>3000 (X 6 4000) = p(X 6 1000) = 0,229
3. La durée de vie moyenne d’une ampoule est donnée par
E(X) =
1
' 3846
λ
La durée de vie moyenne d’une ampoule est d’environ
3846 heures.
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
a) Exercices
Exercice 6
Deux entreprises envoient par jour un certain nombre de
lettres qui ont, deux chances sur trois de parvenir le lendemain
à leur destinataire.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de lettres
qui arrivent le lendemain.
I- Une P.M.E envoie environ 30 lettres par jour.
1. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart
type.
2. Déterminer, la probabilité qu’au moins 20 de ces lettres
arrivent le lendemain.
3. Représenter par un diagramme en bâtons, la probabilité
pour que k lettres arrivent le lendemain.
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 30 et p =
2
3
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 30 et p =
2
E(X) = 30 × = 20
3
r
et
σ(X) =
30 ×
2
3
2 1
× ' 2,582
3 3
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 30 et p =
2
E(X) = 30 × = 20
3
r
et
σ(X) =
30 ×
2 1
× ' 2,582
3 3
! k 30−k
30
X
30
2
1
×
×
' 0,584 9
2. p(X > 20) =
k
3
3
k=20
2
3
a) Exercices
Solution exercice 6
3. GeoGebra nous permet d’effectuer cette représentation
a) Exercices
Suite de l’énoncé
II-Une autre P.M.E, envoie environ 300 lettres par jour.
1. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart
type.
2. Déterminer, la probabilité qu’au moins 210 de ces lettres
arrivent le lendemain ?
3. Représenter la loi de probabilités de X, par un diagramme
en bâtons.
4. Comparer les cas I et II
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p =
2
3
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p =
2
E(X) = 300 × = 200
3
r
et
σ(X) =
300 ×
2
3
2 1
× ' 8,165
3 3
a) Exercices
Solution exercice 6
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p =
2
E(X) = 300 × = 200
3
r
et
σ(X) =
300 ×
2 1
× ' 8,165
3 3
! k 300−k
300
X
300
2
1
2. p(X > 210) =
×
×
' 0,122
k
3
3
k=210
2
3
a) Exercices
Solution exercice 6
3. GeoGebra nous permet d’effectuer cette représentation
a) Exercices
Exercice 7
Deux producteurs A et B de foie gras d’oie produisent des foies
gras d’un poids de moyenne et d’écart type variables
On choisit un foie gras au hasard dans chacune des
productions, et on note X A (resp. X B ) la variable aléatoire
donnant le poids en gramme du foie gras considéré.
Pour A : moyenne µA = 750, écart type σA = 100
Pour B : moyenne µB = 690, écart type σB = 120
1. Un foie gras de la production A a pour poids x = 800g.
a) De combien le poids x s’écarte-t-il
moyen µA ?
du poids
b) Combien d’écart-type σA l’écart x − µA représente-t-il ?
Ce nombre z est appelé "poids centré réduit"
2. a) On définit une nouvelle variable aléatoire ZA poids
"centré-réduit", en donner une expression .
b) Déterminer E(ZA ) et σ(ZA ).
c) Expliquer la terminologie "centré-réduit".
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
b)
x − µA
50
=
= 0, 5, donc
σA
100
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
b)
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
X − µA
.
2. a) ZA = A
σA
b)
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
X − µA
.
2. a) ZA = A
σA
!
X A µA
b) E(ZA ) = E
−
σA σA
b)
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
X − µA
.
2. a) ZA = A
σA
!
X A µA
b) E(ZA ) = E
−
σA σA
µ
Or A est une constante et nous savons que
σA
b)
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
X − µA
.
2. a) ZA = A
σA
!
X A µA
b) E(ZA ) = E
−
σA σA
µ
Or A est une constante et nous savons que
σA
b)
E (aX + b) = a × E(X) + b
a) Exercices
Solution exercice 7
1. a) x = 800 s’écarte de 800 − 750 = 50 g du poids moyen µA .
x − µA
50
=
= 0, 5, donc x − µA représente 0, 5 fois σA .
σA
100
X − µA
.
2. a) ZA = A
σA
!
X A µA
b) E(ZA ) = E
−
σA σA
µ
Or A est une constante et nous savons que
σA
b)
E (aX + b) = a × E(X) + b
d’où
E(ZA ) =
µ
µ
1
1
E(X A ) − A =
× µA − A = 0
σA
σA σA
σA
a) Exercices
Solution exercice 7
De plus
Var (aX + b) = a2 × Var(X)
D’où
a) Exercices
Solution exercice 7
De plus
Var (aX + b) = a2 × Var(X)
D’où
!
X A µA
1
Var (ZA ) = Var
−
= 2 × Var(X A )
σ A σA
σA
a) Exercices
Solution exercice 7
De plus
Var (aX + b) = a2 × Var(X)
D’où
!
X A µA
1
Var (ZA ) = Var
−
= 2 × Var(X A )
σ A σA
σA
Soit
Var (ZA ) =
D’où
1
× σA2 = 1
2
σA
a) Exercices
Solution exercice 7
De plus
Var (aX + b) = a2 × Var(X)
D’où
!
X A µA
1
Var (ZA ) = Var
−
= 2 × Var(X A )
σ A σA
σA
Soit
Var (ZA ) =
1
× σA2 = 1
2
σA
D’où
p
σ (ZA ) = Var (ZA ) = 1
a) Exercices
Solution exercice 7
De plus
Var (aX + b) = a2 × Var(X)
D’où
!
X A µA
1
Var (ZA ) = Var
−
= 2 × Var(X A )
σ A σA
σA
Soit
Var (ZA ) =
1
× σA2 = 1
2
σA
D’où
p
σ (ZA ) = Var (ZA ) = 1
c) La variable aléatoire ZA a pour espérance 0 (centré) et
pour écart-type 1 (réduit).
a) Exercices
Suite de l’énoncé
3. Le producteur A estime que vous aurez un "gros foie gras" à
partir de 800 g, tandis que B pense que pour sa production
cela sera le cas s’il dépasse 750 g.
a) Exprimer les deux variables aléatoires ZA et ZB .
On supposera qu’elles suivent la même loi de probabilité
b) De façon à avoir un foie gras "sensiblement plus gros que
la moyenne", vaut-il mieux prendre un foie gras du
producteur A ou du producteur B ?
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µA X A − 750
=
3. a) ZA = A
σA
100
et
ZB =
X B − µB X B − 690
=
σB
120
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
X − 750 800 − 750
>
= p (ZA > 0,5)
p(X A > 800) = p A
100
100
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
X − 750 800 − 750
>
= p (ZA > 0,5)
p(X A > 800) = p A
100
100
Un foie gras du producteur B sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 750 g
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
X − 750 800 − 750
>
= p (ZA > 0,5)
p(X A > 800) = p A
100
100
Un foie gras du producteur B sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 750 g
X B − 690 750 − 690
p(X B > 750) = p
>
= p(ZB > 0,5)
120
120
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
X − 750 800 − 750
>
= p (ZA > 0,5)
p(X A > 800) = p A
100
100
Un foie gras du producteur B sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 750 g
X B − 690 750 − 690
p(X B > 750) = p
>
= p(ZB > 0,5)
120
120
Par hypothèse ZA et ZB suivent la même loi,
a) Exercices
Solution exercice 6
X − µB X B − 690
X − µA X A − 750
=
et ZB = B
=
3. a) ZA = A
σA
100
σB
120
b) Un foie gras du producteur A sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 800 g
X − 750 800 − 750
>
= p (ZA > 0,5)
p(X A > 800) = p A
100
100
Un foie gras du producteur B sera plus gros que la
moyenne s’il pèse plus de 750 g
X B − 690 750 − 690
p(X B > 750) = p
>
= p(ZB > 0,5)
120
120
Par hypothèse ZA et ZB suivent la même loi, les deux
probabilités p (ZA > 0,5) et p (ZB > 0,5) sont donc égales.
b) Synthèse
Dans le cas de lois binomiales de paramètres n et p avec n
grand la représentation par un diagramme en bâtons se
rapproche de plus en plus de l’aire sous une courbe.
b) Synthèse
Dans le cas de lois binomiales de paramètres n et p avec n
grand la représentation par un diagramme en bâtons se
rapproche de plus en plus de l’aire sous une courbe.
La fonction correspondante sera la densité de probabilités
de la variable aléatoire continue représentée.
b) Synthèse
Dans le cas de lois binomiales de paramètres n et p avec n
grand la représentation par un diagramme en bâtons se
rapproche de plus en plus de l’aire sous une courbe.
La fonction correspondante sera la densité de probabilités
de la variable aléatoire continue représentée.
Centrer et réduire une variable aléatoire X de moyenne µ
et d’écart type σ, c’est poser
Z=
X−µ
σ
b) Synthèse
Dans le cas de lois binomiales de paramètres n et p avec n
grand la représentation par un diagramme en bâtons se
rapproche de plus en plus de l’aire sous une courbe.
La fonction correspondante sera la densité de probabilités
de la variable aléatoire continue représentée.
Centrer et réduire une variable aléatoire X de moyenne µ
et d’écart type σ, c’est poser
Z=
X−µ
σ
Centrer et réduire des variables aléatoires permet de les
comparer .
c) Synthèse
Centrer et réduire
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
a) Observation pour n = 500 et p = 0,25
b) Observation
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Le point M de coordonnées (a, f (a))
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Le point M de coordonnées (a, f (a))
La tangente (T) à la courbe au point M.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Le point M de coordonnées (a, f (a))
La tangente (T) à la courbe au point M.
Le point B, intersection de (T) avec l’axe des abscisses.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Le point M de coordonnées (a, f (a))
La tangente (T) à la courbe au point M.
Le point B, intersection de (T) avec l’axe des abscisses.
On fait varier la valeur de a, on constate alors que le produit
OA × AB est constant :
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Soit alors :
Un point A de coordonnées (a, 0), avec a > 0, pour fixer les
idées.
Le point M de coordonnées (a, f (a))
La tangente (T) à la courbe au point M.
Le point B, intersection de (T) avec l’axe des abscisses.
On fait varier la valeur de a, on constate alors que le produit
OA × AB est constant :
OA × AB = 1
Francis Cortado
(1)
Lois à densité
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Nous obtenons l’abscisse de B en résolvant
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Nous obtenons l’abscisse de B en résolvant
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0
On remarque graphiquement, que pour a > 0, on a f 0 (a) , 0.
D’où
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Nous obtenons l’abscisse de B en résolvant
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0
On remarque graphiquement, que pour a > 0, on a f 0 (a) , 0.
D’où
f (a)
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0 ⇔ x = a − 0
f (a)
Soit
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Nous obtenons l’abscisse de B en résolvant
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0
On remarque graphiquement, que pour a > 0, on a f 0 (a) , 0.
D’où
f (a)
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0 ⇔ x = a − 0
f (a)
f (a)
f (a)
f (a)
Soit xB = a − 0
et AB = a − 0
−a = − 0
f (a)
f (a)
f (a)
c) Détermination de l’équation de la courbe
L’équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f
au point M est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Nous obtenons l’abscisse de B en résolvant
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0
On remarque graphiquement, que pour a > 0, on a f 0 (a) , 0.
D’où
f (a)
f 0 (a)(x − a) + f (a) = 0 ⇔ x = a − 0
f (a)
f (a)
f (a)
f (a)
Soit xB = a − 0
et AB = a − 0
−a = − 0
f (a)
f (a)
f (a)
Comme OA = a, la relation (1), donne :
!
f (a)
a× − 0
=1
f (a)
Soit
−a =
f 0 (a)
f (a)
(2)
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
il vient
x2
−x = −
2
et que
0
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
x2
−x = −
2
et que
0
il vient
0
ln (f (x))
x2
= −
2
!0
⇔ ln (f (x)) = −
x2
+C
2
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
x2
−x = −
2
et que
0
il vient
0
ln (f (x))
Soit
x2
= −
2
x2
!0
⇔ ln (f (x)) = −
x2
x2
f (x) = e− 2 +C = eC × e− 2 = K e− 2
x2
+C
2
(3)
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
x2
−x = −
2
et que
0
il vient
0
ln (f (x))
Soit
x2
= −
2
x2
!0
⇔ ln (f (x)) = −
x2
x2
f (x) = e− 2 +C = eC × e− 2 = K e− 2
x2
+C
2
(3)
La relation(3) donne f (0) = K, par lecture graphique f (0) ' 0,4
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
x2
−x = −
2
et que
0
il vient
0
ln (f (x))
Soit
x2
= −
2
x2
!0
⇔ ln (f (x)) = −
x2
x2
f (x) = e− 2 +C = eC × e− 2 = K e− 2
x2
+C
2
(3)
La relation(3) donne f (0) = K, par lecture graphique f (0) ' 0,4
1
On montre que K = √ , d’où pour tout réel x :
2π
c) Détermination de l’équation de la courbe
Ou encore, pour tout réel strictement positif x,
f 0 (x)
= −x
f (x)
Puisque
0
f 0 (x)
= ln (f (x))
f (x)
x2
−x = −
2
et que
0
il vient
0
ln (f (x))
Soit
x2
= −
2
x2
!0
⇔ ln (f (x)) = −
x2
x2
f (x) = e− 2 +C = eC × e− 2 = K e− 2
x2
+C
2
(3)
La relation(3) donne f (0) = K, par lecture graphique f (0) ' 0,4
1
On montre que K = √ , d’où pour tout réel x :
2π
x2
1
f (x) = √ e− 2
2π
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
a) Énoncé
Théorème de Moîvre-Laplace
Soit n un entier naturel, et soit Xn une variable aléatoire qui
suit une loi binomiale B(n, p).
Soit Zn la variable centrée réduite correspondante :
X − np
Zn = p n
np(1 − p)
Alors pour tout réel a et b, tels que a < b :
Z
lim p (a 6 Zn 6 b) =
n→+∞
b
a
x2
1
√ e− 2 dx
2π
b) Visualisation
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Fonction de densité
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée
réduite, notée N (0, 1), si elle admet pour densité de probabilité
la fonction f définie sur R par
x2
1
f (x) = √ e− 2
2π
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Fonction de densité
Probabilité d’un intervalle
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée
réduite, alors pour tout réel a et b tels que a < b, on a
Z
p (a 6 X 6 b) = p [a, b] =
b
a
Francis Cortado
x2
1
√ e− 2 dx
2π
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
Exercice 7
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite.
1. A l’aide de la ClassPad calculer les probabilités suivantes :
p X 6 1,35 ; p X > −0,35 ; p X > 5,45
2. A l’aide du logiciel Xcas calculer les probabilités suivantes :
p 0 6 X 6 1,6 ; p(X 6 2,51 ; p −0,4 < X 6 0,4
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
Solution exercice 7
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
Solution exercice 7
La syntaxe sur Xcas est « normal cdf », avec en argument la
valeur inférieure, puis la valeursupérieure.
Si on souhaite calculer p X 6 a , il suffit de renseigner
uniquement la valeur a
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
Exercice 8
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite.
A l’aide de GeoGebra, calculer et visualiser les probabilités
suivantes.
1. a) p(X 6 −0,5) et p(X > 0,5)
b) p(X > −0,5) et p(X 6 0,5)
2. a) p(−0,5 6 X 6 0,5) et p(−1 6 X 6 1)
b) p(−2 6 X 6 2) et p(−3 6 X 6 3)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
1. a)
p(X 6 −0,5) = p(X > 0,5) = 0,308 5
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
b)
p(X > −0,5) = p(X 6 0,5) = 0,691 5
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
2. a)
p(−0,5 6 X 6 0,5) = 0,382 9
Francis Cortado
et
p(−1 6 X 6 1) = 0,682 7
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercices
b)
p(−2 6 X 6 2) = 0,954 5
Francis Cortado
et p(−3 6 X 6 3) = 0,997 3
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Propriétés de symétrie
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite, et soit u un réel positif.
p(X > 0) = p(X 6 0) = 0,5
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Propriétés de symétrie
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite, et soit u un réel positif.
p(X > 0) = p(X 6 0) = 0,5
p(X 6 −u) = p(X > u) = 1 − p(X 6 u)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Propriétés de symétrie
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite, et soit u un réel positif.
p(X > 0) = p(X 6 0) = 0,5
p(X 6 −u) = p(X > u) = 1 − p(X 6 u)
p(−u 6 X 6 u) = 1 − 2p(X > u) = 2p(X 6 u) − 1
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Propriétés de symétrie
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Propriétés de symétrie
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Espérance et variance
Définition
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite.
On appelle espérance de X, le réel défini par
Z0
Zy
E(X) = lim
t f (t) dt + lim
t f (t) dt
x→−∞
x
y→+∞
0
Où t 7→ f (t) est la densité de probabilité de X
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Espérance et variance
Définition
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite.
On appelle espérance de X, le réel défini par
Z0
Zy
E(X) = lim
t f (t) dt + lim
t f (t) dt
x→−∞
x
y→+∞
0
Où t 7→ f (t) est la densité de probabilité de X
On appelle variance de X le réel positif défini par
Var(X) = E (X − E(X))2
Francis Cortado
Lois à densité
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Espérance et variance
Propriété
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite, alors
E(X) = 0
et Var(X) = 1
E(X) = 0
et
ou encore
Francis Cortado
σ 2 (X) = 1
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Exercices
Exercice 9
1. A l’aide de GeoGebra, déterminer graphiquement un réel
positif u tel que
p (−u 6 X 6 u) = 0,95
Combien existe-t-il de valeurs qui répondent à cette
question ?
2. A l’aide de la ClassPad, déterminer par le calcul un un réel
positif t tel que
p (−t 6 X 6 t) = 0,99
Combien existe-t-il de valeurs qui répondent à cette
question ?
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Exercices
Solution exercice 9
On obtient t = 1,96 et cette valeur est unique.
Francis Cortado
Lois à densité
c) Exercices
Solution exercice 9
De même, on obtient une unique valeur t ∼ 2,58
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
d) Théorème
Théorème
Soit Z une une variable aléatoire suivant une loi normale
centrée réduite N (0, 1).
Pour tout α ∈ ]0, 1[, il existe un unique réel positif noté uα tel
que :
p − uα 6 Z 6 uα = 1 − α
Francis Cortado
Lois à densité
Illustration
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
On constate graphiquement que
Z
u
p (−u 6 Z 6 u) = 2p (0 6 Z 6 u) = 2 ×
f (x) dx
0
Francis Cortado
Lois à densité
(1)
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
On constate graphiquement que
Z
u
p (−u 6 Z 6 u) = 2p (0 6 Z 6 u) = 2 ×
f (x) dx
(1)
0
Posons
Z
u
G(u) =
f (x) dx
(2)
0
Où f est la fonction de densité de la loi normale centrée
réduite.
Francis Cortado
Lois à densité
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
On constate graphiquement que
Z
u
p (−u 6 Z 6 u) = 2p (0 6 Z 6 u) = 2 ×
f (x) dx
(1)
0
Posons
Z
u
G(u) =
f (x) dx
(2)
0
Où f est la fonction de densité de la loi normale centrée
réduite.
La relation (2) signifie que la fonction G est l’unique primitive
définie sur R de la fonction f qui s’annule en 0.
Francis Cortado
Lois à densité
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
On constate graphiquement que
Z
u
p (−u 6 Z 6 u) = 2p (0 6 Z 6 u) = 2 ×
f (x) dx
(1)
0
Posons
Z
u
G(u) =
f (x) dx
(2)
0
Où f est la fonction de densité de la loi normale centrée
réduite.
La relation (2) signifie que la fonction G est l’unique primitive
définie sur R de la fonction f qui s’annule en 0.
D’où G0 (u) = f (u), or f est positive sur R, la fonction G est donc
croissante sur R.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
1
De plus G(0) = 0 et lim G(u) = A = .
u→+∞
2
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
1
De plus G(0) = 0 et lim G(u) = A = .
u→+∞
2
On obtient le tableau de variations suivant :
u
+∞
0
2 × G0 (u)
2 × G(u)
+
1
0
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
Comme 0 6 1 − α 6 1, d’après le tableau de variations de la
fonction 2 × G,
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
Comme 0 6 1 − α 6 1, d’après le tableau de variations de la
fonction 2 × G, on en déduit qu’il existe un unique réel noté uα
tel que
2 × G(uα ) = 1 − α
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Démonstration.
Comme 0 6 1 − α 6 1, d’après le tableau de variations de la
fonction 2 × G, on en déduit qu’il existe un unique réel noté uα
tel que
2 × G(uα ) = 1 − α
donc d’après (1) tel que
p (−u 6 Z 6 u) = 1 − uα
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Remarque
L’exercice 9 nous a permis d’obtenir les valeurs suivantes :
Pour α = 0,05, soit 1 − α = 0,95, on trouve uα = 1,96
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Remarque
L’exercice 9 nous a permis d’obtenir les valeurs suivantes :
Pour α = 0,05, soit 1 − α = 0,95, on trouve uα = 1,96
Pour α = 0,01, soit 1 − α = 0,99, on trouve uα = 2,58
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Plan de la présentation
1
2
Lois de probabilités à
densité
1.1 Introduction à la loi
uniforme
1.2 Variable aléatoire
suivant une loi à densité
1.3 Loi uniforme sur un
intervalle [a, b]
1.4 Espérance
mathématique
Lois exponentielles
Francis Cortado
3
2.1 Définition et
propriétés
2.2 Loi à durée de vie
sans vieillissement
Lois normales
3.1 Introduction
3.2 Étude de la courbe
3.3 Théorème de
Moîvre-Laplace
3.4 Loi normale centrée
réduite N (0, 1)
3.5 Propriétés
3.6 Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Définition
Définition Loi normale N (µ, σ 2 )
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), si la
variable aléatoire
X−µ
Z=
σ
suit la loi normale centrée réduite N (0, 1)
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
a) Définition
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
b) Exercice
Exercice 10
Déterminer les probabilité suivantes à 10−3 près
1. X suit une loi normale N (3; 1) :
p(X > 3)
;
p(−1 6 X 6 2)
;
p(4 < X < 7)
2. T suit une loi normale N (7,2; 1,22 ) :
p(T > 6)
;
p(6,5 6 T 6 7)
Francis Cortado
;
Lois à densité
p(5,4 < T < 7,9)
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Solution exercice 10
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Solution exercice 10
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Propriétés
Espérance et variance d’une loi normale.
Soit X une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ 2 ).
Son espérance est E(X) = µ.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Propriétés
Espérance et variance d’une loi normale.
Soit X une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ 2 ).
Son espérance est E(X) = µ.
Sa variance est Var(X) = σ 2 , et son écart-type est σ.
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
Francis Cortado
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Propriétés
Probabilité de certains intervalles centrés sur µ
X suit une loi normale de paramètre µ et σ 2 .
p (X ∈ [µ − σ, µ + σ]) ' 0,68
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Propriétés
Probabilité de certains intervalles centrés sur µ
X suit une loi normale de paramètre µ et σ 2 .
p (X ∈ [µ − σ, µ + σ]) ' 0,68
p (X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]) ' 0,95
Francis Cortado
Lois à densité
Lois de probabilités à densité
Lois exponentielles
Lois normales
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Introduction
Étude de la courbe
Théorème de Moîvre-Laplace
Loi normale centrée réduite N (0, 1)
Propriétés
Loi normale N (µ, σ 2 )
c) Propriétés
Probabilité de certains intervalles centrés sur µ
X suit une loi normale de paramètre µ et σ 2 .
p (X ∈ [µ − σ, µ + σ]) ' 0,68
p (X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]) ' 0,95
p (X ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ]) ' 0,997
Francis Cortado
Lois à densité
Démonstration.
On pose
X−µ
σ
Z suit alors une loi normale centrée réduite, et
Z=
Démonstration.
On pose
X−µ
σ
Z suit alors une loi normale centrée réduite, et
p X ∈ [µ − σ, µ + σ] = p (µ − σ 6 X 6 µ + σ)
Z=
Démonstration.
On pose
X−µ
σ
Z suit alors une loi normale centrée réduite, et
p X ∈ [µ − σ, µ + σ] = p (µ − σ 6 X 6 µ + σ)
Z=
Comme σ > 0, il vient
µ − σ 6 X 6 µ + σ ⇐⇒ −σ 6 X − µ 6 σ ⇐⇒ −1 6
X−µ
61
σ
Démonstration.
On pose
X−µ
σ
Z suit alors une loi normale centrée réduite, et
p X ∈ [µ − σ, µ + σ] = p (µ − σ 6 X 6 µ + σ)
Z=
Comme σ > 0, il vient
µ − σ 6 X 6 µ + σ ⇐⇒ −σ 6 X − µ 6 σ ⇐⇒ −1 6
Soit
µ − σ 6 X 6 µ + σ ⇐⇒ −1 6 Z 6 1
et donc
X−µ
61
σ
Démonstration.
On pose
X−µ
σ
Z suit alors une loi normale centrée réduite, et
p X ∈ [µ − σ, µ + σ] = p (µ − σ 6 X 6 µ + σ)
Z=
Comme σ > 0, il vient
µ − σ 6 X 6 µ + σ ⇐⇒ −σ 6 X − µ 6 σ ⇐⇒ −1 6
X−µ
61
σ
Soit
µ − σ 6 X 6 µ + σ ⇐⇒ −1 6 Z 6 1
et donc
p X ∈ [µ − σ, µ + σ] = p (−1 6 Z 6 1) ' 0,68
Illustration