ANGLES ORIENTES. TRIGONOMETRIE.

ANGLES ORIENTES. TRIGONOMETRIE.
I. Cercle trigonométrique, radian.
Une unité de longueur étant choisie dans le plan, O est un point du plan et est le cercle de centre O et de
rayon 1. [I I] et [JJ ] sont deux diamètres perpendiculaires de .
1. Longueur d un arc de cercle.
Compléter le tableau suivant où M est un point du cercle .
Mesure de l angle 
360°
180°
90°
45°
30°
0°
Longueur de l arc IM
2
/2
/4
/6
0
2. Enroulement de la droite numérique.
Dans le plan, on fixe un sens direct (sens inverse des aiguilles d une montre) et un sens indirect. On dit
que le plan est orienté.
Les flèches indiquent les deux sens de parcours possibles sur le cercle.
Le sens indiqué par la flèche marquée d un + est le sens direct et le sens indiqué par la flèche marquée d un
‒ est le sens indirect
Définition : Dans un plan muni d’une unité, on appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 muni
d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre
est un cercle trigonométrique de centre O. (O,I,J) est un repère orthonormal direct (sur le cercle , on se
déplace de I vers J selon le trajet le plus court dans le sens direct). K est le point de coordonnées (1 ; 1) dans
ce repère. On munit la droite (IK) du repère (I, K). Cette droite graduée représente l ensemble des
nombres réels. On l appelle la droite numérique.
On enroule cette droite autour du cercle. Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite correspond un point M
du cercle.
3. Enroulement et angle.
Propriété : Les réels x et x + 2k où k est un entier relatif ont le même point image.
On dit que x et x + 2k sont des mesures en radians de l angle IOM. Le radian est la mesure de l angle
au centre qui intercepte sur le cercle un arc de longueur 1.
+
‒
A quel point correspond le nombre ? I
A quel point correspond le nombre ? I
A quel point correspond le nombre ? J
A quel point correspond le nombre 2 ? I
A quel point correspond le nombre ‒ ? J
A quel point correspond le nombre 32 ? J
A quel point correspond le nombre ‒ ? I
A quel point correspond le nombre ‒ 2 ? I
A quel point correspond le nombre 6 ? I

Exemple : On note A le point associé au réel 4 .
1) Déterminer une mesure en degré de l angle IOA.
45°
2) Placer le point A sur la figure ci-contre.
3) Déterminer deux autres réels associés au point A.
9 /4 ; -7 /4
Remarque : on dit que 4 , 94 et ‒ 74 sont des mesures en radians de l angle IOA
II. Cosinus et sinus d un réel.
1. Définitions.
Définition : Soit un point M image d un réel x. Dans le repère (O, I, J) :
on appelle cosinus de x et on note cos x l abscisse de M.
on appelle ……sinus de x. et on note sin x l ordonnée de M.
Ainsi les coordonnées de M sont : M(cos x ; sin x)
Propriétés : Pour tout réel x :
 cos² x + sin² x = 1  1 cos x 1 et 1 sin x 1
 cos(x+2k ) = cos x  sin(x+2k ) = sin x
Démonstration du premier point dans le cas où M est sur l arc de cercle IJ :
Pythagore.
Exemples :
cos 0 = 1 sin 0 = 0
cos 2 = 0 sin 2 = 1
cos = -1 sin = 0
cos 3
2 = 0 sin 3 2 = -1
cos (‒ 2 ) = 0 sin (‒ 2 ) = -1
cos (6 ) = 1 sin(6 ) = 0

2. Exemples de calcul de sinus et cosinus (résultats à retenir).
Calcul de cos 4 et sin 4 :
Calcul de cos 3 et sin 3 :
A RETENIR :
x
0
6
4
3
π
2
cos(x)
1
3
2
2
2
1
2
0
sin(x)
0
1
2
2
2
3
2
1

3. Angles associés.
A RETENIR.
Pour tout nombre réel x, on a :
cos( x) = cos x cos( x) = cos x cos( x) = cos x
sin( x) = sin x sin( x) = sin x sin( x) = sin x
cos 2 x = sin x cos 2 x = sinx
sin 2 x = cos x sin 2 x = cos x
III. Equations trigonométriques.
L équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2k et x = a + 2k où k est un entier
relatif.
L équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2k et x = a + 2k où k est un entier
relatif.

Exemples :
Au dos de la feuille, résoudre dans ] ] puis dans les équations suivantes :
1. cos(x) 1
2
2. cos(x) 3
2
3. sin(x) 2
2
4. sin(x) 1
2
5. 2cos²(x) 5cos(x) 3 0
IV. Angles orientés de vecteurs.
1. Mesures d un angle orienté de vecteurs non nuls, mesure principale.
Exemple :
Sur la figure ci-contre : M est associé au réel x 3 et N est associé au
réel y 7
12 . Alors ( )
OM ON 7
12 3 4
et ( ) ON OM 4
Définition : u et v sont des vecteurs non nuls du plan. est un cercle trigonométrique de centre O.
On place les points A et B tels que OA u et OB v. Les demi-droites [OA) et [OB) coupent
respectivement en A et B. Les mesures en radians de l angle orienté ( ) u v sont les mesures en
radians de l angle orienté ( ) OA OB .
Exemple :
OA et vOB donc
( )
u v ( ) OA OB ( ) OA OB
3 7
12 −π 4
Sur le cercle trigonométrique , M est le point image d un
nombre réel x et N est le point image d un nombre réel y. Les
mesures en radians de l angle orienté ( ) OM ON sont les réels
y x 2k, où k est un entier relatif.
On note ( ) OM ON = y x 2k où, plus simplement,
( )
OM ON = y x.