ANGLES ORIENTES. TRIGONOMETRIE.

ANGLES ORIENTES. TRIGONOMETRIE.
I.
Cercle trigonométrique, radian.
Une unité de longueur étant choisie dans le plan, O est un point du plan et
rayon 1. [I I] et [JJ ] sont deux diamètres perpendiculaires de .
1.
est le cercle de centre O et de
Longueur d un arc de cercle.
Compléter le tableau suivant où M est un point du cercle .
360° 180° 90° 45° 30° 0°
Mesure de l angle
2
/2
/4
/6 0
Longueur de l arc IM
2.
Enroulement de la droite numérique.
Dans le plan, on fixe un sens direct (sens inverse des aiguilles d une montre) et un sens indirect. On dit
que le plan est orienté.
Les flèches indiquent les deux sens de parcours possibles sur le cercle.
Le sens indiqué par la flèche marquée d un + est le sens direct et le sens indiqué par la flèche marquée d un
‒ est le sens indirect
Définition : Dans un plan muni d’une unité, on appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 muni
d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre
est un cercle trigonométrique de centre O. (O,I,J) est un repère orthonormal direct (sur le cercle , on se
déplace de I vers J selon le trajet le plus court dans le sens direct). K est le point de coordonnées (1 ; 1) dans
ce repère. On munit la droite (IK) du repère (I, K). Cette droite graduée représente l ensemble des
nombres réels. On l appelle la droite numérique.
On enroule cette droite autour du cercle. Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite correspond un point M
du cercle.
+
A quel point correspond le nombre
A quel point correspond le nombre
A quel point correspond le nombre
? I
?I
? J
A quel point correspond le nombre 2 ? I
A quel point correspond le nombre ‒
‒
3.
? J
3
? J
2
A quel point correspond le nombre ‒ ? I
A quel point correspond le nombre ‒ 2 ? I
A quel point correspond le nombre 6 ? I
A quel point correspond le nombre
Enroulement et angle.
Propriété : Les réels x et x + 2k où k est un entier relatif ont le même point image.
On dit que x et x + 2k sont des mesures en radians de l angle IOM. Le radian est la mesure de l angle
au centre qui intercepte sur le cercle un arc de longueur 1.
Exemple : On note A le point associé au réel
.
4
1) Déterminer une mesure en degré de l angle IOA.
45°
2) Placer le point A sur la figure ci-contre.
3) Déterminer deux autres réels associés au point A.
9 /4 ; -7 /4
Remarque : on dit que
II.
9
7
et ‒
sont des mesures en radians de l angle IOA
4 4
4
,
Cosinus et sinus d un réel.
1.
Définitions.
Définition : Soit un point M image d un réel x. Dans le repère (O, I, J) :
on appelle cosinus de x et on note cos x l abscisse de M.
on appelle ……sinus de x. et on note sin x l ordonnée de M.
Ainsi les coordonnées de M sont : M(cos x ; sin x)
Exemples :
cos 0 = 1
sin 0 = 0
cos
=0
sin
cos
= -1
sin
cos
3
=0
2
sin
2
cos (‒
)=0
2
cos (6 ) = 1
=1
2
=0
3
= -1
2
sin (‒
) = -1
2
sin(6 ) = 0
Propriétés : Pour tout réel x :
 cos² x + sin² x = 1

 cos(x+2k ) = cos x
 sin(x+2k ) = sin x
1
cos x
1 et
1
sin x
1
Démonstration du premier point dans le cas où M est sur l arc de cercle IJ :
Pythagore.
2.
Exemples de calcul de sinus et cosinus (résultats à retenir).
Calcul de cos
Calcul de cos
4
3
A RETENIR :
x
et sin
et sin
4
3
:
:
0
cos(x)
1
sin(x)
0
6
3
2
1
2
4
2
2
2
2
3
1
2
3
2
π
2
0
1
3.
Angles associés.
A RETENIR.
Pour tout nombre réel x, on a :
cos( x) = cos x
sin( x) = sin x
cos
x  = sin x
2

sin
x  = cos x
2

cos(
sin(
x) = cos x
x) = sin x
cos
2
sin
2
cos(
sin(
x) =
x) =
cos x
sin x
x  = sinx

x  = cos x

III. Equations trigonométriques.
L équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2k et x =
relatif.
L équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2k et x =
relatif.
a + 2k où k est un entier
a + 2k où k est un entier
Exemples :
Au dos de la feuille, résoudre dans ]
1
1.
cos(x)
2
3
2.
cos(x)
2
2
3.
sin(x)
2
1
4.
sin(x)
2
5.
2cos²(x) 5cos(x) 3 0
IV.
] puis dans
les équations suivantes :
Angles orientés de vecteurs.
1.
Mesures d un angle orienté de vecteurs non nuls, mesure principale.
Sur le cercle trigonométrique , M est le point image d un
nombre réel x et N est le point image d un nombre réel y. Les
mesures en radians de l angle orienté (OM ON ) sont les réels
y x 2k , où k est un entier relatif.
On note (OM ON ) = y x 2k où, plus simplement,
(OM
ON ) = y x.
Exemple :
Sur la figure ci-contre : M est associé au réel x
réel y
7
. Alors (OM ON )
12
et ( ON OM)
7
12
3
3
et N est associé au
4
4
Définition : u et v sont des vecteurs non nuls du plan.
On place les points A et B tels que OA
u et OB
est un cercle trigonométrique de centre O.
v . Les demi-droites [OA) et [OB) coupent
respectivement en A et B . Les mesures en radians de l angle orienté ( u
radians de l angle orienté (OA
OB ).
Exemple :
OA et v OB donc
( u v ) ( OA OB ) (OA
7
−π
3 12
4
OB )
v ) sont les mesures en


Remarque : Si a est une mesure de l’angle orienté ( u ; v ), alors …a + 2k est une mesure de cet angle
orienté, pour tout entier relatif k.
Un angle orienté a donc une infinité de mesures
Exemple :Déterminer trois autres mesures de l angle ( u
7
15
;
;
4
4
v ) ci-dessus.
9
...
4
Définition : Parmi toutes les mesures d un angle orienté, il en existe une unique comprise dans l intervalle
]
]. C est la mesure principale de cet angle orienté
Remarques :
La mesure principale de l’angle ( u ; u ) est 0 : c’est l’angle nul
La mesure principale de l’angle ( u ; u ) est : c’est l’angle plat
Exemples : Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
430/3
143,3. Le nombre pair le plus proche est 144 = 72
On enlève donc 144 , soit 72 tours
430
2
2
144 =
. La mesure principale est
3
3
3
430
.
3
2.

Même question avec un angle dont une mesure est 


238/5 = 47,6. Le nombre pair le plus proche est 48 = 24 2
On ajoute donc 48 , soit 24 tours
238
2
48 =
. La mesure principale est
.
5
5


2.
Propriété des angle orientés.
Relation de Chasles (admise) : Pour tous vecteurs u , v et w, on a : ( u
v)
(v
w)
(u
w)
gxxxxxExemple : On donne la figure ci-contre.
Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
( AB
DE )
( AB
BH
BC )
BC
( BC
( CI
CD )
( CD
CD ) ( DG
DE )
DE )
I
3
6
2
AB et DE sont colinéaires donc (AB) et (DE) sont parallèles.
H
Propriétés : Pour tous vecteurs non nuls u et v , on a (à 2 près) :
(u
v)
(u
v
(
u
(v
u)
) (u
v
) (u
v)
v)
Démonstrations à l aide de la relation de Chasles :
(u ; v) + (v ; u) = (u ; u) = 0 donc…
(u ; -v) = (u ; v) + (v ; -v) = (u ; v)+
(-u ; -v) = (-u, ; u) + (u ; v) + (v ; -v) = + (u ; v) +
= (u ; v) + 2
Propriété : u et v sont colinéaires et de même sens si et seulement si (u ; v) = 0
u et v sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si (u ; v) =