Formulaire de géométrie - Cours Première S2

Formulaire de Géométrie de Première S
Vecteurs colinéaires
Déf.: Deux vecteurs non nuls
u
et
v
sont colinéaires s’il existe un réel k non nul tel que
u kv
Ppté1: Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles les vecteurs
AB
et
MN
sont colinéaires.
Ppté2: 3 points distincts A, B et C sont alignés les vecteurs
AB
et
AC
sont colinéaires.
Condition de colinéarité de deux vecteurs dans le plan muni d’un repère : Dans un repère, les vecteurs
;u x y
et
'; 'v x y
sont colinéaires
' ' 0xy x y  
Ppté - Décomposition d’un vecteur :
u
et
v
sont deux vecteurs non colinéaires, pour tout vecteur
w
, il existe un couple unique (a ; b) de réels tels que
w au bv
Définition - Vecteur directeur d’une droite : Dire qu’un vecteur non nul
u
est vecteur directeur d’une droite (d) signifie qu’il existe deux points A et B sur (d) tels que
AB u
Pptés : (a) Soient 2 droites (d) et (d’) de vecteurs directeurs respectifs
u
et
v
,
( )//( ') et sont colinéairesd d u v
(b) La droite (d) passant par un point A et de vecteur directeur
u
est l’ensemble des points M tels que les vecteurs
u
et
AM
soient colinéaires.
Equation cartésienne d’une droite :
Dans un repère du plan, toute droite admet une équation de la forme
0ax by c  
avec a, b, c 3 réels et tels que
; 0;0ab 
.
Cette forme est appelée équation cartésienne de la droite. Le vecteur
;u b a
est un vecteur directeur de cette droite.
Ppté : 2 droites d’équations cartésiennes respectives
0ax by c  
et
' ' ' 0a x b y c  
sont parallèles
' ' 0ab a b  
.
Norme d’un vecteur
Déf : Soit un vecteur
u
et deux points A et B du plan tels que
AB u
. La norme d’un vecteur
u
, notée
u
, est la distance (ou longueur) AB.
Ppté : Dans un repère orthonormé, un vecteur
u
de coordonnée ( x ; y ) a pour longueur
22
u x y
Produit Scalaire
Déf : Le produit scalaire d’un vecteur
u
par un vecteur
v
est le nombre réel noté
uv
défini par
2 2 2
1
2
u v u v v u    
Déf à partir des coordonnées de vecteurs : Le plan est muni d’un repère orthonormé, soient deux vecteurs
u
et
v
de coordonnées (x ; y ) et (x’ ; y’) a lors
''u v xx yy  
Déf à l’aide des normes et un angle : Pour tous vecteurs
u
et
v
distincts non nuls :
. cos ; u v u v u v  
Déf avec un projeté orthogonal : Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls tels que
u OA
et
v OB
a lors
..uv OAOH
où H est le projeté
orthogonale de B sur la droite (OA).
Ppté : Deux vecteurs
u
et
v
sont orthogonaux
0uv  

Vecteur normal à une droite
Déf : Un vecteur non nul
n
est normal à une droite (d) signifie que
n
est orthogonal à un vecteur directeur de (d) .
Ppté 1 : Soit une droite (d) passant par un point
A
et de vecteur normal
n
alors la droite (d) est l’ensemble des points M tels que
. 0AM n 
Ppté 2 : Soit le vecteur
;n a b
non nul,
;n a b
est un vecteur normal à la droite (d) la droite (d) a pour équation cartésienne ax+by+c = 0 où
cR
Equation d’un cercle :
Pptés :
(1) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ,
i
,
j
, le cercle C de centre Ω ( α ; β ) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r ou encore ΩM 2 = r
2
Une équation cartésienne du cercle C est ( x - α ) 2 + ( y - β ) 2 = r2
(2) Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que
. 0MA MB 
Théorème de la Médiane : A et B sont deux points et I est le milieu du segment [AB], pour tout point M,
2 2 2 2
1
22 MA MB MI AB  
Théorème d’AL-KASHI : Dans un triangle ABC, on a
2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC     
Aire et Formule des sinus : Soit un triangle ABC, son aire S est égale à
1sin
2
S AB AC BAC  
et
sin sin sin
BC AB AC
BAC ACB ABC
Angles orientés – trigonométrie :
* On appelle alors mesure principale d’un angle orienté l’unique mesure appartenant à l’intervalle
;
.
* M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x ).
* Pour tout x , on a -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1
* Angles remarquables :
x
0
6
4
3
2
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1

* Relations trigonométriques et angles associés :
cos 2 cos
sin 2 sin
cos cos
sin sin
cos cos
sin sin
cos cos
sin sin
cos sin
2
sin cos
2
cos sin
2
sin cos
2
* Les équations trigonométriques :
Equation du type
cos cos avec réel donnéx a a
Equation du type
sin sin avec réel donnéx a a
*Formules d’addition : Pour tous nombres réels a et b,
(1)
cos cos cos sin sina b a b a b  
(2)
cos cos cos sin sina b a b a b  
(3)
sin sin cos s sina b a b co a b  
(4)
sin sin cos cos sina b a b a b  
* Formules de duplication : Pour tout nombre réel a ,
(1)
cos(2 ) cos² sin² 2cos² 1 1 2sin²a a a a a     
(2)
sin 2 2sin cosa a a