Chapitre 28 : Dérivées successives et formules de Taylor.

ECS3 Carnot Chapitre 28 — Dérivées successives et formules de Taylor 2013/2014
Chapitre 28 : Dérivées successives et
formules de Taylor.
Dans ce chapitre, Idésigne un intervalle de Rcontenant au moins deux points.
1 Dérivées successives
1.1 Définitions
Définition 1.1.1
Soit f:I→Rune fonction et a∈I. Si fest dérivable au voisinage de aet si f′est
dérivable en a, alors on dit que fest deux fois dérivable en aet on note f′′ (a) = (f′)′(a)
(autre notation possible d2f
dx2). Plus généralement, si n>2et si fest (n−1) fois
dérivable au voisinage de a, et si f(n−1) est dérivable en a, on dit que fest nfois
dérivable en aet on note f(n)(a) = (f(n−1))′(a).
Si fest nfois dérivable en a,f(n−1) existe au voisinage de aet f(n)(a)est par définition
la limite (qui existe) lim
x→a
f(n−1)(x)−f(n−1)(a)
x−a.
Remarque. Il est indispensable de savoir que f′existe au voisinage de apour définir
f′′(a), puisque l’on a besoin de passer à la limite...
Définition 1.1.2
L’ensemble des fonctions nfois dérivables sur Iest noté Dn(I, R)ou Dn(I). On note
de plus Cn(I, R)l’ensemble des fonctions nfois dérivables sur Idont la dérivée d’ordre
nest continue. Si f∈ Cn(I)on dit que fest de classe Cnsur I.
Remarque. Cette définition est compatible avec la notation C0:fest zéro fois dérivable
et sa dérivée zéroième est continue...
Remarque. On a les inclusions
Cn(I, R)⊂Dn(I, R)⊂ Cn−1(I, R)⊂ ··· ⊂ C1(I, R)⊂D1(I, R)⊂ C0(I, R)
Définition 1.1.3
On dit que fest de classe C∞sur Ilorsque qu’elle est de classe Cnpour tout ni.e.
f∈ C∞(I) = \
nCn(I) = \ n
Dn(I)
Exemple. Les fonctions polynomiales et rationnelles sont de classe C∞sur leur domaine
de définition.
La fonction f:x7→ x2sin 1
xsi x6= 0 et f(0) = 0 est de dérivable sur Rmais n’est pas
de classe C1sur R.
J. Gärtner. 1

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1.2 Opération sur les fonctions nfois dérivables
On peut montrer la proposition suivante par récurrence.
Proposition 1.2.1
Si fet gsont nfois dérivables sur Iet si λ∈R, alors f+get λf sont nfois dérivables
sur Iet
(f+g)(n)=f(n)+g(n)et (λf)(n)=λf (n)
Proposition 1.2.2 (Formule de Leibniz )
Si f, g sont nfois dérivables sur I, alors f g est nfois dérivable sur Iet
(fg)(n)=
n
X
k=0 n
kf(k)g(n−k)
Démonstration : Montrons ce résultat par récurrence.
– Initialisation : si n= 0 il n’y a rien à montrer.
– Hérédité. Soit n∈N. Supposons que le produit de deux fonctions nfois dérivables est
nfois dérivable et que la formule annoncée est juste. Soit f, g deux fonctions n+1 fois
dérivables sur I. Alors f g est nfois dérivable sur Iet (fg)(n)=Pn
k=0 n
kf(k)g(n−k).
Toutes les fonctions qui interviennent dans cette somme sont dérivables sur Ipar
hypothèse. On en déduit que (fg)(n)est dérivable sur I, donc que f g est dérivable
n+ 1 fois. De plus on a
(fg)(n+1) =
n
X
k=0 n
k(f(k+1)g(n−k)+f(k)g(n−k+1))
=
n+1
X
j=1 n
j−1f(j)g(n+1−j)+
n
X
k=0 n
kf(k)g(n−k+1)
=n+ 1
n+ 1f(n+1)g+
n
X
k=1
(n
k−1+n
k)f(k)g(n+1−k)+n+ 1
0fg(n+1)
Ce qui permet de conclure.
On en déduit
Proposition 1.2.3
Soit n∈N∪{∞}. Si f, g ∈ Cn(I)et λ∈R, alors f+g,λf et f g sont de classe Cnsur
I.
Proposition 1.2.4
Soit Pun polynôme de degré nà coefficients réels. Alors Pest de classe C∞et P(n+1) =
0.
Démonstration : Si n= 0 le résultat est clair : Pest constant sa dérivée est nulle et de degré
−∞. Supposons n>1.
Soit P:x7→
n
P
k=0
akxkavec an6= 0. Alors P′:x7→
n
P
k=1
kakxk−1. Comme nan6= 0 on
aP′de degré n−1. Par récurrence immédiate, Pest kfois dérivable et P(k)est de degré
n−ksi k6net −∞ (i.e P(k)= 0 si k>n+ 1).
J. Gärtner. 2

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Exemple. L’application x7→ x2exest de classe C∞sur Ret on a par la formule de Leibniz
que pour tout n>2,
∀x∈R, f(n)(x) = x2ex+ 2nxex+ 2n(n−1)
2ex
On montre (exercice) par récurrence que :
Proposition 1.2.5
Si f:I→Rne s’annule pas sur Iet est nfois dérivable (resp. de classe Cn, de classe
C∞), alors 1
fest nfois dérivable sur I(resp. de classe Cn, de classe C∞).
Proposition 1.2.6
Si I, J sont deux intervalles et f:I→Ret g:J→Ravec f(I)⊂J. Si fet gsont n
fois dérivables alors g◦fest nfois dérivable. (Respectivement : de classe Cn, de classe
C∞).
Démonstration : Montrons le résultat par récurrence sur n. L’initialisation est claire. Sup-
posons que la composée de deux fonctions nfois dérivables soit nfois dérivable. Soit f, g
n+ 1 fois dérivables telles que f(I)⊂J. Alors g◦fest dérivable de dérivée f′×(g′◦f).
Par hypothèse de récurrence, cette fonction est nfois dérivable, donc g◦fest bien n+ 1
fois dérivable.
Cette dernière proposition est à la limite du programme.
Proposition 1.2.7
Soit fune fonction dérivable et strictement monotone, de classe Cnet dont la dérivée
ne s’annule pas. Alors f−1est de classe Cn.
Démonstration : Par récurrence sur n. L’initialisation est claire. Pour l’hérédité, on a f−1
dérivable de dérivée 1
f′◦f−1. En utilisant les deux propositions précédentes, on en déduit
que (f−1)′est de classe Cndonc que f−1est de classe Cn+1.
2 Fonctions convexes
Tous les résultats de cette section peuvent être admis
2.1 Préliminaires
Soit a, b ∈R,a < b.Le segment [a, b]d’extrémités aet best l’ensemble des réels qui
s’écrivent αa +βb avec α, β ∈R+tels que α+β= 1. On peut aussi écrire
[a, b] = {λa + (1 −λ)b, λ ∈[0,1]}
En effet, tout réel xs’écrit x=a+t(b−a). Si on souhaite que x∈[a, b]il est
nécessaire et suffisant que t∈[0,1]. Géométriquement, le segment [a, b]est donc l’ensemble
des barycentres de aet baffectés de coefficients positifs.
Les fonctions affines g:I→Rsont les fonctions du type x7→ px +q. Ces fonctions
ont la propriété suivante (ce que l’on vérifie facilement) :
∀a, b ∈I, ∀α, β ∈R, α +β= 1 ⇒g(αa +βb) = αg(a) + βg(b)
J. Gärtner. 3

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Géométriquement, l’image du barycentre de deux points est le barycentre de ces images,
affectés des mêmes coefficients.
2.2 Définition
Définition 2.2.1
On dit que f:I→Rest convexe sur Ilorsque l’une des propriétés équivalentes
suivantes est vérifiée :
1. ∀a, b ∈I, ∀α, β ∈R+, α +β= 1 ⇒f(αa +βb)6αf (a) + βf (b)
2. ∀a < b ∈I, ∀α, β ∈R+, α +β= 1 ⇒f(αa +βb)6αf (a) + βf(b)
3. ∀a, b ∈I, ∀λ∈[0,1] f(λa + (1 −λ)b)6λf(a) + (1 −λ)f(b)
4. ∀a < b ∈I, ∀λ∈[0,1] f(λa + (1 −λ)b)6λf(a) + (1 −λ)f(b)
On dit que fest concave lorsque −fest convexe, i.e.
∀a, b ∈I, ∀α, β ∈R+, α +β= 1 ⇒f(αa +βb)>αf(a) + βf (b)
Remarque. Les fonctions affines sont exactement les fonctions convexes et concaves.
Exemple. La fonction x7→ x2est convexe sur R. En effet, si a, b ∈Ret λ∈[0,1], on a
(λa + (1 −λb)26λa2+ (1 −λ)b2⇔λ2a2+ 2λ(1 −λ)ab + (1 −λ)2b26λa2+ (1 −λ)b2
⇔λ(1 −λ)(−a2+ 2ab −b2)60
⇔ −λ(1 −λ)(a−b)2
2.3 Interprétation graphique
x
y
Proposition 2.3.1
Une fonction fest convexe si et seulement si tout arc de sa courbe Cfest sous la
corde correspondante.
Démonstration : Pour le sens direct : on a par définition, si x∈[a, b], l’existence de λ∈[0,1]
tel que x=λa + (1 −λ)b. Mais fest convexe donc f(x)6λf (a) + (1 −λ)f(b)ce qui veut
dire que le point (x, f(x)) est situé sous le point (x, λf(a) + (1 −λ)f(b)) qui est le point
d’abscisse xdu segment d’extrémités (a, f (a)) (b, f(b)).
Réciproque : En effet, si a < b ∈I, notons ga,b la fonction affine qui coïncide avec fen
aet b(c’est-à-dire ga,b :x7→ f(x)−f(a)
b−a(x−a) + f(a)). Alors l’arc de fentre aet best
sous la corde entre aet bsi et seulement si
∀x∈[a, b], f(x)6ga,b(x)
J. Gärtner. 4

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Supposons que ce soit le cas. En écrivant x∈[a, b]sous la forme λa+(1−λ)b, et en utilisant
le fait que ga,b est affine, il vient
f(λa + (1 −λ)b)6ga,b(λa + (1 −λ)b) = λga,b(a) + (1 −λ)ga,b(b) = λf (a) + (1 −λ)f(b)
2.4 Croissance des pentes
x
y
ab c
Proposition 2.4.1
Soit fune fonction convexe sur I. Si a, b, c ∈Iavec a < c < b, alors
f(c)−f(a)
c−a6f(b)−f(a) b−a6f(b)−f(c) b−c
Démonstration : Notons A,Bet Cles points de Cfd’abscisse a, b et c. Notons comme
ci-dessus ga,b la fonction affine qui coïncide avec fen aet b.
On prouve ces inégalités en remarquant que la pente de AB est f(b)−f(a)
b−a=ga,b(c)−f(a) c−a
et en utilisant le fait que f(c)6ga,b(c)puisque fest convexe. Ainsi f(c)−f(a)
c−a6
f(b)−f(a)
b−a.
De même f(b)−f(a)
b−a=f(b)−ga,b(c) b−cpermet de monter l’autre inégalité.
x0yx
Soit Mle point de la courbe d’abscisse xet Ad’abscisse x0. Alors la pente de AM est
donnée par f(x)−f(x0)
x−x0
.
J. Gärtner. 5