Colle du 16 septembre : Rappels sur les fonctions de la variable réelle

Colle du 16 septembre : Rappels sur les fonctions de la
variable réelle
En italique sont indiquées d'éventuelles questions de cours.
1.1
Continuité et convexité
Exercice 1 : (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit f : R → R continue telle que, pour
tout x ∈ R, on a f k (x) = x. La fonction f admet-elle des points xes ?
Soient f, g : [0, 1] → [0, 1] continues telles
que f ◦ g = g ◦ f . Montrer qu'il existe x ∈ [0, 1] tel que f (x) = g(x).
Exercice 2 : (Théorème des valeurs intermédiaires)
Exercice 3 : (Inégalités de convexité)
Déterminer l'image de l'application
]1, +∞[×]1, +∞[→ R, (x, y) 7→ ln(x + y) −
1.2
p
ln x ln y.
Dérivation
Soit a ∈ R. Soit f : R → R continue telle que
est dérivable en 0 et calculer sa dérivée.
Exercice 1 :
Exercice 2 : (Théorème de Rolle)
existe c ∈]a, b[ tel que :
f (b) − f (a) =
Exercice 3 : (Théorème de Rolle)
f (1) = 0.
f (2x)−f (x)
x
→x→0 a. Montrer que f
Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C 3 . Montrer qu'il
b−a 0
(b − a)3 (3)
(f (b) + f 0 (a)) −
f (c).
2
12
Soit f : [−1, 1] → R de classe C 3 telle que f (−1) = f (0) =
000
(c)
Montrer que, pour chaque b ∈ [−1, 1] il existe c ∈ [−1, 1] tel que f (b) = b(b+1)(b−1)f
.
6
R1
(3)
2. Trouver la meilleure constante C > 0 telle que nécessairement
|f
(t)|dt
≤
Ckf
k
.
∞
−1
1.
Soit f : R → R. On suppose que f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N
et qu'il existe r > 0 vériant |f (n) (x)| ≤ n!rn pour tous n ∈ N et x ∈ R. Montrer que f est nulle.
Exercice 4 : (Formules de Taylor)
Soit a ∈ R. Trouver le minimum de
classe C 2 de [0, 1] dans R telle que f (0) = f (1) = 0 et f 0 (0) = a.
Exercice 5 : (Formules de Taylor)
Exercice 6 : (Formules de Taylor) 1.
Montrer que :
|g(x) −
2.
R1
0
(f 00 (t))2 dt pour f de
Soit g une fonction de classe C 5 sur un voisinage de 0.
x 0
|x|5
(g (x) + 2g 0 (0))| ≤
sup |g (5) (t)|.
3
180 t∈[0,x]
En déduire que, si f est de classe C 4 sur [a, b], alors
Z
|
b
f (t)dt −
a
b−a
a+b
(b − a)5
(f (a) + f (b) + 4f (
))| ≤
sup |f (4) (t)|.
6
2
2880 t∈[a,b]
Montrer que la question 2 fournit une méthode d'approximation à l'ordre 4 des intégrales des
fonctions de classe C 4 .
3.
1
1.3
Équivalents et développements limités
Exercice 1 :
Calculer limx→0+
Exercice 2 :
Donner un équivalent de f (t) =
sin xsin x −1
xx −1
.
R1
dx
0 (1+x+x2 )t
quand t → +∞.
Soient A et B deux points du plan tels que AB = 2. Pour R > 1, soit f (R) l'aire
de {M |AM ≤ R, BM ≤ R}. Donner un équivalent de f (R) quand R → 1+ .
Exercice 3 :
Exercice 4 :
un .
Soit a > 0. Soit u0 > 0 et (un ) dénie par un+1 =
Exercice 5 : 1. (Sommes de Riemann)
2.
Calculer limn→∞
Pn
k=1
arcsin(k/n2 ).
Calculer limn→∞ n√1 n
un
1+ua
n
Pn
k=1
. Donner un équivalent de
√
E( k).
Montrer que, pour tout entier n > 0, l'équation ex = n − x admet une unique
solution positive xn . Donner un développement asymptotique de xn à trois termes.
Exercice 6 :
+ ... + xn = 1. Donner
Montrer qu'il existe un unique xn ∈ R+ tel que xnn + xn−1
n
un développement asymtotique de xn à deux termes.
Exercice 7 :
Dans l'espace de dimension 3, soit f (R) le nombre de points réticulaires contenus
dans la boule ouverte de centre 0 et de rayon R. Donner un équivalent de f (R) quand R → +∞.
Exercice 8 :
1.4
Intégration
Exercice 1 :
Soient 0 < a < b. Calculer la limite de
R bx
ax
u−sinu
u4
quand x → 0+ .
Soit f : [0, 1] → R continue telle
que f (0) 6= 0.
R f (x)
Donner un équivalent en +∞ de g(t) = 01 1+tx
dx.
1
2. Majorer la diérence entre g et cet équivalent lorsque f est C .
Exercice 2 :
1.
Soit f : [a, b] → R+
∗ continue.
Montrer qu'il existe une unique
subdivision
a = x0 < x1 < ... < xn = b telle que, pour chaque
Rb
Rx
k compris entre 0 et n − 1, xkk+1 f (t)dt = n1 a f (t)dt.
Pn−1
1
2. Calculer la limite de
k=0 f (xk ).
n
Exercice 3 : (Sommes de Riemann)
1.
2