Algèbre 3 – PROPRIETES DES ENTIERS – – DENOMBREMENT –

Algèbre – chap 3 1/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
1. ARITHMETIQUE DANS N
NN
N
Théorème 1 : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Théorème 2 : Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.
Notation : L’ensemble de tous les entiers naturels compris entre les entiers p et q (p ; q )
se note :
p;q
.
a, b et c désignent des entiers relatifs.
Définition 1 : On dit que b divise a ou que a est divisible par b s’il existe un entier k tel que
a = b k. On note b | a. Si b divise a, on dit que b est un diviseur de a, et que a est un multiple
de b.
Propriétés :
• Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0.
• Si b | a , alors – b | a.
• Si b | a et si a 0, alors | b | | a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un
entier est fini.
• Si a | b et b | a , alors | a | = | b |.
• Si a | b et b | c , alors a | c (la relation de divisibilité est transitive).
• Si a | b et a | c, alors a | (ub + vc) où u et v désignent des entiers tels que ub+vc 0
(on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c).
On a en particulier que a | (b + c) et a | (b – c) .
• Si a | b, alors pour tout entier c, ac | bc.
Notation : Pour tout entier a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs positifs de a.
Définition 2 : On appelle plus grand commun diviseur des entiers a et de b le plus grand
élément de D(a)
∩
D(b). On le note PGCD(a ; b) ou
a b
∧
.
Définition 3 : On appelle plus petit multiple commun des entiers a et b le plus petit multiple
strictement positif commun à a et b. On le note PPCM(a ; b) ou
a b
∨
≠
≤
≠
Algèbre 3
– PROPRIETES DES ENTIERS –
– DENOMBREMENT –
1.1 Propriétés fondamentales
1.2 Divisibilité

Algèbre – chap 3 2/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
1.3 Nombres premiers
Définition 4 : On dit qu’un entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers.
Théorème 3 : Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique sous la
forme 3
1 2 i
1 2 3 i
n p p p ...p
α
α α α
=, où p
1
, p
2
, p
3
, …, p
i
sont des nombres premiers deux à deux
distincts, et des entiers naturels non nuls.
Définition 5 : Cette écriture s’appelle décomposition de l’entier n en produit de facteurs
premiers.
1.4 Division euclidienne
Théorème 4 : Pour (a ; b)
*
∈ ×
ℕ ℕ
, il existe un unique couple ( q ; r )
∈ ×
ℕ ℕ
tel que
a = bq + r et 0 r < b.
Définition 6 : On dit que l’on effectue la division euclidienne de a par b lorsque l’on
détermine ce couple (q ; r). a s’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient, et r le reste.
Remarque : Dire que b divise a revient à dire que r = 0 dans la division euclidienne de a par b.
Application :
Dans la division euclidienne par 2, les restes possibles sont 0 et 1 (car 0 r < 2 ). Tout entier
s’écrit donc sous une des formes : 2q (ce sont les entiers pairs), ou 2q + 1 (les entiers
impairs).
De même la division euclidienne par 3 donne que tout entier peut s’écrire sous la forme 3q ou
3q +1 ou 3q + 2.
Proposition 1 : Pour (a ; b)
2
∈
ℕ
tels que 0 < b < a,
D(a) D(b) D(b) D(r)
∩ = ∩
où r est le
reste de la division euclidienne de a par b.
1.5 Algorithme d’Euclide
Pour déterminer PCGD(a ; b) (quand b ne divise pas a), on effectue la division euclidienne de
a par b, puis celle de b par le reste r
0
de la division précédente, puis celle de r
0
par le reste r
1
de la dernière division euclidienne effectuée, et ainsi de suite.
On note r
n
le reste de la (n+1)
ème
division euclidienne effectuée.
Pour tout n > 0 tel que r
n -1
≠
0, on a 0 r
n
< r
n -1
. La suite (r
n
) va donc s’annuler à partir
d’un certain rang n
0
+ 1.
On a :
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
0 n n 1 n n
D(a) D(b) D(b) D(r ) ... D r D r D r D(0) D r
+
∩ = ∩ = = ∩ = ∩ =
.
0
n
r
étant le plus grand élément de
(
)
0
n
D r
, PCGD(a ; b) =
0
n
r
(dernier reste non nul).
1 2 3 i
, , ,...,
α α α α
≤
≤
≤

Algèbre – chap 3 3/5
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Exemple : Recherche de PGCD(4095 ; 440)
4095 = 440 9 + 135
440 = 135 3 + 35
135 = 35 3 + 30
35 = 30 1 + 5 PGCD(4095 ; 440) = 5
30 = 5 6 + 0
2. DENOMBREMENT
Définition 7 : On dit qu’un ensemble E est fini, de cardinal nSN* s’il est en bijection avec
1;n
. On note Card(E) = n.
Par convention, l’ensemble vide est de cardinal 0
Proposition 2 : Si B est une partie d’un ensemble fini A, alors B est un ensemble fini et
Card(B)
≤
Card(A). Il y a égalité si et seulement si A = B.
Proposition 3 : Si
(
)
i
i 1;n
A
∈
est une famille d’ensembles finis, alors A =
1 2 n
A A ... A
× × ×
est
un ensemble fini et Card(A) =
(
)
(
)
(
)
1 2 n
Card A Card A ... Card A
× × ×
Proposition 4 : Si A et B sont deux ensembles finis, alors AUB est un ensemble fini et
(
)
(
)
(
)
(
)
Card A B Card A Card B Card A B
∪ = + − ∩
Proposition 5 : Pour tout ensemble fini E, l’ensemble des parties de E, P(E), est fini et
card(P(E)) = 2
card(E)
.
Proposition 6 : Soient A et B deux ensembles finis de cardinaux n et p respectivement.
Le nombre d’applications de A dans B est p
n
.
Proposition 7 : Soient A et B deux ensembles finis de même cardinal, et f une application
entre A et B. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) f est bijective
(ii) f est injective
(iii) f est surjective
On note F
n
=
1;n
avec n∈
ℕ
*. p désigne un entier naturel inférieur ou égal à n.
Définition 8 : On appelle permutation de F
n
toute bijection de F
n
dans F
n
.
Notation : On note σ
n
l’ensemble des permutations de F
n
.
Remarque : card (σ
n
) = n!
×
×
×
×
×
2.1 Ensembles finis
2.2 Permutation

Algèbre – chap 3 4/5
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Définition 9 : On appelle arrangement de p éléments de F
n
(p ≤ n) tout p-uplet (x
1
, x
2
, ..., x
p
)
d’éléments de F
n
. Leur nombre est noté A
n
p
.
Remarques :
(i) La donnée d’un arrangement de p éléments de F
n
revient à la donnée d’une
application injective de F
p
dans F
n
. Plus précisément, il y a bijection entre les applications
injectives de F
p
dans F
n
et l’ensemble des arrangements de p éléments de F
n
.
1 n
n n
(ii) A n et A n!
= =
Exemple : (2 ; 1 ; 4) et (1 ; 2 ; 4) sont des arrangements de 3 éléments de F
4
.
Proposition 8 : ∀(n ; p)∈ N*× N , p ≤ n A
n
p
=
n
n p k
k n p
n
!
( )! ( ) −=
=−+
∏1
Définition 10 : On appelle combinaison de p éléments de F
n
(p ≤ n) toute partie de p
éléments distincts de F
n
. Leur nombre est noté
n
p
.
Proposition 9 : ∀(n ; p)∈ N*× N , p ≤ n ,
n
p
=
n
p n p
!
!( )!−
Remarque :
n n
1
0 n
= =
Propriétés :
•
n n
p n p
=
−
.
• Formule de Pascal :
n n 1 n 1
p p p 1
− −
= +
−
.
Remarque : La formule de Pascal permet de calculer les nombres
n
p
de proche en proche
Ils sont donnés dans le tableau ci-contre,
appelé triangle de Pascal .
2.3 Arrangement
2.4 Combinaison
0 1 2 3 4 ...
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
...
p
+
+
+
+
+
+
n

Algèbre – chap 3 5/5
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Proposition 10 : Formule du binôme ( de Newton ) .
K( a; b)∈
2
ℂ
, on a : ( a + b )
n
=
n
k n k
k 0
n
a b
k
−
=
∑
.
Corollaire : ∀n∈N
*
,
n
n
k 0
n
2
k
=
=
∑
et
nk
k 0
n
( 1) 0
k
=
− =
∑
.
2.5.1 Développement de cos(nx) et sin(nx)
En appliquant la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton, on obtient :
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x))
n
=
nn k k k
k 0
n
cos (x) i sin (x)
k
−
=
∑
.
Par identification des parties réelles et des parties imaginaires on obtient :
cos(nx) =
k n 2k 2k
0 2k n
n
( 1) cos (x) sin (x)
2k
−
≤ ≤
−
∑
sin(nx) =
k n 2k 1 2k 1
0 2k 1 n
n
( 1) cos (x) sin (x)
2k 1
− − +
≤ + ≤
−
+
∑
2.5.2 Linéarisation de cos
n
x, sin
n
x et cos
n
x sin
p
x
En appliquant la formule d’Euler et la formule du binôme de Newton, on obtient :
cos
n
x =
( )
nn
ix ix (2k n)ix
nk 0
n
1 1
e e e
k
2 2
− −
=
+ =
∑
sin
n
x =
( )
( )
nnn k
ix ix (2k n)ix
nk 0
n
1 1
e e 1 e
k
2i (2i)
−
− −
=
− = −
∑
Les termes de chaque somme se regroupent pour donner une somme de cosinus ou de sinus en
utilisant les formules d’Euler.
2.5 Application
en trigonométrie