MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #7, 11 mars
Exercice 1 (ex. 2, p. 311).Montrez que les polynômes suivants sont irréductibles sur Z[x]:
(a) x4−4x3+ 6
(b) x6+ 30x5−15x3+ 6x−120
(c) x4+ 4x3+ 6x2+ 2x+ 1 [Indice : remplacez xavec x−1.]
(d) ((x+ 2)p−2p)/x, où pest nombre premier impair.
Exercice 2 (ex. 14, p. 312).Factorisez les polynômes x8−1et x6−1en produit des
polynômes irréductibles dans les anneaux suivants :
(a) Z,
(b) Z/2Z,
(c) Z/3Z.
Exercice 3.
(a) (ex. 13, p. 312) Montrez que le polynôme x3+nx + 2 est irréductible dans Z[x]pour
tous les entiers n∈Z\ {1,−3,−5}.
(b) (ex. 12, p. 312) Montrez que le polynôme x2+y2−1est irréductible dans Q[x, y].
Exercice 4.
(a) (ex. 9, p. 311) Montrez que le polynôme p(x) = x2−√2est irréductible sur A=Z[√2]
[Indice : rappelez que Z[√2] est un anneau euclidien d’après l’exercice 2(c) du TP du
27 février.]
(b) Montrez que
Z[4
√2] = {a+b21/4+c21/2+d23/4:a, b, c, d ∈Z}
et que
A[x]/(x2−√2) ∼
=Z[4
√2].
[Indice : observez que Z[4
√2] = A[4 √2] = {α+β4 √2 : α, β ∈A}.]
Exercice 5.
(a) (ex. 4, p. 311) Montrez que le polynôme (x−1)(x−2) ···(x−n)−1est irréductible
sur Z[x]pour tout n≥1.
(b) (ex. 5, p. 311) Montrez que le polynôme (x−1)(x−2) ···(x−n)+1est irréductible
sur Z[x]pour tout n≥1,n6= 4, et réductible pour n= 4.
1