MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #7, 11 mars
Exercice 1 (ex. 2, p. 311). Montrez que les polynômes suivants sont irréductibles sur Z[x] :
(a) x4 − 4x3 + 6
(b) x6 + 30x5 − 15x3 + 6x − 120
(c) x4 + 4x3 + 6x2 + 2x + 1 [Indice : remplacez x avec x − 1.]
(d) ((x + 2)p − 2p )/x, où p est nombre premier impair.
Exercice 2 (ex. 14, p. 312). Factorisez les polynômes x8 − 1 et x6 − 1 en produit des
polynômes irréductibles dans les anneaux suivants :
(a) Z,
(b) Z/2Z,
(c) Z/3Z.
Exercice 3.
(a) (ex. 13, p. 312) Montrez que le polynôme x3 + nx + 2 est irréductible dans Z[x] pour
tous les entiers n ∈ Z \ {1, −3, −5}.
(b) (ex. 12, p. 312) Montrez que le polynôme x2 + y 2 − 1 est irréductible dans Q[x, y].
Exercice 4.
√
√
2
(a) (ex. 9, p. 311) Montrez que
le
polynôme
p(x)
=
x
−
2
est
irréductible
sur
A
=
Z[
2]
√
[Indice : rappelez que Z[ 2] est un anneau euclidien d’après l’exercice 2(c) du TP du
27 février.]
(b) Montrez que
√
4
Z[ 2] = {a + b21/4 + c21/2 + d23/4 : a, b, c, d ∈ Z}
et que
√
√
4
A[x]/(x2 − 2) ∼
= Z[ 2].
√
√
√
[Indice : observez que Z[ 4 2] = A[ 4 2] = {α + β 4 2 : α, β ∈ A}.]
Exercice 5.
(a) (ex. 4, p. 311) Montrez que le polynôme (x − 1)(x − 2) · · · (x − n) − 1 est irréductible
sur Z[x] pour tout n ≥ 1.
(b) (ex. 5, p. 311) Montrez que le polynôme (x − 1)(x − 2) · · · (x − n) + 1 est irréductible
sur Z[x] pour tout n ≥ 1, n 6= 4, et réductible pour n = 4.
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