Feuille 2

L3-Géométrie 2013-2014
Université Paris-Diderot
Feuille d’exercices numéro 2.
Tous les espaces affines dont il est question ici sont sur un corps K commutatif.
+ Exercice 1.
Soit A un espace affine de dimension n. Soient E et F deux sous-espaces affines de A , de dimensions
→
−
→
−
→
− →
−
p et q, telles que p + q = n. Montrer que si les directions E et F de E et F vérifient E ∩ F = 0, on a E ∩ F 6= ∅.
+ Exercice 2.
(a) Soient A et B deux espaces affines. Montrer que si f : A → B est une application affine, son
graphe est un sous-espace affine de A × B.( 1 )
(b) Montrer que si les graphes des applications affines f : A → B et g : A → B sont des sous-espaces affines parallèles
de A × B, il existe un vecteur v de la direction de B tel que pour tout x ∈ A , on ait g(x) = f (x) + v.
+ Exercice 3.
Dans cet exercice, K est supposé de caractéristique 0. Soient A et B deux points distincts d’un espace
affine. Soit M un point de la droite (A, B) distinct de B. M est un barycentre de A et B pour les coefficients α et β (i.e.
−−→
−−→
−β
.
αM A + β M B = 0). On pose k =
α
(a) Montrer que k est bien défini. Par la suite, k (qui ne dépend que de A, B et M ) sera noté
MA
.
MB
MA
NA
+
= 0 si et seulement si M n’est pas le
MB NB
milieu du segment [A, B]. Le point N est appelé le « conjugué harmonique » de M par rapport à A et B.
(b) Montrer qu’il existe un unique point N de la droite (A, B) tel que
−k
1
et
(avec k 6= ±1), alors le conjugué
1−k
1−k
k
1
et
.
harmonique N de M par rapport à A et B est le barycentre de A et B pour les coefficients
1+k
1+k
(c) Montrer que si M est le barycentre de A et B pour les coefficients
+ Exercice 4.
On considère A = (Z/2Z)n (n ≥ 2) comme un espace affine (sur Z/2Z). Soit a ∈ A . On pose
M = A − {a}. Montrer que a est le barycentre des points de M quand ils sont tous affectés d’un poids non nul.
+ Exercice 5.
L’objet de cet exercice est de définir la structure d’espace affine sur un corps K sans faire intervenir
d’espace vectoriel. L’idée est qu’un espace affine est un ensemble muni d’une notion de barycentre. Toute la difficulté est
d’axiomatiser les propriétés de cette opération « barycentre ».
Soit X un ensemble. Une applicationX
p : X → K est appelée un « système de poids » (sur X) si p(x) = 0 sauf pour un
nombre fini d’éléments x de X, et si
p(x) = 1. On note T (X) l’ensemble des systèmes de poids sur X. Si f : X → Y
x∈X
X
est une application, on note T (f ) : T (X) → T (Y ) l’application définie par p 7→ (y 7→
p(x)).
x∈f −1 (y)
(a) Montrer que T (f ) est bien définie, et qu’elle est injective quand f est injective.
(b) Montrer que si on a des applications f : X → Y et g : Y → Z, on a T (g ◦ f ) = T (g) ◦ T (f ), et montrer que
T (1X ) = 1T (X) , où pour tout ensemble X, 1X est l’application identique de X.
Pour tout ensemble X, on note ηX : X → T (X) l’unique application telle que ηX (x)(x) = 1 pour tout x ∈ X et
ηX (x)(y) = 0 si x 6= y.
(c) Monter que pour toute application f : X → Y , on a T (f ) ◦ ηX = ηY ◦ f .
2
L’ensemble T (T (X)) sera noté T 2 (X) et T (T 2 (X)) sera noté T 3 (X). De 
même T (T (f )) sera noté
 T (f ), etc. . . Pour tout
X
q(p)p(x).
ensemble X, on note µX : T 2 (X) → T (X) l’application définie par q 7→ x 7→
p∈T (X)
1. Voir la feuille numéro 1 pour la définition de A × B.
(d) Montrer que µX est bien définie.
(e) Montrer que pour toute application f : X → Y , on a T (f ) ◦ µX = µY ◦ T 2 (f ).
(f) Montrer que µX ◦ T (ηX ) = µX ◦ ηT (X) = 1T (X) .
(g) Montrer que µX ◦ µT (X) = µX ◦ T (µX ).
On appelle « algèbre affine » un couple (X, b) où X est un ensemble et b : T (X) → X une application telle que b ◦ µX =
b ◦ T (b) et b ◦ ηX = 1X . Pour tout système de poids p ∈ T (X), b(p) est appelé le « barycentre » de p. Une « application
affine » de l’algèbre affine (X, b) vers l’algèbre affine (Y, c), est définie comme une application f : X → Y « qui respecte
le barycentre », autrement-dit telle que f ◦ b = c ◦ T (f ).
(h) Montrer qu’une application affine f : (X, b) → (Y, c) est un « isomorphisme »( 2 ), si et seulement si f : X → Y est
bijective.
(i) Montrer que pour tout ensemble X, (T (X), µX ) est une algèbre affine (qu’on appelle l’algèbre affine « libre » sur X).
Décrire l’algèbre affine libre sur l’ensemble vide.
(j) Soit (Y, c) une algèbre affine. Montrer que l’application θ définie par θ(f ) = f ◦ ηX est une bijection de l’ensemble
des applications affines de (T (X), µX ) vers (Y, c) vers l’ensemble des application de X vers Y . On donnera une formule
explicite pour θ−1 .
(k) Soient p, q ∈ T (X), et β ∈ K. Le système de poids défini par x 7→ (1 − β)p(x) + βq(x) sera noté (1 − β)p + βq.
Montrer que si p et q ont même barycentre, alors c’est aussi le barycentre de (1 − β)p + βq. Montrer récipoquement que
si le barycentre de (1 − β)p + βq ne dépend pas de β, alors p et q ont même barycentre.
Soit (X, b) une algèbre affine, S ⊂ X et i : S → X l’inclusion canonique. On dit que les points de S sont « affinement
indépendants » si l’application θ−1 (i) est injective. On dit que S est un « repère affine (de X) » si θ−1 (i) est une bijection.
(l) Montrer que les points de S sont affinement indépendants si et seulement si pour toute partie finie F de S, les points
de F sont affinement indépendants.
On pourrait bien sûr continuer à développer la géométrie affine sur cette base.
2. C’est-à-dire qu’il existe une application affine g : (Y, c) → (X, b) telle que g ◦ f = 1X et f ◦ g = 1Y .