Feuille 2

L3-Géométrie 2013-2014 Université Paris-Diderot
Feuille d’exercices numéro 2.
Tous les espaces affines dont il est question ici sont sur un corps Kcommutatif.
+Exercice 1. Soit Aun espace affine de dimension n. Soient Eet Fdeux sous-espaces affines de A, de dimensions
pet q, telles que p+q=n. Montrer que si les directions −→ Eet −→ Fde Eet Fvérifient −→ E∩−→ F= 0, on a E∩F6=∅.
+Exercice 2. (a) Soient Aet Bdeux espaces affines. Montrer que si f:A→Best une application affine, son
graphe est un sous-espace affine de A×B.( 1)
(b) Montrer que si les graphes des applications affines f:A→Bet g:A→Bsont des sous-espaces affines parallèles
de A×B, il existe un vecteur vde la direction de Btel que pour tout x∈A, on ait g(x) = f(x) + v.
+Exercice 3. Dans cet exercice, Kest supposé de caractéristique 0. Soient Aet Bdeux points distincts d’un espace
affine. Soit Mun point de la droite (A, B)distinct de B.Mest un barycentre de Aet Bpour les coefficients αet β(i.e.
α−−→ MA +β−−→ MB = 0). On pose k=−β
α.
(a) Montrer que kest bien défini. Par la suite, k(qui ne dépend que de A,Bet M) sera noté MA
MB .
(b) Montrer qu’il existe un unique point Nde la droite (A, B)tel que MA
MB +NA NB = 0 si et seulement si Mn’est pas le
milieu du segment [A, B].Le point Nest appelé le « conjugué harmonique » de Mpar rapport à Aet B.
(c) Montrer que si Mest le barycentre de Aet Bpour les coefficients 1
1−ket −k 1−k(avec k6=±1), alors le conjugué
harmonique Nde Mpar rapport à Aet Best le barycentre de Aet Bpour les coefficients 1
1 + ket k 1 + k.
+Exercice 4. On considère A= (Z/2Z)n(n≥2) comme un espace affine (sur Z/2Z). Soit a∈A. On pose
M=A− {a}. Montrer que aest le barycentre des points de Mquand ils sont tous affectés d’un poids non nul.
+Exercice 5. L’objet de cet exercice est de définir la structure d’espace affine sur un corps Ksans faire intervenir
d’espace vectoriel. L’idée est qu’un espace affine est un ensemble muni d’une notion de barycentre. Toute la difficulté est
d’axiomatiser les propriétés de cette opération « barycentre ».
Soit Xun ensemble. Une application p:X→Kest appelée un « système de poids » (sur X) si p(x)=0sauf pour un
nombre fini d’éléments xde X, et si X
x∈X
p(x)=1. On note T(X)l’ensemble des systèmes de poids sur X. Si f:X→Y
est une application, on note T(f) : T(X)→T(Y)l’application définie par p7→ (y7→ X
x∈f−1(y)
p(x)).
(a) Montrer que T(f)est bien définie, et qu’elle est injective quand fest injective.
(b) Montrer que si on a des applications f:X→Yet g:Y→Z, on a T(g◦f) = T(g)◦T(f), et montrer que
T(1X)=1T(X), où pour tout ensemble X,1Xest l’application identique de X.
Pour tout ensemble X, on note ηX:X→T(X)l’unique application telle que ηX(x)(x) = 1 pour tout x∈Xet
ηX(x)(y)=0si x6=y.
(c) Monter que pour toute application f:X→Y, on a T(f)◦ηX=ηY◦f.
L’ensemble T(T(X)) sera noté T2(X)et T(T2(X)) sera noté T3(X). De même T(T(f)) sera noté T2(f), etc. . . Pour tout
ensemble X, on note µX:T2(X)→T(X)l’application définie par q7→ 
x7→ X
p∈T(X)
q(p)p(x)
.
1. Voir la feuille numéro 1 pour la définition de A×B.

(d) Montrer que µXest bien définie.
(e) Montrer que pour toute application f:X→Y, on a T(f)◦µX=µY◦T2(f).
(f) Montrer que µX◦T(ηX) = µX◦ηT(X)= 1T(X).
(g) Montrer que µX◦µT(X)=µX◦T(µX).
On appelle « algèbre affine » un couple (X, b)où Xest un ensemble et b:T(X)→Xune application telle que b◦µX=
b◦T(b)et b◦ηX= 1X. Pour tout système de poids p∈T(X),b(p)est appelé le « barycentre » de p. Une « application
affine » de l’algèbre affine (X, b)vers l’algèbre affine (Y, c), est définie comme une application f:X→Y« qui respecte
le barycentre », autrement-dit telle que f◦b=c◦T(f).
(h) Montrer qu’une application affine f: (X, b)→(Y, c)est un « isomorphisme »( 2), si et seulement si f:X→Yest
bijective.
(i) Montrer que pour tout ensemble X,(T(X), µX)est une algèbre affine (qu’on appelle l’algèbre affine « libre » sur X).
Décrire l’algèbre affine libre sur l’ensemble vide.
(j) Soit (Y, c)une algèbre affine. Montrer que l’application θdéfinie par θ(f) = f◦ηXest une bijection de l’ensemble
des applications affines de (T(X), µX)vers (Y, c)vers l’ensemble des application de Xvers Y. On donnera une formule
explicite pour θ−1.
(k) Soient p, q ∈T(X), et β∈K. Le système de poids défini par x7→ (1 −β)p(x) + βq(x)sera noté (1 −β)p+βq.
Montrer que si pet qont même barycentre, alors c’est aussi le barycentre de (1 −β)p+βq. Montrer récipoquement que
si le barycentre de (1 −β)p+βq ne dépend pas de β, alors pet qont même barycentre.
Soit (X, b)une algèbre affine, S⊂Xet i:S→Xl’inclusion canonique. On dit que les points de Ssont « affinement
indépendants » si l’application θ−1(i)est injective. On dit que Sest un « repère affine (de X) » si θ−1(i)est une bijection.
(l) Montrer que les points de Ssont affinement indépendants si et seulement si pour toute partie finie Fde S, les points
de Fsont affinement indépendants.
On pourrait bien sûr continuer à développer la géométrie affine sur cette base.
2. C’est-à-dire qu’il existe une application affine g: (Y, c)→(X, b)telle que g◦f= 1Xet f◦g= 1Y.