TD 3 - Exercices sur le mouvement d`objets ponctuels - Marie

TD 3 - Exercices sur le mouvement d’objets ponctuels
1. La figure 1 reporte l’accélération au cours du temps a(t) d’un (petit) chien chihuahua
alors qu’il poursuit un (gros) chien sheperd allemand, le mouvement étant entièrement
réalisé le long d’un axe unidimensionnel. Dans quelle(s) période(s) de temps le chien
chihuahua a-t-il un mouvement à vitesse constante ?
Figure 1 –
2. En 1992, le record de vitesse de pédalage à bicyclette a été obtenu par Chris Huber.
Son record était d’avoir parcouru 200 m en 6.509 s. En 2001, ce record a été battu par
Sam Whittingham. Il a en effet battu le record de vitesse détenu par Sam Whittingham
de 19 km/h. Quel est donc le temps réalisé par Sam Whittingham pour parcourir à
bicyclette la distance de 200 m ?
3. La position au cours du temps d’un objet se déplaçant le long de l’axe des x suit la
loi : x(t) = 3t − 4t2 + t3 , où x est en m et t en s.
Trouvez la position de l’objet aux instants t = 1 s, 2 s, 3 s, 4 s. Quel est le déplacement
de l’objet entre t = 0 et t = 4 s ?
Quelle est la loi de vitesse v(t) suivie par cet objet ? Quelle est la vitesse moyenne
entre t = 2 et t = 4 s ?
4. Si la position d’une particule est donnée par x(t) = 20t − 5t3 où t est en m et t en s,
quand (si cela existe) la particule a-t-elle une vitesse nulle ? Quand l’accélération de
cette particule est-elle nulle ? Pour quels intervalles de temps cette particule peut-elle
avooir une accélération négative ? une accélération positive ?
5. Des gouttes de pluie tombent de nuages localisés 1700 m au-dessus du sol. En considérant
que ces gouttes ne sont pas ralenties par la résistance de l’air, quelle est la vitesse de
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ces gouttes lorsqu’elles atteignent le sol ? Est-il dangereux ou non de marcher sous la
pluie lorsqu’un orage a lieu ?
6. Un joueur de base-ball est sur le banc de touche et s’amuse et passe son temps à
lancer la balle de base-ball verticalement en l’air. Au moment où on observe ce joueur
il lance la balle de base-ball verticalement le long de l’axe y avec une vitesse initiale
de 12 m/s.
1) Combien de temps faut-il à la balle pour atteindre sa hauteur maximale au-dessus
de son point de lancée initial ?
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle au-dessus de son point de lancée
initial ?
3) Quel temps faut-il à la balle pour atteindre une hauteur de 5 m au-dessus de son
point de lancée initial ?
7. Une mongolfière se déplace verticalement du sol vers le ciel suivant l’axe des y à la
vitesse de 12 m/s et se trouve à la hauteur de 80 m lorsqu’un paquet est jeté en dehors
de la nacelle. Quel temps faut-il au paquet pour atteindre le sol ? Avec quelle vitesse
ce paquet atteint-il le sol ?
8. Un lapin court à travers un champ pour lequel un repère à 2-dimensions d’axes ortho→
− →
−
normés ( i , j ) nous permet d’exprimer des vecteurs positions, vitesses et accélérations
dans l’espace. Les coordonnées x et y de ce lapin au cours du temps sont :
x = −0.31t2 + 7.2t + 28
y = 0.22t2 − 9.1t + 30
−
A l’instant t = 15 s, quel est le vecteur position →
r de ce lapin ? Donner 2 réponses :
→
− →
−
1) une réponse en notation vecteur dans le repère unitaire ( i , j ), 2) et une réponse
en notation amplitude/angle du vecteur.
Trouver le vecteur vitesse du lapin au même instant. De même, donnez deux façons
d’exprimer le vecteur vitesse.
Mêmes questions pour le vecteur accélération à l’instant t = 15 s.
9. Un éléphant se déplaçant dans l’espace à 3-dimensions se trouve à un instant t aux
coordonnées d’espace suivantes : x = −5 m, y = 8 m, z = 0 m. Donnez son vecteur
−
→
− →
− →
−
position →
r , (a) en termes de composantes dans un repère orthonormé ( i , j , k ), et
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en termes d’amplitude/angle par rapport à la direction des x. Tracez le vecteur dans
ce repère à 3-dimensions.
−
10. La position d’une fourmi est donnée par le vecteur →
r suivant dans un repère ortho−
→
−
→
− →
− →
→
−
→
−
−
−
normé ( i , j , k ) : →
r = 3.0t i − 4.0t2 j + 2.0 k , avec t en s et →
r en m.
−
−
Donnez le vecteur vitesse →
v de cette fourmi. Quel est →
v à l’instant t = 2.0 s ? Donnez
−
l’amplitude de →
v et l’angle formé par ce vecteur et l’axe des x.
−
−
Donnez le vecteur accélération →
a de cette fourmi. Quel est →
a à l’instant t = 2.0 s ?
11. Une pierre est catapultée à l’instant initial t = 0 avec une vitesse intiale d’amplitude
20 m/s avec un angle de +40◦ par rapport à un axe horizontal.
Quel est le mouvement de ce projectile, en distinguant le mouvement suivant l’axe
→
−
horizontal repéré par le vecteur unitaire i et le mouvement suivant l’axe vertical
→
−
repéré par le vecteur unitaire j , les deux vecteurs étant orthogonaux.
Quelles sont les composantes horizontale et verticale du vecteur déplacement de la
pierre par rapport à son point de lancement à l’instant t = 1.10 s ?
Répondre à la même question pour l’instant t = 1.80 s et t = 5.00 s.
12. On tire une balle à partir d’un pistolet qui est localisé à 45 m au-dessus du sol, la balle
sort du pistolet avec la vitesse initiale de 250 m/s, le vecteur vitesse étant horizontal.
Donnez les équations du mouvement de ce projectile.
Pendant combien de temps la balle reste-t-elle en l’air ?
A quelle distance horizontale du point de tir initial la balle touche-t-elle le sol ?
Quelle est l’amplitude de la composante verticale de la vitesse lorsque la balle touche
le sol ?
13. Sur la figure 2, un bateau de pirate est positionné à la distance R = 560 m d’un fort
Figure 2 –
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de défense à l’entrée d’un port d’une ı̂le. Un canon de défense localisé au niveau de la
mer tire des balles à la vitesse initiale v0 = 82 m/s.
Avec quel angle θ0 par rapport à la ligne horizontale doit-on tirer une balle de canon
afin que celle-ci atteigne le bateau ?
Quelle est la portée (=distance) maximale de ce canon, en d’autres termes quel est la
distance R maximale possible d’envoi d’une balle de canon ?
14. Comme illustré sur la figure 3 une pierre est jetée contre un mur de hauteur h avec
une vitesse initiale de 42 m/s et un angle initial θ0 = 60◦ au-dessus de l’horizontale.
La pierre atteint le mur au point A, 5.50 s après avoir été projetée.
Trouvez la hauteur h du mur.
Trouvez la vitesse de la pierre au moment de l’impact en A.
Trouvez la hauteur maximale H atteinte par la pierre durant son déplacement.
Figure 3 –
15. A quelle vitesse initiale le joueur de basketball représenté sur la figure 4 doit-il lancer le
ballon pour qu’elle rentre dans le panier ? On supposera que l’angle initial de lancé du
ballon de basket se fait avec l’angle θ0 = 55◦ au-dessus de l’horizontale. Les distances
notées sur le schéma sont d1 = 0.5 m, d2 = 5 m, h1 = 2 m, h2 = 3 m.
Figure 4 –
4
Exercices supplémentaires d’entrainement
16. Une voiture se déplace en ligne droite sur une distance de 40 km à la vitesse de
30 km/h. Elle continue ensuite suivant la même direction sur une distance de 40 km
à la vitesse de 60 km/h.
1) Quelle est la vitesse moyenne de la voiture le long de ce chemin de 80 km ? (on
suppose que la voiture roule dans la direction +x de l’axe des x)
2) Faites un dessin de l’évolution de la position x de la voiture en fonction du temps,
et expliquez comment trouver la vitesse moyenne graphiquement.
17. Sur la figure 5 on voit une situation typique dans laquelle un groupe de personnes essaye de s’enfuir par un couloir pour atteindre une porte qui leur permettrait d’échapper
à un feu (ils se déplacent de la gauche vers la droite). Le problème est que la porte
est fermée ! Chaque personne se déplace vers la porte à la vitesse de 3.5 m/s, occupe
un espace d’épaisseur grosso-modo de d = 0.25 m, et chaque personne est séparée de
la personne la précédant et la suivant de la distance L = 1.75 m. L’arrangement des
personnes sur la figure 5 correspond à l’instant initial t = 0 des mouvements que nous
considérons.
1) A quel taux moyen le bouchon constitué par ces personnes contre la porte fermée
se forme-t-il ?
2) A quel instant t le bouchon atteint-il une épaisseur de 5 m ?
Figure 5 –
18. Deux trains se déplaçant à une vitesse de 30 km/h roulent sur une voie unidimensionnelle et l’un vers l’autre. Un oiseau se déplaçant à la vitesse de 60 km/h décolle
de l’avant de l’un des trains lorsque les 2 trains sont séparés de la distance de 60 km
et se dirige directement vers l’autre train. Lorsqu’il atteint l’autre train, l’oiseau fait
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demi-tour et se dirige vers le 1er train, et ainsi de suite. Quelle est la distance totale
parcourue par l’oiseau avant que les 2 trains rentrent en collision frontale ?
19. A un certain moment une particule se déplace avec la vitesse de 18 m/s dans la
direction positive d’un axe x, et 2.4 s plus tard sa vitesse devient 30 m/s et elle se
déplace maintenant dans la direction opposée. Quelle est l’accélération moyenne de la
particule pendant cet intervalle de temps de 2.4 s ?
20. Une voiture se déplaçant à la vitesse de 56 km/h le long d’une direction x se trouve
à la distance de 24.0 m d’une barrière lorsque le conducteur appuie sur les freins de
façon constante. La voiture heurte la barrière 2 s après.
1) Quelle est l’amplitude de l’accélération constante de la voiture au moment de l’impact ?
2) A quelle vitesse se déplace la voiture au moment de l’impact ?
21. Sur la figure 6 un objet est envoyé verticalement en l’air et passe au cours de son
mouvement vertical ascendant devant 3 fenêtres d’égale hauteur et également espacées
les unes des autres.
Figure 6 –
Classez les fenêtres suivant les critères suivants (par ordre décroissant du critère, càd
la plus grande valeur en 1er, ...) :
1) critère de la vitesse moyenne de l’objet passant devant chaque fenêtre
2) critère de durée de passage de l’objet devant chaque fenêtre
3) critère de l’amplitude de l’accélération de l’objet passant devant les fenêtres
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4) critère de changement de vitesse de l’objet au cours du passage devant chaque
fenêtre.
22. Sur la figure 7, un avion de secours vole à la vitesse de 198 km/h et à l’altitude
constante h = 500 m, en direction d’un point qui correspond à une personne qui est à
secourir en mer. L’avion doit lacher une capsule de secours qui doit arriver à l’endroit
où cette personne est dans la mer.
Quel doit être l’angle Φ lorsque le pilote de l’avion largue la capsule, afin que la capsule
atteigne la personne en mer ?
Quelle est la vitesse de la capsule lorsqu’elle atteint l’eau ?
Figure 7 –
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