06 - Espaces probabilisés Cours complet

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet. - 1 -
Espaces probabilisés. Chapitre 06 : cours complet.
1. Introduction.
Définition 1.1 : univers.
Définition 1.2 : évènement aléatoire.
Définition 1.3 : évènements impossibles, certains, incompatibles.
2. Espaces probabilisés finis.
Définition 2.1 : probabilité sur un ensemble fini Ω, mesure de probabilité, espace probabilisé.
Définition 2.2 : évènement élémentaire ou atomique.
Théorème 2.1 : expression d’une probabilité à l’aide d’évènements élémentaires.
Théorème 2.2 : définition d’une probabilité à l’aide des événements élémentaires.
Définition 2.3 : probabilité uniforme sur un ensemble fini.
Théorème 2.3 : conséquences de la définition d’une probabilité.
Théorème 2.4 : probabilité d’une réunion d’évènements.
3. Probabilités conditionnelles, indépendance.
Théorème 3.1 et définition 3.1 : probabilité conditionnelle.
Théorème 3.2 : formule des probabilités composées.
Définition 3.2 : indépendance d’évènements.
Théorème 3.3 : caractérisation de l’indépendance de deux évènements.
Théorème 3.4 : liens entre les notions d’indépendance.
Théorème 3.5 : indépendance et passage au complémentaire.
Définition 3.3 : système complet d’évènements.
Théorème 3.6 : formule des probabilités totales.
Théorème 3.7 : formule de Bayes.
4. Ensembles dénombrables.
Définition 4.1 : ensemble fini.
Définition 4.2 : (hors programme) ensemble infini.
Définition 4.3 : ensemble dénombrable.
Théorème 4.1 : énumération des éléments d’un ensemble fini ou dénombrable.
Théorème 4.2 : (hors programme) parties de .
Théorème 4.3 : (hors programme) caractérisation des ensembles finis ou dénombrables.
Théorème 4.4 : produit cartésien d’ensembles dénombrables.
Théorème 4.5 : (hors programme) réunion dénombrable d’ensembles au plus dénombrables.
5. Espaces probabilisés.
Définition 5.1 : tribu.
Théorème 5.1 : propriétés élémentaires d’une tribu.
Définition 5.2 : probabilité sur (Ω,A), espace probabilisé.
Théorème 5.2 : conséquences de la définition d’une probabilité.
Théorème 5.3 : probabilité d’une partie finie.
Rappel : correspondance de vocabulaire.
Théorème 5.4 : continuité croissante et décroissante d’une probabilité.
Théorème 5.5 : probabilité d’une réunion d’évènements.
Théorème 5.6 : existence d’une probabilité sur un ensemble dénombrable.
6. Probabilités conditionnelles.
Théorème 6.1 et Définition 6.1 : probabilité conditionnelle.
Théorème 6.2 : formule des probabilités composées.
Théorème 6.3 : généralisation de la formule des probabilités composées.
Définition 6.2 : indépendance d’évènements et indépendance mutuelle.

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Théorème 6.4 : caractérisation de l’indépendance de deux évènements.
Théorème 6.5 : liens entre les notions d’indépendance.
Définition 6.3 : système complet dénombrable d’évènements.
Théorème 6.6 : formule des probabilités totales.
Définition 6.4 : événement presque sûr, événement négligeable.
Théorème 6.7 : généralisation (système quasi complet d’événements).
Théorème 6.8 : formule de Bayes.

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Espaces probabilisés. Chapitre 06 : cours complet.
1. Introduction.
La théorie des probabilités a pour ambition de décrire des phénomènes aléatoires (ou soumis au
hasard).
Une expérience dans le contexte qui suit est une situation renouvelable qui donne lieu à l’obtention d’un
résultat quantifiable.
Une expérience (ou phénomène) aléatoire est une situation renouvelable dont le résultat est
susceptible de varier à chaque essai de façon non prévisible.
Etudier un phénomène aléatoire suppose donc :
• d’isoler et de définir tout d’abord une expérience aléatoire précise,
• de construire un modèle probabiliste de cette expérience,
• de valider ce modèle en confrontant les résultats auxquels il conduit aux données recueillies lors de
l’expérience en question.
Ce dernier point est l’objet de la statistique.
Si le modèle est validé (à supposer qu’on comprenne clairement ce que cela signifie), on pourra
considérer le modèle comme valable, et donc pertinent pour faire des prédictions sur l’expérience et
d’en proposer une explication.
Exemple : le lancer d’un dé à 6 faces.
Ici, l’expérience est simple, puisque c’est le lancer de dé.
Le résultat de cette expérience est le nombre de points obtenus sur la face supérieure du dé.
Dans l’acceptation intuitive que l’on a des choses, on considèrera que chaque valeur (entre 1 et 6) a
autant de « chances » de sortir.
L’observation de cette expérience sur un grand nombre de cas (étude statistique) devrait permettre
de valider cette hypothèse ou de mettre en évidence par Exemple un déséquilibre du dé, et de fait,
de modifier la modélisation (autant de chances pour chaque résultat) qu’on avait faite de cette
expérience.
Définition 1.1 : univers.
Etant donné une expérience aléatoire, on appelle univers de cette expérience l’ensemble
généralement noté Ω des résultats possibles de cette expérience (ou ensemble des « éventualités »,
des « réalisations », des « issues » de cette expérience).
Remarques :
• en pratique, cet ensemble Ω n’est pas toujours précisé.
• l’ensemble Ω doit être choisi pour être adapté à l’expérience étudiée.
• l’ensemble Ω dépend de l’expérience et de ce que l’on veut étudier sur l’expérience.
• il existe souvent plusieurs choix possibles pour Ω et il est difficile de justifier que ces différents choix
conduiront à des résultats identiquement en accord avec l’expérience. C’est par le biais des
statistiques qu’a posteriori on peut justifier de la pertinence du choix de Ω et de son adéquation avec
l’expérience.
Exemples 1.1.
• le lancer d’un dé à six faces et l’examen du résultat :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit 6 éléments,
• le lancer d’une pièce :
Ω = {P,F}, soit 2 éléments,
• le lancer simultané de deux dés discernables et l’examen des nombres apparaissant sur les dés :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}×{1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit 36 éléments,
• dans une urne avec 1 boule blanche et deux boules noires,
le tirage d’une boule : Ω = {B,N},
le tirage successif de deux boules avec remise : Ω = {(B,B), (B,N), (N,B), (N,N)},
le tirage successif de deux boules sans remise : Ω = {(B,N), (N,B), (N,N)},
le tirage simultané de deux boules : Ω = {{B,N}, {N,N}}, (en notant l’ambiguïté de la

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notation {N,N}) puisque dans la description d’un ensemble, on ne répète pas un élément,
• une distribution de cartes entre 4 joueurs de bridge :
Ω est l’ensemble des répartitions possibles de 52 cartes en une partition de ces 52 cartes
en 4 sous-parties de 13 cartes chacune soit un ensemble de
53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 éléments,
• la désintégration d’un noyau d’uranium 238 :
Ω = ]0,+∞), soit l’ensemble des instants possibles où le noyau se désintègre, après le
début de l’observation, ou : Ω = *, si on discrétise l’échelle des temps.
Définition 1.2 : évènement aléatoire.
Etant donné une expérience, on appelle évènement aléatoire (ou évènement) un état pouvant être
observé ou pas suivant le résultat de cette expérience.
En termes de logique, cela correspond à une proposition portant sur le résultat de l’expérience, qui
pourra être vraie ou fausse suivant le résultat obtenu.
Exemples 1.2. (en reprenant les items de l’Exemple 1)
• dans le lancer d’un seul dé :
événement : « le dé donne un nombre pair »,
A = {2,4,6},
• dans le lancer d’une pièce :
événement : « la pièce donne Pile »,
A = {P},
• dans le lancer simultané de deux dés discernables :
événement : « la somme des dés est plus grande que 10 »,
A = {(6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6)},
• avec une urne contenant 1 boule blanche et 2 boules noires :
tirage d’une boule :
événement : « la boule tirée est blanche »
A = {B},
tirage successif de deux boules avec remise :
événement : « l’une des boules tirées est noire »,
A = {(B,N), (N,B), (N,N)},
tirage successif de deux boules sans remise :
événement : « l’une des boules tirées est noire »,
A = Ω,
tirage simultané de deux boules :
événement : « l’une des boules tirées est blanche »,
A = {{B,N}},
• dans la distribution de cartes entre 4 joueurs de bridge :
événement : « chaque joueur n’a qu’une seule couleur dans son jeu »,
A est formé de 24 éléments, chaque élément est une répartition
{{13 trèfles}, {13 cœurs}, {13 carreaux}, {13 piques}} en permutant les jeux attribués à
chaque joueur,
• dans la désintégration d’un noyau d’uranium 238 :
événement : « au bout d’une heure, le noyau s’est désintégré »,
A = ]0,3600] (avec le temps exprimé en secondes, cas continu), A = {1, 2, …, 3600} (cas discret).
Définition 1.3 : évènements impossibles, certains, incompatibles.
Etant donné une expérience, on dit qu’un évènement A est impossible s’il ne se réalise jamais,
autrement dit : ∀ ω ∈ Ω, ω ∉ A, soit encore : A = ∅.
De même, un évènement A est dit certain s’il se réalise toujours, autrement dit :
∀ ω ∈ Ω, ω ∈ A, soit encore : A = Ω.
Enfin, deux évènements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent jamais se réaliser en même
temps, soit : ∀ ω ∈ Ω, ω ∉ A ∩ B, ou encore : A ∩ B = ∅.
Remarques :
• On considère que si A est un évènement, son contraire (soit
A
) est aussi un évènement,

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• Si on considère deux évènements A et B, on imagine que leur conjonction A et B est encore un
évènement,
• De même, pour deux évènements A et B, leur disjonction A ou B est encore un évènement.
correspondance de vocabulaire :
probabiliste ⇔ ensembliste
résultat possible de l’expérience
ω, élément de Ω
évènement
A, sous-ensemble de Ω
A est réalisé
ω ∈ A
A implique B
A ⊂ B
A ou B
A ∪ B
A et B
A ∩ B
contraire de A (A ne se produit pas)
A
(complémentaire de A dans Ω)
évènement impossible
∅
évènement certain
Ω
A et B sont incompatibles
A ∩ B = ∅
Exemples 1.3 : le lancer simultané de deux dés indiscernables.
• dans ce cas, il peut être utile de supposer les dés discernables (par Exemple de couleurs
différentes) puis oublier cette caractéristique dans les conclusions.
• par Exemple si on veut examiner :
événement : « la somme des nombres affichés est supérieure à 9 », on pourrait envisager :
Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (tous les résultats possibles),
A = {9,10,11,12},
mais on verra qu’il est alors difficile d’évaluer avec quelle fréquence on obtiendra tel ou tel
résultat (ou quelle probabilité affecter à tel ou tel événement).
Il peut alors être plus judicieux de rendre les dés artificiellement discernables et :
Ω = {1,2,3,4,5,6}×{1,2,3,4,5,6} (tous les couples possibles de résultats), et A devient :
A’ = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}.
Il sera alors plus facile d’évaluer les fréquences d’occurrence (et les probabilités sur Ω).
• si on considère l’évènement « obtenir une somme supérieure ou égale à 9 », il est légitime
d’envisager l’évènement « obtenir une somme strictement inférieure à 9 ».
• les événements suivants sont incompatibles :
« obtenir une somme paire »,
« obtenir une somme impaire »,
et les parties correspondantes de Ω sont disjointes.
• si on peut considérer :
événement A : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 » , représenté par
A = {(5,6),(6,5),(6,6)}
événement B : « obtenir au moins un 5 », représenté par :
B = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}
on peut considérer leur conjonction ou leur disjonction :
événement A et B : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 avec au moins un 5 »,
A ∩ B = {(5,6),(6,5)},
événement A ou B : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 ou au moins un 5 »,
A ∪ B = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5),(6,6)}.
2. Espaces probabilisés finis.
Définition 2.1 : probabilité sur un ensemble fini
Ω
, mesure de probabilité, espace probabilisé.
Soit Ω un ensemble fini.
On appelle probabilité sur Ω (ou mesure de probabilité sur Ω) une application P de P(Ω) dans [0,1]
telle que :
• 1)(
=
Ω
P ,
• pour tout couple d’évènements disjoints A et B (et donc tels que :
∅
=
∩
BA ), on a :