Sem16 - Classe ECE1B du lycée Carnot 2016-2017

Lycée Carnot
ECE1B
2016-2017
P ROGRAMME DE COLLES
S EMAINE 16 DU 23/01/17 AU 27/01/17
Probabilités sur un univers fini- Limites de fonctions
Questions de cours (Définitions et démonstrations à connaître)
1. Formule du binôme de Newton (Preuve à connaître).
2. Définition d’une probabilité. Définition d’un système complet d’événements. Savoir donner deux exemples triviaux de
systèmes complets d’événements pour un univers Ω fini.
3. Proposition (propriétés des probabilités) (Preuve à connaître).
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini. Soit A et B deux événements (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω). Alors :
(a) P(B \ A) = P(B ) − P(A ∩ B )
(b) P( Ā) = 1 − P(A) donc P(;) = 0
(c) A ⊂ B ⇒ P(A) É P(B ) : Croissance de P
(d) P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B )
4. Proposition (système complet d’événements) (Preuve à connaître) :
Soit (A i )1Éi Én un système complet de l’espace probabilisé (Ω, P ). Alors
et pour tout événement B de Ω, on a P(B ) =
n
P
i =1
n
P
i =1
P (A i ) = 1
P(B ∩ A i )
5. Définition d’une probabilité conditionnelle.
6. Formules des probabilités totales (Preuve à connaître).
7. Formule de Bayes. Preuve admise.
8. Définition de l’indépendance de deux événements. Proposition de caractérisation de l’indépendance de deux événements.
(Preuve à connaître).
9. Proposition : soient A et B deux événements d’un univers fini. Si A et B sont indépendants, alors Ā et B sont indépendants ;
Ā et B̄ sont indépendants eux-aussi. (Preuve à connaître).
10. Définitions des différents cas de limites de fonctions (cf formulaire). Les élèves doivent être capables d’écrire avec des
quantificateurs les différents énoncés du type lim f (x) = +∞ et d’expliquer oralement ce qu’ils signifient (en employant
x→x 0
les termes/expressions de : voisinage, au grand que l’on veut, aussi proche que l’on veut de etc). (Définitions à connaître).
11. Théorème d’unicité de la limite (dans le cas d’une fonction admettant deux limites FINIES `1 ∈ R et `2 ∈ R). A quelle preuve
cela vous fait-il penser ? Quelle est la différence ici ? (Preuve à connaître).
12. Savoir lever une forme indéterminée en pratique : les élèves doivent connaître les recettes classiques : factoriser par les
termes de plus forte croissance, quantité conjuguée, croissance comparée, utilisation du taux d’accroissement d’une fonction.
13. Définitions d’une fonction négligeable devant une autre au voisinage d’un point. Définitions de l’équivalence de deux
fonctions au voisinage d’un point. Connaître l’exemple et la preuve de l’équivalent très célèbre : ln(1 + x) ∼ x, lorsque x
tend vers 0..
Avis aux colleurs
1. Il est demandé aux colleurs d’interroger en grande partie sur les probabilités, étant donné que nous avons commencé le
cours sur les limites de fonctions, seulement cette semaine.
2. Les élèves doivent être capables de donner sans hésitation la définition d’une probabilité. Merci de tester les réflexes suivants :
• la probabilité d’un événement est est un RÉEL, toujours compris entre ... et ... ;
• la probabilité d’un événement contraire en fonction de la probabilité d’un événement est donnée par la formule...,
• quelle est la formule d’additivité (pour deux événements incompatibles) ?
3. La preuve de la formule du binôme de Newton est un incontournable : merci de poser systématiquement cette question à
l’un des élèves dans chaque groupe !
Prévisions du programme de colle de la semaine suivante : limite de fonctions et continuité
1. Savoir mettre en pratique les énoncés sur les limites à gauche/limite à droite et sur le prolongement par continuité en un
point.
2. Définitions d’une asymptote verticale, horizontale, oblique, à une courbe représentative d’une fonction.
3. Théorème "dit de passage à la limite dans des inégalités". Attention, les inégalités strictes deviennent larges par passage à
la limite ! Preuve vue en TD.
4. Théorème d’encadrement. (Preuve à connaître).
5. Théorème (lien entre limite de fonctions et suite)
6. Conséquence : suite convergente et continuité d’une fonction. Il est important que les élèves pensent à mentionner la
continuité de la fonction. Application aux suites récurrentes.
7. Définition d’une suite extraite. Connaître trois exemples classiques de suites extraites. Quel est le théorème clé associé à cette
notion ? Dans quel type de question devrons-nous l’utiliser ?