cinématique Table des matières 1 description du mouvement d’un point 1.1 repérage dans l’espace et le temps . . . . . . . 1.2 vecteurs de bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 vecteur position . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 vecteur accélération . . . . . . . . . . 1.3 représentations graphiques d’un mouvement . 1.3.1 hodographe . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 trajectoire de phases . . . . . . . . . . 1.4 postulats et limites de la mécanique classique . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 . . . . 4 4 5 5 6 3 exemples de mouvements 3.1 mouvement de vecteur accélération constant (uniformément varié) . . . . . . 3.2 mouvement rectiligne sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 2 bases usuelles de projection 2.1 base fixe : coordonnées cartésiennes . 2.2 bases mobiles . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 coordonnées cylindro-polaires 2.2.2 coordonnées sphériques . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans l’Univers, de l’atome à l’univers lui-même, la notion de mouvement est omniprésente. La cinématique est la branche de la physique consacrée à la description des mouvements, sans se préoccuper de leurs causes. 1 description du mouvement d’un point 1.1 repérage dans l’espace et le temps Un mouvement dans l’absolu n’a pas de signification. Pour décrire précisément la position − → − → − → d’un point, il est nécessaire de fixer un repère d’espace (O, i , j , k ). Ce repère est le plus souvent choisi orthonormé (vecteurs de base unitaires et orthogonaux) et direct → − → − → − ( i ∧ j = k ). Dans un tel repère, la position d’un point matériel (modèle) est intégralement décrite par la données de trois coordonnées. S’il s’agit d’un solide matériel indéformable, les trois coordonnées précédentes décrivent en général son centre de gravité et il faut préciser l’orientation du solide par 3 coordonnées d’orientation (ψ, θ, ϕ). La position d’un point est associée à l’instant où cette position a été occupée. Il est donc nécessaire de préciser une date, repérée sur une horloge, c’est-à-dire un système physique dont on connaît la loi d’évolution en fonction du temps. Un point est donc décrit dans un référentiel d’étude : repère d’espace + horloge Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’étude choisi. Cependant, la mécanique classique postule que la durée des évènements est la même quel que soit le référentiel : le temps s’écoule de la même façon dans tous les référentiels. L’unité de temps est la seconde, définie comme 9 192 634 770 périodes de la radiation électromagnétique correspondant à la transition entre 2 niveaux hyperfins de l’état fondamental du césium 133. L’unité de longueur est fixée à partir de la seconde : le mètre est la longueur parcourue par 1 1 la lumière dans le vide en = s. c 299 792 458 1.2 vecteurs de bases Point matériel : mathématiquement, c’est un objet de dimension nulle (infiniment petit). En mécanique, nous entendrons par point matériel tout corps dont la position est parfaitement définie par la connaissance d’un point de l’espace, donc d’un triplet de nombres réels. Cela peut être une particule ou un corps dont les dimensions sont très petites devant les distances d’observation (satellite artificiel, planète, étoile,...) Pour décrire intégralement le mouvement d’un point matériel M dans un référentiel dont − → − → − → le repère d’espace est (O, i , j , k ), il faut donner les différents vecteurs suivants : 1.2.1 vecteur position −−−−→ −−→ OM (t) = r(t) L’ensemble des positions M occupées par le point matériel dans le référentiel d’étude constitue la trajectoire du point dans ce référentiel. 2 1.2.2 vecteur vitesse La position de M évoluant au cours du temps, le vecteur vitesse précise à la fois la rapidité du déplacement et sa direction à l’instant t. −−→ v(t)/R = −−−−−→ ! dOM (t) dt /R −−−−−−−−→ −−−−→ OM (t + ∆t) − OM (t) = lim ∆t→0 ∆t Le vecteur vitesse dépend du référentiel choisi. Il est par construction tangent à la trajectoire à l’instant t. La norme du vecteur vitesse est la vitesse scalaire du point matériel et est exprimée en m/s. 1.2.3 vecteur accélération Le vecteur accélération renseigne sur la variation de la vitesse scalaire à l’instant t mais aussi sur la variation de la direction du vecteur vitesse. −−→ a(t)/R = −−−→ ! dv(t) dt /R −−−−−−→ −−→ v(t + ∆t) − v(t) = lim = ∆t→0 ∆t −− −−−−→ ! d2 OM (t) dt2 /R La norme du vecteur accélération est exprimée en m.s−2 . 1.3 représentations graphiques d’un mouvement Outre la trajectoire qui privilégie le vecteur position et le vecteur vitesse, on peut représenter graphiquement un mouvement de différentes façons, de manière à avoir accès visuellement à d’autres caractéristiques du mouvement : 1.3.1 hodographe L’hodographe d’un point matériel dans un référentiel est l’ensemble des points N définis par −−−−→ −−→ ON (t) = v(t) Par construction, l’accélération est tangente à l’hodographe à l’instant t. −−→ exemple : pour un mouvement uniforme , kv(t)k =constante. −−→ kv(t)k2 = constante d −−→ −−→ (v(t).v(t)) = 0 dt −−→ −−→ dv(t) v(t). =0 dt −−→ −−→ v(t) ⊥ a(t) donc l’hodographe d’un mouvement uniforme est un cercle. exercice 8 3 1.3.2 trajectoire de phases Pour un mouvement à une dimension, on appelle espace de phase un système de coordonnées dans lequel on place x(t) en abscisse et v(t) en ordonnées. On appelle trajectoire de phase, la courbe décrite par l’ensemble des points de phases (x(t),v(t)), au cours du temps. On appelle portrait de phase, l’ensemble des trajectoires de phases décrites par un système, pour différentes conditions initiales. - si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique - si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est sinusoïdal 1.4 postulats et limites de la mécanique classique La mécanique classique repose sur deux postulats : 1. le temps s’écoule de la même façon dans tous les référentiels 2. il est possible de connaître avec une précision illimitée la position et la vitesse d’un système à un instant donné. L’hypothèse 1 est remise en cause dans la mécanique relativiste : le temps n’est pas conservé lors d’un changement de référentiel. Par contre, la vitesse de la lumière dans le vide est inchangée lors d’un changement de référentiel. L’hypothèse 2 est remise en cause par la mécanique quantique, avec le principe d’incertitude d’Heisenberg. Au sein du système solaire, les effets de la relativité générale restent négligeables. Par ailleurs, la mécanique newtonienne est une bonne approximation de la mécanique quanh tique pour des particules espacées d’une distance d où p est la quantité de mouvement p d’une particule. 2 bases usuelles de projection Suivant le type de mouvement étudié, on pourra choisir un repère d’espace plus ou moins commode pour sa description. 2.1 base fixe : coordonnées cartésiennes − − − Soit le repère cartésien (O, → e x, → e y, → ez ) associé au référentiel R. La position du point M dans R est repérée de manière univoque par les coordonnées (x,y,z). Dans ce repère, le vecteur position s’écrit : −−→ − − − OM = x→ e x + y→ e y + z→ ez 4 Les vecteurs du repère étant indépendants du temps, le vecteur vitesse s’écrit : → − − − − − − − v =v → e +v → e +v → e = ẋ→ e + ẏ → e + ż → e x x y y z z x y z et pour la même raison, le vecteur accélération s’écrit : → − − − − − − − a =a → e +a → e +a → e = ẍ→ e + ÿ → e + z̈ → e x x y y z z x y z exercices 4 -5 2.2 2.2.1 bases mobiles coordonnées cylindro-polaires description : Les coordonnées cylindriques (r,θ,z) définissent de manière univoque la position du point M. Soit H le projeté orthogonal de M sur le plan (xOy). On définit alors −−→ - r = kOHk = OH > 0, pouvant varier de 0 à +∞, −−→ − - θ = (→ ex , OH), pouvant varier de 0 à 2π - et z = HM , pouvant varier de −∞ à +∞ − − − − − La base locale orthonormée (→ er ,→ eθ ,→ ez ) est liée au point M, donc mobile : → er = → er (t) et → − → − eθ = eθ (t) Elle est définie par : −−→ OH → − er = −−→ kOHk → − → − − eθ = ez ∧ → er − − − − − − Par définition, → er = cos θ→ ex + sin θ→ ey et → eθ = − sin θ→ ex + cos θ→ ey x = r cos θ et y = r sin θ On a donc : − − d→ er d→ er dθ − = ∗ = θ̇ → eθ et dt dθ dt − − d→ eθ d→ eθ dθ − = ∗ = − θ̇ → er dt dθ dt 5 vecteurs position, vitesse, accélération : Dans ce repère, le vecteur position s’écrit : −−→ − − OM = r → er + z → ez −−→ − dOM d→ er → − − − Le vecteur vitesse s’écrit : v = = ṙ → er + r + ż → ez dt dt → − − − − v = ṙ → er + rθ̇ → eθ + ż → ez − − − d→ v d→ er d→ eθ − − − − Le vecteur accélération s’écrit : → a = = r̈ → er + ṙ + (ṙθ̇ + rθ̈) → eθ + rθ̇ + z̈ → ez dt dt dt → − − − − a = (r̈ − rθ̇2 ) → er + (2ṙθ̇ + rθ̈) → eθ + z̈ → ez ar = r̈ − rθ̇2 est la composante radiale de l’accélération. aθ = 2ṙθ̇ + rθ̈ est la composante orthoradiale de l’accélération. az = z̈ est la composante axiale de l’accélération. coordonnées polaires : dans le cas, d’un mouvement plan, le mouvement peut être − − décrit avec les coordonnées polaires (r, θ) et la base mobile (→ er ,→ eθ ) dérivant de la description précédente. exercices 1 - 2 - 3 - 7- 9 2.2.2 coordonnées sphériques description : Les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) définissent de manière univoque la position du point M. −−→ - r = kOM k peut varier de 0 à +∞, −−→ − - θ = (→ ez , OM ) peut varier de 0 à π, −−→ − - et ϕ = (→ ex , OH) peut varier de 0 à 2π. − − La base locale orthonormée (→ er ,→ e θ ,− e→ ϕ ) est liée au point M, donc mobile. Elle est définie par : −−→ OM → − er = −−→ kOM k 6 −−→ − → − − eθ est directement orthogonal dans le plan (O, OM , → ez ) à → er − − − e→ = → e ∧→ e ϕ r θ − − − − − − Par définition, → er = sin θ cos ϕ → ex + sin θ sin ϕ → ey + cos θ → ez et → eθ = cos θ cos ϕ → ex + → − → − − → → − → − cos θ sin ϕ ey − sin θ ez et eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey vecteurs position, vitesse, accélération : Dans ce repère, le vecteur position s’écrit : −−→ − OM = r → er Le vecteur vitesse s’écrit : → − − − v = ṙ → er + rθ̇ → eθ + r sin θ ϕ̇ − e→ ϕ exercice 6 3 3.1 exemples de mouvements mouvement de vecteur accélération constant (uniformément varié) C’est par exemple le cas d’un mouvement de chute libre. Soit un point matériel M, dont le vecteur accélération ~a est constant dans le référentiel − − − − − − − − d’étude. On choisit le repère cartésien (O, → ex , → ey , → ez ) tel que → a = a→ ex ; → v0 = v0x → ex + v0y → ey et M se trouve au point O à l’instant initial. On obtient par intégration entre l’instant 0 et l’instant t : → − − − v = at → ex + → v0 vx = at + v0x vy = v0y vz = 0 De même : −−→ 1 2 → − OM = at − ex + → v 0t 2 1 x = at2 + v0x t 2 y = v0y t z=0 Le mouvement est donc plan, dans le plan défini initialement par les vecteurs vitesse et accélération. 7 3.2 mouvement rectiligne sinusoïdal C’est le cas d’une masse accrochée à un ressort et oscillant sans frottement le long d’un axe vertical. Dans un repère cartésien donc l’axe (Ox) est l’axe d’oscillation, l’équation du mouvement est du type : → − − a = ω02 (x − xeq )→ ex On a alors : d2 x = ω02 (x − xeq ) dt2 Les solutions de cette équation sont du type x(t) = xeq + A cos(ω0 t + ϕ) v(t) = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ) On peut tracer le portrait de phase correspondant. les trajectoires de phase ont pour équation : v(t) 2 (x − xeq )2 + ( ) = A2 ω0 Ce sont donc des ellipses centrées sur le point d’équilibre. 3.3 mouvement circulaire Un mouvement circulaire est un mouvement plan, décrit en coordonnées polaires par −−→ − OM = R→ er R étant constant. On a alors → − − v = Rθ̇ → eθ → − − − a = −Rθ̇2 → e r + Rθ̈ → eθ Si le mouvement est circulaire ET uniforme, on a alors θ̈ = 0. La vitesse est v2 . donc orthoradiale et l’accélération est radiale et centripète, avec a = R 8