cinématique - mpsi1-fenelon-sainte

cinématique
Table des matières
1 description du mouvement d’un point 2
1.1 repérage dans l’espace et le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 vecteursdebases ................................. 2
1.2.1 vecteurposition.............................. 2
1.2.2 vecteurvitesse .............................. 3
1.2.3 vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 représentations graphiques d’un mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 hodographe ................................ 3
1.3.2 trajectoire de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 postulats et limites de la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 bases usuelles de projection 4
2.1 base fixe : coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 basesmobiles ................................... 5
2.2.1 coordonnées cylindro-polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 exemples de mouvements 7
3.1 mouvement de vecteur accélération constant (uniformément varié) . . . . . . 7
3.2 mouvement rectiligne sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 mouvementcirculaire............................... 8
1

Dans l’Univers, de l’atome à l’univers lui-même, la notion de mouvement est omniprésente.
La cinématique est la branche de la physique consacrée à la description des mouvements,
sans se préoccuper de leurs causes.
1 description du mouvement d’un point
1.1 repérage dans l’espace et le temps
Un mouvement dans l’absolu n’a pas de signification. Pour décrire précisément la position
d’un point, il est nécessaire de fixer un repère d’espace (O,−→ i,−→ j,−→ k). Ce repère est
le plus souvent choisi orthonormé (vecteurs de base unitaires et orthogonaux) et direct
(−→ i∧−→ j=−→ k).
Dans un tel repère, la position d’un point matériel (modèle) est intégralement décrite
par la données de trois coordonnées. S’il s’agit d’un solide matériel indéformable, les trois
coordonnées précédentes décrivent en général son centre de gravité et il faut préciser l’orien-
tation du solide par 3 coordonnées d’orientation (ψ, θ, ϕ).
La position d’un point est associée à l’instant où cette position a été occupée. Il est donc
nécessaire de préciser une date, repérée sur une horloge, c’est-à-dire un système physique
dont on connaît la loi d’évolution en fonction du temps.
Un point est donc décrit dans un référentiel d’étude : repère d’espace + horloge
Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’étude choisi. Cependant, la mécanique
classique postule que la durée des évènements est la même quel que soit le référentiel : le
temps s’écoule de la même façon dans tous les référentiels.
L’unité de temps est la seconde, définie comme 9 192 634 770 périodes de la radiation
électromagnétique correspondant à la transition entre 2 niveaux hyperfins de l’état fonda-
mental du césium 133.
L’unité de longueur est fixée à partir de la seconde : le mètre est la longueur parcourue par
la lumière dans le vide en 1
c=1 299 792 458s.
1.2 vecteurs de bases
Point matériel : mathématiquement, c’est un objet de dimension nulle (infiniment petit).
En mécanique, nous entendrons par point matériel tout corps dont la position est parfai-
tement définie par la connaissance d’un point de l’espace, donc d’un triplet de nombres
réels. Cela peut être une particule ou un corps dont les dimensions sont très petites devant
les distances d’observation (satellite artificiel, planète, étoile,...)
Pour décrire intégralement le mouvement d’un point matériel M dans un référentiel dont
le repère d’espace est (O,−→ i,−→ j,−→ k), il faut donner les différents vecteurs suivants :
1.2.1 vecteur position
−−−−→
OM(t) = −−→ r(t)
L’ensemble des positions M occupées par le point matériel dans le référentiel d’étude consti-
tue la trajectoire du point dans ce référentiel.
2

1.2.2 vecteur vitesse
La position de M évoluant au cours du temps, le vecteur vitesse précise à la fois la rapidité
du déplacement et sa direction à l’instant t.
−−→
v(t)/R= −−−−−→
dOM(t)
dt !/R
= lim
∆t→0
−−−−−−−−→
OM(t+ ∆t)−−−−−→ OM(t)
∆t
Le vecteur vitesse dépend du référentiel choisi. Il est par construction tangent à la trajec-
toire à l’instant t. La norme du vecteur vitesse est la vitesse scalaire du point matériel et
est exprimée en m/s.
1.2.3 vecteur accélération
Le vecteur accélération renseigne sur la variation de la vitesse scalaire à l’instant t mais
aussi sur la variation de la direction du vecteur vitesse.
−−→
a(t)/R= −−−→
dv(t)
dt !/R
= lim
∆t→0
−−−−−−→
v(t+ ∆t)−−−→ v(t)
∆t= −−−−−−→
d2OM(t)
dt2!/R
La norme du vecteur accélération est exprimée en m.s−2.
1.3 représentations graphiques d’un mouvement
Outre la trajectoire qui privilégie le vecteur position et le vecteur vitesse, on peut re-
présenter graphiquement un mouvement de différentes façons, de manière à avoir accès
visuellement à d’autres caractéristiques du mouvement :
1.3.1 hodographe
L’hodographe d’un point matériel dans un référentiel est l’ensemble des points N définis
par −−−−→
ON(t) = −−→ v(t)
Par construction, l’accélération est tangente à l’hodographe à l’instant t.
exemple : pour un mouvement uniforme , k−−→ v(t)k=constante.
k−−→ v(t)k2=constante
d
dt(−−→
v(t).−−→ v(t)) = 0
−−→
v(t).d−−→
v(t)
dt = 0
−−→
v(t)⊥−−→ a(t)donc l’hodographe d’un mouvement uniforme est un cercle.
exercice 8
3

1.3.2 trajectoire de phases
Pour un mouvement à une dimension, on appelle espace de phase un système de coor-
données dans lequel on place x(t) en abscisse et v(t) en ordonnées.
On appelle trajectoire de phase, la courbe décrite par l’ensemble des points de phases
(x(t),v(t)), au cours du temps.
On appelle portrait de phase, l’ensemble des trajectoires de phases décrites par un sys-
tème, pour différentes conditions initiales.
- si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique
- si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est sinusoïdal
1.4 postulats et limites de la mécanique classique
La mécanique classique repose sur deux postulats :
1. le temps s’écoule de la même façon dans tous les référentiels
2. il est possible de connaître avec une précision illimitée la position et la vitesse d’un
système à un instant donné.
L’hypothèse 1 est remise en cause dans la mécanique relativiste : le temps n’est pas conservé
lors d’un changement de référentiel. Par contre, la vitesse de la lumière dans le vide est
inchangée lors d’un changement de référentiel.
L’hypothèse 2 est remise en cause par la mécanique quantique, avec le principe d’incerti-
tude d’Heisenberg.
Au sein du système solaire, les effets de la relativité générale restent négligeables. Par
ailleurs, la mécanique newtonienne est une bonne approximation de la mécanique quan-
tique pour des particules espacées d’une distance dh
poù p est la quantité de mouvement
d’une particule.
2 bases usuelles de projection
Suivant le type de mouvement étudié, on pourra choisir un repère d’espace plus ou moins
commode pour sa description.
2.1 base fixe : coordonnées cartésiennes
Soit le repère cartésien (O, −→ ex,−→ ey,−→ ez)associé au référentiel R. La position du point M
dans Rest repérée de manière univoque par les coordonnées (x,y,z). Dans ce repère, le
vecteur position s’écrit : −−→
OM =x−→ ex+y−→ ey+z−→ ez
4

Les vecteurs du repère étant indépendants du temps, le vecteur vitesse s’écrit :
−→
v=vx−→ ex+vy−→ ey+vz−→ ez= ˙x−→ ex+ ˙y−→ ey+ ˙z−→ ez
et pour la même raison, le vecteur accélération s’écrit :
−→
a=ax−→ ex+ay−→ ey+az−→ ez= ¨x−→ ex+ ¨y−→ ey+ ¨z−→ ez
exercices 4 -5
2.2 bases mobiles
2.2.1 coordonnées cylindro-polaires
description :
Les coordonnées cylindriques (r,θ,z) définissent de manière univoque la position du point
M.
Soit H le projeté orthogonal de M sur le plan (xOy). On définit alors
-r=k−−→ OHk=OH > 0, pouvant varier de 0 à +∞,
-θ= (−→ ex,−−→ OH), pouvant varier de 0 à 2π
- et z=HM, pouvant varier de −∞ à+∞
La base locale orthonormée (−→ er,−→ eθ,−→ ez) est liée au point M, donc mobile : −→ er=−→ er(t) et
−→
eθ=−→ eθ(t)
Elle est définie par :
−→
er=
−−→
OH
k−−→ OHk
−→
eθ=−→ ez∧−→ er
Par définition, −→ er= cos θ−→ ex+ sin θ−→ eyet −→ eθ=−sin θ−→ ex+ cos θ−→ ey
x=rcos θet y=rsin θ
On a donc :
d−→ er
dt =d−→
er
dθ ∗dθ dt =˙
θ−→ eθet d−→
eθ
dt =d−→
eθ
dθ ∗dθ dt =−˙
θ−→ er
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