CHAPITRE 2 FONCTIONS REELLES D`UNE VARIABLE REELLE

K.REDJDAL
CHAPITRE 2
FONCTIONS REELLES D’UNE
VARIABLE REELLE
1- GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE
VARIABLE REELE
Une fonction numérique est une correspondance entre deux ensembles de valeurs numériques
E et F.
E est appelé ensemble de départ dont les éléments sont des antécédents et F est appelé
ensemble d’arrivée dont les éléments sont des images.
Lorsque E et F sont des ensembles de nombres réels, on parle de fonction numérique à
variable réelle. On notera généralement x l’antécédent et y l’image ; f la fonction.
)x(fyx 
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x)
est calculable dans R.
A titre de rappel, dans R, les seules opérations non autorisées sont la division par zéro et la
racine d’ordre pair d’un nombre négatif ainsi que le logarithme d’un nombre négatif.
Exemple 1.1 Les fonctions polynomiales ont pour domaine de définition R.
Exemple 1.2
2x x
)x(f 
x-2 doit être différent de zéro donc x différent de 2. Le domaine de f est alors R-{2} soit
soit : ]-∞ ; 2[ ]2 ; +∞[
Exemple 1.3
3x2x 2x
)x(f 2
Le dénominateur, trinôme du second degré, doit être non nul. Le domaine de f est alors R- {
-3 ; 1} ce qui s’écrit sous forme d’intervalle: ]-∞; -3[]-3;1[]1; +∞[
Exemple 1.4
16x6xx
)x(f 2
2
La fonction f est définie lorsque x2+x-6 ≥0 soit x  ]-∞ ; -3]  [2 ; +∞[ et lorsque en
même temps x2-16≠0 soit x≠ -4 et x ≠ 4
Les deux conditions sont réunies à la fois pour
x  ]-∞; -4[]-4 ; -3] [2 ; 4[ ]4 ; +∞[

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2- LIMITES
2-1 Définitions
Limite en un point x0 :
Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie dans un domaine D contenant
x0 ( sauf peut être en x0 lui même ( voir remarque). On dit que f admet le nombre L
comme limite au point x0 si :
  > 0,   >0 (dépendant de  ) tel que pour tout x  x0 vérifiant x - x0 <  ont ait 
f(x) – L  < .
On note :
En termes plus simples: f(x) tend vers L lorsque x tend vers x0 signifie qu’au fur et à
mesure que x s’approche de x0 , f(x) s’approche de L.
 Unicité de la limite : Lorsque la limite de f en x0 existe , elle est unique.
 Limite à gauche en x0 : Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie au
moins à gauche de x0 . On dit que f admet le nombre Lg comme limite à gauche de
x0 si :
On note :
 Limite à droite en x0 : Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie au
moins à droite de x0 . On dit que f admet le nombre Ld comme limite à gauche de x0
si :
On note

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La fonction f admet une limite en x0 si les deux limites, à gauche et à droite , existent et
sont égales.
Remarque : Lorsque la fonction f(x) est définie en x0 , la limite de f(x) lorsque x tend vers
x0 est égale à la valeur f(x0) de cette fonction en ce point.
 Limite infinie en x0 :
c’est à dire, pour un réel A étant arbitrairement choisi aussi grand que l’on veut, alors toutes
les valeurs f(x) de la fonction dépassent ce réel, dès que x est assez proche de x0 .
Exemple 2.1: La fonction f(x) =
1
2
x
tend vers + lorsque x tend vers 0
Si x-0<  alors x2 < 2 ce qui implique
1
2
x
>
1
2
c’est à dire f(x) >
1
2
Il suffit donc de prendre
1
2
> A soit  <
1
A
Exemple 2.2: La fonction f(x) =
1
12 x
tend vers -  lorsque x tend vers 1+
On a :  1-x2  =  (1-x ) ( 1+x) 
Quand x tend vers 1+ , x est voisin de 1 tout en étant supérieur à 1; on peut donc écrire par
exemple 1< x 2 soit 2<1+x 3.
Comme  1-x  =  x-1  <  on a :  (1-x ) ( 1+x)  < 3 .
 f(x)=
1
21
1
1 1 1
1 1
xx x x x
()( )
>
1
3
soit f(x) < -
1
3
Il suffit alors de prendre A = -
1
3
ou encore  = -
1
3A
pour réaliser f(x) < - A dès que
x-1 <  quel que soit A > 0.
Limite en +  et - :
On peut définir de la même manière que précédemment :

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Dans les deux limites précédentes, il s’agit d’exprimer éventuellement B en fonction de .
Dans les quatre limites précédentes, il s’agit d’exprimer éventuellement B en fonction de
A.
Exemple 2.3 : La fonction f(x) = x2 +1 tend vers + lorsque x tend vers +
Il s’agit de choisir un nombre réel positif A aussi grand que l’on veut et ensuite trouver un
nombre B positif tel que dès que x>A alors f(x)>B.
La relation x > A implique que x2 > A2 ou encore x2 +1 > A2 + 1. Il suffit alors de prendre
B = A2 +1.
Remarque : En pratique, on dispose évidemment d’un certain nombre de théorèmes qui
permettent de calculer directement les limites sans faire appel à chaque fois à ces
définitions.
2-2- Opérations sur les limites
Cas de formes non indéterminées
Cas 1 : Les limites de f et g sont des constantes que l’on note respectivement
par Lf et Lg.
  f tend vers  Lf quel que soit la constante réelle .
 f + g tend vers Lf + Lg.
 f g tend vers Lf Lg.
 f/g tend vers Lf / Lg sauf si Lg = 0 auquel cas

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Cas 2 : La limite de f est une constante Lf et la limite de g infinie.
  f tend vers (Lf ) pour toute constante réelle 
 f + g tend vers  ( + si g tend vers + et -  si g tend vers - )
 f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes) sauf si Lf =0 auquel cas fg se
présente sous une forme indéterminée 0 x 
 f/g tend vers 0 (0+ ou 0- selon la règle des signes)
Cas 3 : La limite de f est infinie et la limite de g une constante Lg
  f tend vers  ( +  ou -  selon la règle des signes)
 f + g tend vers  ( + si f tend vers + et -  si f tend vers - )
 f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes) sauf si Lg =0 auquel cas fg se
présente sous une forme indéterminée  x 0
 f/g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes)
Cas 4 : Les limites de f et g sont infinies
  f tend vers  ( +  ou -  selon la règle des signes)
 f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes)
 f/g est une forme indéterminée vers /
Formes indéterminées
Pratiquement, le calcul de limites qui nécessite un développement, concerne les formes
indéterminées 0/0 / 0 x  +  - 
Nous présentons ici quelques théorèmes fondamentaux qui permettent de lever ces
formes indéterminées.
Théorème 1 : Limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini
La limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini est égale
à la limite de son monôme du plus haut degré.
Exemple 2.4 :