Champs tournants, création d`un couple électromagnétique.

Champ tournant, création de couple électromagnétique
S IMON S ELLEM – [email protected]
Motivation
Toute machine tournante classique comporte un stator et un rotor. Il est nécessaire d’étudier la répartition de l’induction magnétique le long de l’entrefer situé entre le rotor et le stator puisque c’est là
qu’auront lieu les phénomènes principaux permettant d’expliquer le transfert d’énergie mécanique/électrique et le fonctionnement des machines alternatives en régime permanent. Cette leçon vient
donc introduire les machines tournantes. Toutes les machines fonctionnent sur le même principe :
interaction entre deux champs magnétiques.
On se proposera dans un premier temps de faire le lien entre les champs crées dans les machines tournantes et le couple qu’elles génèrent en conséquence, après quoi nous présenterons différentes façons
de créer des champs tournant, en présentant des théorèmes associés à ces phénomènes.
Nous ferons tout au long de la leçon l’hypothèse que µr 1, que l’entrefer est idéal, que les machines
ne saturent pas, et que les champs statoriques (non tournants) sont à répartition spatiale sinusoïdale
(dernière hypothèse justifiée dans l’autre approche (by J.GORI), ils seront schématiquement représentés par une seule spire par souci de lisibilité des figures).
Table des matières
1 Lien entre le champs crées dans les machines et le couple qu’elles génèrent
1.1 Etude d’un cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Approche à partir des puissances by J. GORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Champ tournant créé par une armature mobile alimentée par un courant constant
4
3 Champs tournants créés par une armature monophasée fixe alimentée en courant alternatif
4
4 Champ tournant créé par une armature triphasée fixe alimentée en courant alternatif
5
5 Conclusion
7
1
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
1
Lien entre le champs crées dans les machines et le couple qu’elles
génèrent
— Expérience à faire avec les mini machines de gros tek alimentées comme il se doit pour montrer
les différents phénomènes
— Utilisation possible (et idéale) du logiciel FEMM pour montrer le chemin des lignes de champ au
sein d’une machine
1.1
Etude d’un cas simple
Etude du cas le plus simple du dipôle magnétique (autrement dit d’une spire parcourue par un courant
~ uniforme (un tel champ peu être créé par un aimant permanent
I permanent) plongé dans un champ B
par exemple) :
~
F IGURE 1 – spire alimentée par un courant constant dans un champ magnétique permanent B
Le moment de la force de Laplace par rapport au centre d’inertie 0 de la spire s’écrit
I
I
−−→
−−→ −→
−−→
~Γ =
~
OP ∧ dF =
OP ∧ I dOP ∧ B
spire
spire
Aprè avoir déroulé les calculs (que vous trouverez partout) on trouve
~Γ = IS~n ∧ B
~ =M
~ ∧B
~
(1)
Le champ magnétique exerce un moment qui va avoir tendance à faire tourner la spire sur elle-même,
~ s’aligne dans la direction de B.
~ Le moment est
de telle sorte que son moment magnétique dipolaire M
de plus maximal quand les deux champs sont orthogonaux. On commence à préssentir ce qu’il va se
passer, de manière cette fois dynamique, dans les machines avec des champs rotoriques et statoriques
tournants...
1.2
Méthode des moments
D’une facon générale, on peut parler de la méthode des moments afin de donner le lien entre champ
créé dans une machine et création de couple dans celle-ci (attention, ne pas utiliser si le niveau de la
leçon est BTS)
ZZZ
1
Wmag =
·
(Bresultant )2 dVol
2µ0
Vol
−−→ −−−−→ −−−−→
avec Bres = Brotor + Bstator Le couple s’écrit alors :
∂Wmag
Cem =
(2)
∂θ
irotor ,istator =cte
2
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
On démontre ceci avec deux bilans d’énergie sur une machine :
∂We = ∂Wmeca + ∂Wstocke + ∂Q
ou encore
idΦ + Ri2 dt = Cr dθ + Ri2 dt + ∂Wmag + JΩdΩ
et un deuxième bilan
idΦ + Ce dθ + dWmag
On écrit enfin la différentielle de Wmag qui donne idΦ + Ce dθ d’après bilan 1 et on a le résultat attendu.
1.3
Approche à partir des puissances by J. GORI
On se place dans le cas d’une paire de pôles et d’une machine triphasée. Pour garder un caractère
général, on suppose qu’il y à trois spires convenablement réparties (pour avoir un système équilibré) et
qu’il existe un champ tournant b0 (t) tel que :
√
b0 (t) = B 2 cos(ω 0 t − θ)
ce qui induit dans chaque phase les tensions :
√
e1 = −ω 0 B 2 sin(ω 0 t − θ)S
√
2π
)S
e2 = −ω 0 B 2 sin(ω 0 t − θ −
3
√
4π
e3 = −ω 0 B 2 sin(ω 0 t − θ −
)S
3
Si le système décrit précédemment est alimenté par un système de courants triphasé équilibré, les
courants sont alors de la forme :
√
i1 = I 2 sin(ωt − φ)
√
2π
)
i2 = I 2 sin(ωt − φ −
3
√
4π
i3 = I 2 sin(ωt − φ −
)
3
On a alors l’échange d’énergie suivant entre réseau et machine :
Pe (t) =
3
X
j=1
ej (t)ij (t) =
i
√
3h 0 √
−ω B 2SI 2 cos(ω 0 t − ωt + φ − θ)
2
Soit :
Pe (t) = −3ω 0 BSI cos((ω 0 − ω)t + φ − θ)
et au final, on obtient pour le couple, en considérant
Pe = Cem × Ω
|Cem | = 3BSI cos((ω 0 − ω)t + φ − θ)
Sur une période, le couple moyen est nul dans le cas général. Toutefois :
< Cem >T = A < cos((ω 0 − ω)t + φ − θ) >T 6= 0 si ω 0 = ω
3
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
2
Champ tournant créé par une armature mobile alimentée par un
courant constant
On considère le bobinage rotorique représenté sur la figure ci-dessous parcouru par un courant
constant I supposé positif. On considère un point M fixe de l’entrefer situé à l’abscisse angulaire θ
par rapport à l’axe du stator (fixe)
F IGURE 2 – Cas d’un bobinage bipolaire porté par une armature tournante
Le rotor tourne à la vitesse Ω (dans le sens positif, et Ω constant), l’induction magnétique au point M
peut s’écrire :
B(M ) = B(θ, t) = B0 cos(Ωt − θ)
(3)
L’induction dans l’entrefer dépend à la fois de la date t et de la position du point M. En un point
fixe de l’entrefer on observe au point M un champ qui varie sinusoïdalement en fonction du temps à la
pulsation Ω. Si maintenant un prend une photo de ce qu’il se passe à l’instant t, on a une répartition
spatiale sinusoïdale en fonction de la position du point M dans l’entrefer.
On peut généraliser facilement le résultat ci-dessus dans le cas d’une machine comportant p paires
de pôles :
B(θ, t) = B0 cos(pΩt − pθ) = B0 cos(ωt − pθ)
(4)
avec ω = pΩ la vitesse électrique
3
Champs tournants créés par une armature monophasée fixe alimentée en courant alternatif
On considère toujours le schéma de la figure 1 mais cette fois le rotor est fixe et le courant injecté
dans celui-ci est de la forme i(t) = I cos(ωt) ce courant crée toujours un champs
B(θ, t) = ki(t) cos(θ) = kI cos(ωt) cos(θ)
d’où
B(θ, t) =
1
1
kI cos(ωt − θ) + kI cos(ωt + θ)
2
2
4
(5)
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
L’analyse de ce résultat et la généralisation comme dans le paragraphe précédent à une armature ppolaire nous amène au théorème de Leblanc :
Une armature p-polaire, fixe, monophasée, à répartition spatiale sinusoïdale, alimentée par un courant alternatif i(t) = I cos(ωt) crée deux champs tournants :
— de même amplitude à répartition spatiale sinusoïdale ;
— tournant en sens inverse l’un de l’autre à a même vitesse ωp ;
— dont les axes coïncident avec l’axe du bobinage lorsque le courant qui les
traverse est maximal
4
Champ tournant créé par une armature triphasée fixe alimentée
en courant alternatif
On considère maintenant un bobinage triphasé constitué de trois bobines identiques et réparties sur
la périphérie du stator. Les axes des bobines sont décalés entre eux d’un angle électrique égal à 2π
3 .
F IGURE 3 – Armature triphasée fixe alimentée par un système triphasé équilibré direct de courants
Les courants qui alimentent les bobinages ont pour expression :

 i1 (t) = I cos(ωt)
i2 (t) = I cos(ωt − 2π
3 )

i3 (t) = I cos(ωt − 2π
3 )
Si l’on considère le point M situé :
— à l’angle θ du bobinage 1
— à l’angle θ + 4π
3 du bobinage 2
— à l’angle θ + 2π
3 du bobinage 3
Ces bobinages créeront au point M des inductions respectives B1 , B2 , B3 dont les amplitudes sont
données ci-dessous :

 B1 (θ, t) = kI cos(ωt) cos(θ)
4π
B2 (θ, t) = kI cos(ωt − 2π
3 ) cos(θ + 3 )

4π
B3 (θ, t) = kI cos(ωt − 3 ) cos(θ + 2π
3 )
Et le champ résultant au point M s’écrit B(M ) = B1 + B2 + B3 .
— PETIT DIAGRAMME DE FRESNEL POUR MONTRER DANS LE PLAN COMPLEXE CE QU IL SE
PASSE AVEC LA SOMME DES CHAMPS
5
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
La linéarisation des sinus donne donc
B(θ, t) =
kI
kI
2π
6π
kI
2π
6π
[cos(ωt+θ)+cos(ωt−θ)]+ [cos(ωt+θ+ )+cos(ωt−θ− )]+ [cos(ωt+θ− )+cos(ωt−θ− )]
2
2
3
3
2
3
3
B(θ, t) =
kI
2π
2π
kI
[3 · cos(ωt − θ)] +
[cos(ωt + θ + cos(ωt + θ +
) + cos(ωt + θ −
)]
2
2 |
3
3}
{z
=0
Au final :
kI
[3 · cos(ωt − θ)]
(6)
2
Ce qui nous amène, après généralisation comme dans les parties précédentes aux machines à p paires
de pôles, à l’énoncé du théorème de Ferraris :
B(θ, t) =
Une armature fixe, triphasée à répartition de champ spatiale sinusoïdale parcourue
par un système de courants sinusoïdaux triphasés équilibrés donne naissance à un
seul champ tournant à la vitesse Ωs = ωp dont l’axe coïncide avec l’axe du bobinage
lorsque le courant qui le traverse est maximal.
Remarques :
(a) Si l’on inverse l’ordre de succession des phases, on inverse le sens de rotation du champ
(b) Plus généralement, en considérant une armature multipolaire, polyphasée contenant q phases
identiques décalées régulièrement de 2π
q . Les phases sont alimentées par des courants sinus
équilibrés ayant la forme :
2π
ik (t) = I cos ωt ∓ (k )
q
Et au point M le courant génère un champ
2π
2π
B(θ, t) = B cos ωt ∓ (k ) · cos (k ) − pθ
q
q
Le champ résultant a pour expression
q
B(θ, t) = B cos(ωt ∓ pθ)
2
(7)
On doit alors corriger un peu le théorème de Ferraris dans ce cas plus général pour lequel il y
aura dans l’entrefer un champ tournant à la vitesse ± ωp
6
simon sellem – champ tournant, couple électromagnétique
5
Conclusion
Il existe différentes solutions pour créer des champs tournants, si l’on considère des bobinages triphasés idéaux au sens de la création de champs rotoriques à répartition spatiale sinusoïdale :
Solution 1
Création d’un champ statorique tournant à la vitesse ωs

 iastatorique = I cos(ωs t + φ)
ib
= I cos(ωs t + φ −
 statorique
icstatorique = I cos(ωs t + φ +
2π
3 )
2π
3 )
Comme vu précédemment, on a créé en un point M de l’entrefer un champ tournant à la vitesse ωs
Solution 2
Injection de courants constants au rotor mais le rotor tourne à Ω donc on a crée un champ tournant à
la vitesse pΩ (dans le cas général).
Solution 3
On injecte des courants statoriques toujours sur un système triphasé idéal variables en fonction du
temps

 iarotorique = I cos(ωr t + φr )
ib
= I cos(ωr t + φr − 2π
3 )
 rotorique
icrotorique = I cos(ωr t + φr + 2π
3 )
Dans cette troisième solution, on a vu avec le théorème de Ferraris que l’on créait en un point de
l’entrefer un champ tournant à la vitesse ωr , mais comme ces courants sont injectés au rotor, celui-ci
tourne lui même à la vitesse pΩ. On a donc créé un champ dans l’entrefer tournant à pΩ + ωr .
Si l’on combine la solution 1 et la solution 2, pour qu’il y ait couple moyen non nul on doit avoir d’une
part des répartitions spatiales de même période (pr = ps = p) et d’autre part les champs rotoriques et
statoriques tournant à la même vitesse i.e. pΩ = ωs . On appelle ce type de machine machine synchrone
Si l’on combine la solution 1 et la solution 3, pour qu’il y ait couple moyen non nul on doit avoir
d’une part des répartitions spatiales de même période (pr = ps = p) et d’autre part les pΩ + ωr = ωs .
On appelle ce type de machine machine asynchrone
Références
[1] Dominique Bareille, Electrotechnique, transformateurs et machines tournantes. Dunod 2006.
[2] Gilles Feld Champ d’induction dans l’entrefer d’une machine. cours, 2013.
[3] Gilles Feld Conversion électromécanique. cours, 2013.
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