Probablilités et Statistiques pour l`Informatique.

UNIVERSITÉ PARIS DESCARTES
Licence Informatique 2e année
Notes du cours
Probablilités et Statistiques pour
l’Informatique.
Version du 21 novembre 2016.
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Table des matières
1 Probabilités, événements 1
1.1 Introduction................................... 1
1.2 Rappels sur les notations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Ensembles................................ 2
1.2.2 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Sous-ensembles ............................. 3
1.2.4 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5 Couples, triplets, n-uplets et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Combinatoire .................................. 5
1.3.1 Cardinal de l’ensemble des couples ou des n-uplets . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Cardinal de l’ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Ensemble des combinaisons de péléments parmi n.......... 6
1.3.4 Ensemble des permutations d’un ensemble à néléments . . . . . . . 6
1.3.5 Ensemble des arrangements de péléments parmi n.......... 6
1.4 Événements et probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Exempleintroductif........................... 7
1.4.2 Univers, évènements, et réalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Intersections d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Unions d’événements et probabilité d’une union . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Partition de Ω.............................. 11
1.4.6 Événement complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.7 Exclusion d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Probabilités conditionnelles et indépendance d’évènements 15
2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 FormuledeBayes................................ 19
2.4 Indépendance .................................. 20
2.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Indépendance et événements complémentaires . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Indépendance de 3événements..................... 22
2.5 Indépendance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3

3 Variables aléatoires et lois 27
3.1 Définitionsgénérales .............................. 27
3.1.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Support d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 Egalitéenloi .............................. 29
3.1.5 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.6 Quelques lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.7 Les événements élémentaires [X=x]................. 35
3.2 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Définition ................................ 36
3.2.3 Loiexponentielle ............................ 38
3.2.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité . . . . . . 39
3.3 Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Définitions................................ 40
3.4 Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Quelques rappels sur les sommes, séries et intégrales . . . . . . . . . 40
3.4.2 Espérance................................ 42
3.4.3 Variance................................. 44
3.4.4 Exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Exemples de calculs de lois utilisant l’indépendance . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.1 Somme de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.2 Maximum ou minimum de variables indépendantes . . . . . . . . . 53
4 Lois jointes de variables aléatoires 55
4.1 Couples, triplets, vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Loi jointe et lois marginales d’un couple de variables discrètes . . . . . . . 56
4.2.1 Formule de calcul d’une espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Loi d’un vecteur de variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Loi conditionnelle d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Covariance et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Théorèmes limites et estimation 63
5.1 Exemplesintroductifs.............................. 63
5.2 Convergence de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Moyenne empirique et loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Moyenne empirique d’une suite de variables . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Estimation ponctuelle de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Estimation ponctuelle de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5.1 Estimation avec espérance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.2 Estimation avec espérance inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.3 Estimation ponctuelle de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Loi normale et théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6.1 Laloinormale.............................. 68
5.6.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7.1 Approximation par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7.2 Approximation par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.8 Estimation par intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8.1 Intervalle de confiance grÃćce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev 71
5.8.2 Intervalle de confiance grÃćce au théorème central limite . . . . . . 71