Probabilités, L2-424, 2014 Devoir maison 1 - LAMA

Probabilités, L2-424, 2014
Devoir maison 1
A rendre au plus tard le Mardi 1 Avril 2014
Consignes :
• Efforcez vous de rendre une copie propre, sans rature, sans aucune faute d’orthographe. Faîtes un brouillon !
• Efforcez vous de rédiger des raisonnements précis, en écrivant en premier ce que vous voulez démontrer, en introduisant les variables, en utilisant des connecteurs logiques “et”, “ou” , “donc” , “or” , “car” et en faisant à la fin de chaque
raisonnement une conclusion.
1. On a volé la Joconde. Deux ans plus tard en perquisitionant chez un collectioneur, la police retrouve Mona Lisa. Un
doute plane sur l’authenticité de la toile retrouvée. On estime à 80 % la probabilité pour ce que ce soit celle peinte par
Léonard. On consulte alors deux experts en peinture de la Renaissance. Le premier, qui se trompe trois fois sur cinq,
déclare que le tableau est authentique. Le deuxième, qui se trompe deux fois sur onze, annonce que c’est une copie.
Les conclusions des experts sont inépendantes. Calculer la probabilité d’avoir retrouvé la Joconde authentique.
(La fiabilité des expertises ne dépend pas de l’authenticité du tableau.)
2. Dans une réserve on a regroupé dans le même parc 15 dromadaires, 16 chameaux et 5 lamas. Un visiteur prend sur la
même photos 3 de ces animaux. On suppose que chaque animal a la même probabilité d’être photographié. Etablir la
loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de bosses photographiées. Calculer son espérance et son
écart-type.
3. A l’université il y a r étudiants dont r1 aiment se changer les idées en montagne. On effectue un sondage d’opinion.
On interroge n étudiants au hasard et on note X le nombre d’étudiants adeptes de montagne présents parmis eux.
(a) Quelle est la loi de X ?
(b) Quelle est son espérance ?
(c) Comment s’appelle cette loi ?
4. Un étudiant en amorce de boulémie culturelle lit en moyenne un livre et écoute 3 émissions de France Culture par
semaine. Soit X le nombre de livres lus et Y le nombres d’émissions écoutées en une semaine. Ces variables aléatoires
suivent des lois de Poisson.
(a) Etablir les lois de probabilités des variables aléatoires X et Y .
(b) Quelle est la loi de probabilité de X +Y ? Calculer son espérance et sa variance.
(c) Calculer la probabilité où l’étudiant (dont l’esprit est occupé par les mathématiques) ne lit aucun livre et n’écoute
aucune émission pendant une semaine.
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