G2 première

Trigonométrie
I.Définitions
On appelle cercle trigonométrique,le cercle
de centre O et de rayon 1 sur lequel on
définit un sens de parcours appelé sens
trigonométrique ( ou sens direct) , opposé
au sens des aiguilles d'une montre.
Remarque : Si on enroule la droite
tangente au cercle au point I autour du
cercle, à tout point M d'abscisse x de la
droite, on obtient un point N du cercle.
On dit que N est l'image de x .
* Le périmètre
du cercle étant 2Π, le point d'abscisse
Π a pour image le point obtenu en parcourant un
demi-cercle.
*le point d'abscisse Π/2 a pour image le point obtenu
en parcourant un quart-cercle.
Définition : Dans un cercle de centre O et de rayon 1
Le radian est la mesure de l'angle au centre qui
intercepte sur ce cercle un arc de longueur 1
Correspondance degré / radian :
Les mesures d'un angle en degrés et en radians sont
proportionnelles.
Il suffit de retenir que Π radians correspond à 180°
Exercice :
Placer sur le cercle les points d'abscisse :
Π/8
Π/12
9Π/2
-9Π/4
4Π/3
-21Π
15Π
23Π/6
-17Π/3
II.Mesure d'un angle orienté
1) Définition :
Si B est l'image d'un nombre réel x
et A l'image d'un nombre réel y
Les mesures en radians de l'angle orienté
(
;
) sont les nombres x-y +2kΠ
avec k entier relatif
Remarques :
* Soit ( ; ) un angle orienté de mesure x , alors l'ensemble
des mesures de cet angle est égale à l'ensemble des x + 2kΠ avec k entier relatif
*l'angle ( ; ) a une seule mesure comprise entre -Π et Π
on l'appelle la mesure principale.
2) Exercices
Ex1 : Donner les mesures principales des angles dont les mesures sont :
7Π/6
-13Π/6
-85Π/4
17Π/8
23Π
35Π/3
-13Π
Ex2 : Dans le plan rapporté au repère ( O, ⃗i , ⃗j )
Placer les points M,N,P et Q tels que
⃗ ) = Π/4
( ⃗i , OM
et
OM = 2
⃗ ) = - Π/3
( ⃗i , ON
et
ON = 1
⃗ ) = Π/6
( ⃗i , PO
et
OP = 3
⃗ ) = Π/2
( ⃗j , OQ
et
OQ = 1
Ex 3 : Soit un carré ABCD tel que (
⃗ , AD
⃗ ) = Π/2
AB
Déterminer en radian, la mesure des angles suivants :
(
⃗ , AD
⃗ )
AC
(
(
⃗ , CB
⃗ )
AO
⃗ , DA
⃗ )
DC
(
(
⃗ , BC
⃗ )
OC
⃗ , DA
⃗ )
CO
III Propriétés des angles orientés :
u , ⃗v et w
Pour tout vecteurs ⃗
⃗ on a :
u , ⃗
u )= 0 [2Π]
• ( ⃗
u ,- ⃗
u ) = Π [2Π]
• ( ⃗
v , ⃗
u )= -( ⃗
u , ⃗v )
• ( ⃗
u ,- ⃗v )= ( ⃗
u , ⃗v )
• (- ⃗
• ( u
⃗ ,- ⃗v )=Π +( u⃗ , ⃗v ) [2Π]
• si k >0 (k u
⃗ ,k ⃗v )= ( u⃗ , ⃗v )
• ( u
⃗ )= ( u⃗ , w
⃗ ) relation de Chasles
⃗ , ⃗v ) + ( ⃗v , w
Remarque : Complèter
u et ⃗v sont colinéaires alors( ⃗
u , ⃗v )= 0 ou Π si ….....
• Si ⃗
Exercices :
u , ⃗v )= Π/6 En déduire les angles suivants
Ex1 : Soit ( ⃗
(- u
( u
⃗ , ⃗v )
⃗ , - ⃗v )
v , u
(- ⃗
⃗ )
⃗v ,- u⃗ )
(-2 u
⃗ , 3 ⃗v )
(
⃗ , AC
⃗ )= -Π/3
Ex 2 : Soit ABC un triangle rectangle tel que ( AB
et A', B' et C' milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]
Trouver les mesures des angles suivants :
⃗ , BA
⃗ )
⃗ , CB
⃗ )
⃗ , BA
⃗ ' )
( BC
( CA
( BA
⃗ ' , CB
⃗ ' )
⃗'A )
( CA
( ⃗
A' C , C
IV Trigonométrie :
Définition : Dans un repère direct
( O, ⃗i , ⃗j ), soit un point M du cercle
trigonométrique d'image x , alors il a pour
coordonnées (cos x ; sin x)
Propriétés :
• cos x est compris entre -1 et 1
• sin x est compris entre -1 et 1
• cos²x + sin²x = 1
Définitions: On appelle la fonction cosinus définie sur R
cos : x →cos x
On appelle la fonction sinus définie sur R
sin : x →sin x
Remarques: A justifier avec les élèves
• La fonction cosinus est paire et a pour période 2Π
• La fonction sinus est impaire et a pour période 2Π
Formules à retrouver à l'aide du cercle :
cos -x = cos x
sin -x = - sin x
cos (Π -x) = - cos x
sin (Π -x) = sin x
cos (Π + x) = -cos x
sin(Π +x) = - sin x
cos (Π/2-x) = sin x
sin(Π/2 -x) = - cos x
cos(Π/2 +x) = -sin x
sin(Π/2 +x) = cos x
Travail avec élèves sur ses différents points ci dessus :
• Tableau de valeurs
• Etude et tracé des 2 fonctions sinus et cosinus , parité, périodicité, ….
• Formules à retrouver avec cercle.....
• Trouver les valeurs suivantes
cos (-Π/2)
sin (2 Π/3)
cos(5 Π/6)
sin( 9 Π/4)
cos( 5 Π/3)
V) Résolution d'équations :
Recherche avec les élèves :
Cos x =
−1
2
sin x =
√3
cos x = 0,2
2
Que peut on conjecturer ?
Propriétés :
les solutions de l'équation cos x = cos α sont x = α + 2kΠ
ou x = - α +2kΠ
les solutions de l'équation sin x = sin α sont x = α + 2kΠ
ou x =Π - α +2kΠ
Exercices : résoudre les équations suivantes :
√2
cos x = -1
sin x =
cos 5x = 1
2cos x + 1 = 0
cos 2x + cos x = 0
Hyperboles 1er S
19 , 20 p 194
22, 23, 25 31, 32, 35 p 195
44, 49 p 198
63, 64 p 202
2
cos x = cos( Π/7)
cos 2x = sin 3x