G2 première

Trigonométrie
I.Définitions
On appelle cercle trigonométrique,le cercle
de centre O et de rayon 1 sur lequel on
définit un sens de parcours appelé sens
trigonométrique ( ou sens direct) , opposé
au sens des aiguilles d'une montre.
Remarque : Si on enroule la droite
tangente au cercle au point I autour du
cercle, à tout point M d'abscisse x de la
droite, on obtient un point N du cercle.
On dit que N est l'image de x .
* Le périmètre du cercle étant 2Π, le point d'abscisse
Π a pour image le point obtenu en parcourant un
demi-cercle.
*le point d'abscisse Π/2 a pour image le point obtenu
en parcourant un quart-cercle.
Définition : Dans un cercle de centre O et de rayon 1
Le radian est la mesure de l'angle au centre qui
intercepte sur ce cercle un arc de longueur 1
Correspondance degré / radian :
Les mesures d'un angle en degrés et en radians sont
proportionnelles.
Il suffit de retenir que Π radians correspond à 180°
Exercice :
Placer sur le cercle les points d'abscisse :
Π/8 Π/12
9Π/2 -9Π/4
4Π/3 -21Π
15Π 23Π/6 -17Π/3

II.Mesure d'un angle orienté
1) Définition :
Si B est l'image d'un nombre réel x
et A l'image d'un nombre réel y
Les mesures en radians de l'angle orienté
( ; ) sont les nombres x-y +2kΠ
avec k entier relatif
Remarques :
* Soit ( ; ) un angle orienté de mesure x , alors l'ensemble
des mesures de cet angle est égale à l'ensemble des x + 2kΠ avec k entier relatif
*l'angle ( ; ) a une seule mesure comprise entre -Π et Π
on l'appelle la mesure principale.
2) Exercices
E x1 : Donner les mesures principales des angles dont les mesures sont :
7Π/6 -13Π/6 17Π/8 35Π/3
-85Π/4 23Π -13Π
Ex2 : Dans le plan rapporté au repère ( O,
⃗
i
,
⃗
j
)
Placer les points M,N,P et Q tels que
(
⃗
i
,
⃗
OM
) = Π/4 et OM = 2
(
⃗
i
,
⃗
ON
) = - Π/3 et ON = 1
(
⃗
i
,
⃗
PO
) = Π/6 et OP = 3
(
⃗
j
,
⃗
OQ
) = Π/2 et OQ = 1
Ex 3 : Soit un carré ABCD tel que (
⃗
AB
,
⃗
AD
) = Π/2
Déterminer en radian, la mesure des angles suivants :
(
⃗
AC
,
⃗
AD
) (
⃗
AO
,
⃗
CB
) (
⃗
OC
,
⃗
BC
)
(
⃗
DC
,
⃗
DA
) (
⃗
CO
,
⃗
DA
)

III Propriétés des angles orientés :
Pour tout vecteurs
⃗
u
,
⃗
v
et
⃗
w
on a :
•(
⃗
u
,
⃗
u
)= 0 [2Π]
•(
⃗
u
,-
⃗
u
) = Π [2Π]
•(
⃗
v
,
⃗
u
)= -(
⃗
u
,
⃗
v
)
•(-
⃗
u
,-
⃗
v
)= (
⃗
u
,
⃗
v
)
•(
⃗
u
,-
⃗
v
)=Π +(
⃗
u
,
⃗
v
) [2Π]
•si k >0 (k
⃗
u
,k
⃗
v
)= (
⃗
u
,
⃗
v
)
•(
⃗
u
,
⃗
v
) + (
⃗
v
,
⃗
w
)= (
⃗
u
,
⃗
w
) relation de Chasles
Remarque : Complèter
•Si
⃗
u
et
⃗
v
sont colinéaires alors(
⃗
u
,
⃗
v
)= 0 ou Π si ….....
Exercices :
Ex1 : Soit (
⃗
u
,
⃗
v
)= Π/6 En déduire les angles suivants
(-
⃗
u
,
⃗
v
) (
⃗
u
, -
⃗
v
) (
⃗
v
,-
⃗
u
)
(-
⃗
v
,
⃗
u
) (-2
⃗
u
, 3
⃗
v
)
Ex 2 : Soit ABC un triangle rectangle tel que (
⃗
AB
,
⃗
AC
)= -Π/3
et A', B' et C' milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]
Trouver les mesures des angles suivants :
(
⃗
BC
,
⃗
BA
) (
⃗
CA
,
⃗
CB
) (
⃗
BA
,
⃗
BA '
)
(
⃗
CA'
,
⃗
CB '
) (
⃗
A' C
,
⃗
C ' A
)

IV Trigonométrie :
Définition : Dans un repère direct
( O,
⃗
i
,
⃗
j
), soit un point M du cercle
trigonométrique d'image x , alors il a pour
coordonnées (cos x ; sin x)
Propriétés :
•cos x est compris entre -1 et 1
•sin x est compris entre -1 et 1
•cos²x + sin²x = 1
Définitions: On appelle la fonction cosinus définie sur R
cos : x →cos x
On appelle la fonction sinus définie sur R
sin : x →sin x
Remarques: A justifier avec les élèves
•La fonction cosinus est paire et a pour période 2Π
•La fonction sinus est impaire et a pour période 2Π
Formules à retrouver à l'aide du cercle :
cos -x = cos xsin -x = - sin x
cos (Π -x) = - cos xsin (Π -x) = sin x
cos (Π + x) = -cos xsin(Π +x) = - sin x
cos (Π/2-x) = sin xsin(Π/2 -x) = - cos x
cos(Π/2 +x) = -sin xsin(Π/2 +x) = cos x

Travail avec élèves sur ses différents points ci dessus :
•Tableau de valeurs
•Etude et tracé des 2 fonctions sinus et cosinus , parité, périodicité, ….
•Formules à retrouver avec cercle.....
•Trouver les valeurs suivantes
cos (-Π/2) sin (2 Π/3) cos(5 Π/6)
sin( 9 Π/4) cos( 5 Π/3)
V) Résolution d'équations :
Recherche avec les élèves :
Cos x =
−1
2
sin x =
√
3
2
cos x = 0,2
Que peut on conjecturer ?
Propriétés :
les solutions de l'équation cos x = cos α sont x = α + 2kΠ
ou x = - α +2kΠ
les solutions de l'équation sin x = sin α sont x = α + 2kΠ
ou x =Π - α +2kΠ
Exercices : résoudre les équations suivantes :
cos x = -1 sin x =
√
2
2
cos x = cos( Π/7)
cos 5x = 1 2cos x + 1 = 0 cos 2x = sin 3x
cos 2x + cos x = 0
Hyperboles 1er S
19 , 20 p 194
22, 23, 25 31, 32, 35 p 195
44, 49 p 198
63, 64 p 202