Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Exercice 1
1. On considère la suite de nombres 1,2,4,8,16.
a) Quel est le prochain terme de cette suite ?
b) Un petit malin vous suggère 31. Que pensez-vous de cette réponse ?
c) L’effronté insiste et vous dit un= 1 + n(n+ 1)(n2−3n+ 14)
24 . Que répondez-vous ?
2. L’air grognon, vous lui demandez : « Quel est le prochain terme de la suite 1,2,4,8,16,32 ? »
a) À quel terme pensez-vous ?
b) Le petit futé répond 63. Que pensez-vous de cette réponse ?
c) L’animal enfonce le clou et vous dit un=(n+ 1)(n4−6n3+ 31n2−26n+ 120)
120 . Que répondez-vous ?
3. ndésignant un entier naturel supérieur ou égal à 2, on considère un cercle sur lequel on place npoints.
On dessine alors toutes les cordes ayant pour extrémités deux de ces points et on suppose que trois quelconques de ces
cordes ne sont pas concourantes.
On note Rnle nombre de régions intérieures au disque ainsi délimitées.
a) Déterminer R2,R3,R4et R5.
b) Peut-on conjecturer une formule donnant Rnpour nentier supérieur ou égal à 2quelconque ?
c) Donner la valeur de R6puis conclure.
Exercice 2
On appelle suite de Fibonacci (mathématicien italien, 1175 −1240), la suite définie par ses deux premiers termes F0=F1= 1
et par la relation de récurrence suivante : ∀n∈NFn=Fn−1+Fn−2
1. Calculer les onze premiers termes de cette suite.
2. a) Quel est le prochain terme de la suite 1,2,5,13 ?
b) Un jeune inconscient vous répond 33. Que pensez-vous de lui ?
c) Le malotru persiste et vous rétorque : « ∀n∈N∗fn= (n−1) ×2n−2+ 1 »
Que répondez-vous ?
d) Un ostrogoth de son espèce répond 38. Que pensez-vous de lui ?
e) L’imprudent persévère et vous dit : « g0=g1=1
2et ∀n>2gn=gn−1+ (n−1)gn−2»
Que répondez-vous ?
3. Un rigolo parie 100eque vous ne trouverez pas le nombre qui vient logiquement après la séquence suivante : 1,1,2,3,
5,8,13,21,34,55
a) Quelle est votre réaction ?
b) Le plaisantin vous tend une calculatrice et vous dit : « Vois-tu la touche ex? »
Et il ajoute, perfide : « Pour nentier naturel, enest le plus petit entier naturel supérieur ou égal à e
n−1
2. »
Vous essayez . . .
Exercice 3
On considère la suite (Cn)n>0définie par C0= 1 et Cn+1 =4n+ 2
n+ 2 Cn.
Le mathématicien Eugène Charles Catalan (1814 −1894) a étudié cette suite de nombres que l’on appelle depuis « suite des
nombres de Catalan ».
Elle répond au problème suivant : étant données ncouples de parenthèses (n« ouvrantes » et n« fermantes »), de combien de
façons peut-on les écrire de telle sorte qu’à tout moment, en les lisant de gauche à droite, le nombre de parenthèses ouvrantes
soit supérieur ou égal au nombre de parenthèses fermantes.
1. Calculer C1,C2et C3.
2. Donner les cinq façons d’ordonner trois couples de parenthèses.
3. a) Écrire un algorithme permettant de calculer la valeur de Cnpour un entier naturel nchoisi.
b) De combien de façons peut-on écrire dix couples de parenthèses ?
4. a) Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel ntel que Cnatteigne ou dépasse un seuil
schoisi.
b) Combien faut-il, au minimum, de couples de parenthèses pour qu’il y ait plus de 1010 façons de les écrire ?

Exercice 4
On donne ci-dessous les premiers termes de six suites.
Suite (un)Suite (vn)Suite (wn)
u0= 0 w0= 1
u1= 1 v1=−1w1=3 /2
u2= 4 v2=1 /2w2=7 /4
u3= 9 v3=−1 /3w3=15 /8
u4= 16 v4=1 /4w4=31 /16
Suite (xn)Suite (yn)Suite (tn)
y0= 100 t0= 0
x1= 1 y1= 20 t1= 1
x2= 3 y2= 4 t2= 2
x3= 5 y3= 0,8t3= 5
x4= 7 y4= 0,16 t4= 26
1. Pour chacune des cinq premières suites, conjecturer la
valeur du terme suivant puis, si possible, une formule
explicite.
Dans la suite de l’exercice, on admettra que les formules
conjecturées sont vraies pour tout entier naturel non nul n.
2. On considère les définitions suivantes :
Définitions
Soient pet qdeux entiers naturels tels que p6q.
Une suite numérique (un)n>pest dite :
•croissante à partir du rang qlorsque, pour tout en-
tier nsupérieur ou égal à q,un+1 >un;
•décroissante à partir du rang qlorsque, pour tout
entier nsupérieur ou égal à q,un+1 6un;
•strictement croissante à partir du rang qlorsque,
pour tout entier nsupérieur ou égal à q,un+1 > un;
•strictement décroissante à partir du rang q
lorsque, pour tout entier nsupérieur ou égal à q,
un+1 < un.
a) Établir que : ∀n∈Nun+1 −un= 2n+ 1
En déduire que (un)est strictement croissante.
b) Étudier les variations de chacune des suites (wn),
(xn)et (yn).
c) Que peut-on dire concernant les variations de (vn)?
3. a) Quelle relation liant tn+1 et tnsemble être vérifiée
sur les premiers termes ?
On admettra que cette relation reste vraie pour tout en-
tier naturel n.
b) Calculer t6. Quel inconvénient majeur cette défini-
tion implicite de (tn)présente-t-elle ?
c) Démontrer que (tn)est strictement croissante.
4. On considère les définitions suivantes :
Définitions
Soit pun entier naturel.
Une suite numérique (un)n>pest :
•majorée s’il existe un réel Mtel que pour tout en-
tier nsupérieur ou égal à p,un6M.
•minorée s’il existe un réel mtel que pour tout entier
nsupérieur ou égal à p,un>m.
•bornée si elle est minorée et majorée.
•périodique s’il existe un entier naturel non nul q
tel que, pour tout entier nsupérieur ou égal à p,
un+q=un.
•constante si, pour tout entier nsupérieur ou égal à
p,un+1 =un.
•stationnaire à partir du rang qs’il existe un entier
qtel que (un)n>qsoit constante.
a) Montrer que la suite (un)est minorée.
En donner un minorant.
b) Vérifier que la suite (wn)est minorée par 1.
Est-elle bornée ?
c) Prouver que la suite (vn)est bornée et donner un
majorant et un minorant de celle-ci.
5. Dans cette question, on considère la suite (sn)définie
sur N∗=N− {0}par sn=
n
X
i=1
xi.
a) Calculer s1,s2,s3,s4. Que peut-on conjecturer ?
b) Prouver la conjecture établie à la question précé-
dente.
6. Les données a0= 5 et an+1 =√an−1permettent-elles
de définir une suite (an)?
7. Soit (bn)la suite définie par : 
b0= 9
bn+1 =bn+ 8
2bn−1
a) Établir qu’aucun terme de (bn)n’est égal à 1 /2.
b) Calculer b1et b2. Que peut-on conjecturer ?
c) Prouver que la conjecture émise à la question précé-
dente est vraie.
Exercice 5
1. Prouver que la suite (un)n>0de terme général
un= 3n2−6n+ 2
est strictement croissante à partir du rang 1.
2. On considère la suite (wn)n>0définie par :
®w0=α
wn+1 =−w2
n+ 5wn−4 (∀n∈N∗)
a) Que peut-on dire de (wn)si α= 2 ?
b) Montrer que si α= 1 alors (wn)est strictement dé-
croissante.
3. Étudier les variations des suites :
a) (tn)n>1de terme général tn= 3n7−7n3+ 1 ;
b) (vn)n>0de terme général vn=2n
3n(n+ 1).
Exercice 6
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction
fdéfinie sur I= [4; 5] par f(x) = √x+ 12.
2. En déduire que ®z0= 5
zn+1 =√zn+ 12 ∀n∈Npermet
de définir une suite (zn).
3. Justifier que (zn)est bornée et en donner un majorant
et un minorant.
4. Étudier les variations de (zn).