Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Exercice 1
1. On considère la suite de nombres 1, 2, 4, 8, 16.
a) Quel est le prochain terme de cette suite ?
b) Un petit malin vous suggère 31. Que pensez-vous de cette réponse ?
n(n + 1)(n2 − 3n + 14)
. Que répondez-vous ?
24
2. L’air grognon, vous lui demandez : « Quel est le prochain terme de la suite 1, 2, 4, 8, 16, 32 ? »
c) L’effronté insiste et vous dit un = 1 +
a) À quel terme pensez-vous ?
b) Le petit futé répond 63. Que pensez-vous de cette réponse ?
(n + 1)(n4 − 6n3 + 31n2 − 26n + 120)
. Que répondez-vous ?
120
3. n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 2, on considère un cercle sur lequel on place n points.
On dessine alors toutes les cordes ayant pour extrémités deux de ces points et on suppose que trois quelconques de ces
cordes ne sont pas concourantes.
On note Rn le nombre de régions intérieures au disque ainsi délimitées.
c) L’animal enfonce le clou et vous dit un =
a) Déterminer R2 , R3 , R4 et R5 .
b) Peut-on conjecturer une formule donnant Rn pour n entier supérieur ou égal à 2 quelconque ?
c) Donner la valeur de R6 puis conclure.
Exercice 2
On appelle suite de Fibonacci (mathématicien italien, 1175 − 1240), la suite définie par ses deux premiers termes F0 = F1 = 1
et par la relation de récurrence suivante : ∀n ∈ N Fn = Fn−1 + Fn−2
1. Calculer les onze premiers termes de cette suite.
2. a) Quel est le prochain terme de la suite 1, 2, 5, 13 ?
b) Un jeune inconscient vous répond 33. Que pensez-vous de lui ?
c) Le malotru persiste et vous rétorque : « ∀n ∈ N∗
Que répondez-vous ?
fn = (n − 1) × 2n−2 + 1 »
d) Un ostrogoth de son espèce répond 38. Que pensez-vous de lui ?
1
e) L’imprudent persévère et vous dit : « g0 = g1 = et ∀n > 2 gn = gn−1 + (n − 1)gn−2 »
2
Que répondez-vous ?
3. Un rigolo parie 100e que vous ne trouverez pas le nombre qui vient logiquement après la séquence suivante : 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55
a) Quelle est votre réaction ?
b) Le plaisantin vous tend une calculatrice et vous dit : « Vois-tu la touche ex ? »
n−1
Et il ajoute, perfide : « Pour n entier naturel, en est le plus petit entier naturel supérieur ou égal à e 2 . »
Vous essayez . . .
Exercice 3
4n + 2
On considère la suite (Cn )n>0 définie par C0 = 1 et Cn+1 =
Cn .
n+2
Le mathématicien Eugène Charles Catalan (1814 − 1894) a étudié cette suite de nombres que l’on appelle depuis « suite des
nombres de Catalan ».
Elle répond au problème suivant : étant données n couples de parenthèses (n « ouvrantes » et n « fermantes »), de combien de
façons peut-on les écrire de telle sorte qu’à tout moment, en les lisant de gauche à droite, le nombre de parenthèses ouvrantes
soit supérieur ou égal au nombre de parenthèses fermantes.
1. Calculer C1 , C2 et C3 .
2. Donner les cinq façons d’ordonner trois couples de parenthèses.
3. a) Écrire un algorithme permettant de calculer la valeur de Cn pour un entier naturel n choisi.
b) De combien de façons peut-on écrire dix couples de parenthèses ?
4. a) Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel n tel que Cn atteigne ou dépasse un seuil
s choisi.
b) Combien faut-il, au minimum, de couples de parenthèses pour qu’il y ait plus de 1010 façons de les écrire ?
Exercice 4
On donne ci-dessous les premiers termes de six suites.
Suite (un )
u0 = 0
u1 = 1
u2 = 4
u3 = 9
u4 = 16
Suite (xn )
x1
x2
x3
x4
=1
=3
=5
=7
Suite (vn )
v1 = −1
v2 = 1/2
v3 = −1/3
v4 = 1/4
Suite (yn )
y0 = 100
y1 = 20
y2 = 4
y3 = 0,8
y4 = 0,16
Suite (wn )
w0 = 1
w1 = 3/2
w2 = 7/4
w3 = 15/8
w4 = 31/16
Suite (tn )
t0 = 0
t1 = 1
t2 = 2
t3 = 5
t4 = 26
1. Pour chacune des cinq premières suites, conjecturer la
valeur du terme suivant puis, si possible, une formule
explicite.
Dans la suite de l’exercice, on admettra que les formules
conjecturées sont vraies pour tout entier naturel non nul n.
2. On considère les définitions suivantes :
Définitions
Soient p et q deux entiers naturels tels que p 6 q.
Une suite numérique (un )n>p est dite :
• croissante à partir du rang q lorsque, pour tout entier n supérieur ou égal à q, un+1 > un ;
• décroissante à partir du rang q lorsque, pour tout
entier n supérieur ou égal à q, un+1 6 un ;
• strictement croissante à partir du rang q lorsque,
pour tout entier n supérieur ou égal à q, un+1 > un ;
• strictement décroissante à partir du rang q
lorsque, pour tout entier n supérieur ou égal à q,
un+1 < un .
a) Établir que : ∀n ∈ N un+1 − un = 2n + 1
En déduire que (un ) est strictement croissante.
b) Étudier les variations de chacune des suites (wn ),
(xn ) et (yn ).
c) Que peut-on dire concernant les variations de (vn ) ?
3. a) Quelle relation liant tn+1 et tn semble être vérifiée
sur les premiers termes ?
On admettra que cette relation reste vraie pour tout entier naturel n.
b) Calculer t6 . Quel inconvénient majeur cette définition implicite de (tn ) présente-t-elle ?
c) Démontrer que (tn ) est strictement croissante.
4. On considère les définitions suivantes :
Définitions
Soit p un entier naturel.
Une suite numérique (un )n>p est :
• majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier n supérieur ou égal à p, un 6 M .
• minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier
n supérieur ou égal à p, un > m.
• bornée si elle est minorée et majorée.
• périodique s’il existe un entier naturel non nul q
tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à p,
un+q = un .
• constante si, pour tout entier n supérieur ou égal à
p, un+1 = un .
• stationnaire à partir du rang q s’il existe un entier
q tel que (un )n>q soit constante.
a) Montrer que la suite (un ) est minorée.
En donner un minorant.
b) Vérifier que la suite (wn ) est minorée par 1.
Est-elle bornée ?
c) Prouver que la suite (vn ) est bornée et donner un
majorant et un minorant de celle-ci.
5. Dans cette question, on considère la suite (sn ) définie
n
X
∗
sur N = N − {0} par sn =
xi .
i=1
a) Calculer s1 , s2 , s3 , s4 . Que peut-on conjecturer ?
b) Prouver la conjecture établie à la question précédente.
6. Les données a0 = 5 et an+1 =
de définir une suite (an ) ?
7. Soit (bn ) la suite définie par :
√
an − 1 permettent-elles

b0 = 9
bn+1 =
bn + 8
2bn − 1
a) Établir qu’aucun terme de (bn ) n’est égal à 1/2.
b) Calculer b1 et b2 . Que peut-on conjecturer ?
c) Prouver que la conjecture émise à la question précédente est vraie.
Exercice 5
1. Prouver que la suite (un )n>0 de terme général
un = 3n2 − 6n + 2
est strictement croissante à partir du rang 1.
2. On considère la suite (wn )n>0 définie par :
®
w0 = α
wn+1 = −wn2 + 5wn − 4 (∀n ∈ N∗ )
a) Que peut-on dire de (wn ) si α = 2 ?
b) Montrer que si α = 1 alors (wn ) est strictement décroissante.
3. Étudier les variations des suites :
a) (tn )n>1 de terme général tn = 3n7 − 7n3 + 1 ;
b) (vn )n>0 de terme général vn =
2n
.
3n (n + 1)
Exercice 6
1. Dresser le tableau de variations complet
de la fonction
√
f définie sur I = [4; 5] par f (x) = x + 12.
®
z0 = 5
2. En déduire que
√
permet
zn+1 = zn + 12 ∀n ∈ N
de définir une suite (zn ).
3. Justifier que (zn ) est bornée et en donner un majorant
et un minorant.
4. Étudier les variations de (zn ).