Partie A 1. L`algorithme n° 1 calcule tous les termes de v0 à vn mais

Terminale S Correction de l’exercice type bac (liban 2013)
Partie A
1. L’algorithme no1 calcule tous les termes de v0àvnmais n’affiche que le dernier vn.
L’algorithme no2 calcule nfois de suite v1à partir de v0: il ne calcule pas les termes de v0àvn.
L’algorithme no3 calcule tous les termes de v0àvnet les affiche tous.
C’est donc l’algorithme no3 qui convient.
2. Il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3.
3. (a) Initialisation :v0= 1 donc 0 < v0<3.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel ktel que 0 < vk<3.
Alors : 0 >−vk>−3
6>6−vk>3
1
6<1 6−vk
<1
3car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
3
2<9 6−vk
<3
1<3
2< vk+1 <3
Si la propriété est vraie au rang k, alors elle est vraie au rang k+ 1.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, 0 < vn<3.
(b) Pour tout entier naturel n:
vn+1 −vn=9
6−vn
−vn=9−vn(6 −vn)
6−vn
=(vn−3)2
6−vn
.
Or, d’après la question précédente, 0 < vn<3 pour tout nentier naturel, donc 6 −vn>0 et
(3 −vn)2>0, et donc vn+1 −vn=(vn−3)2
6−vn
>0.
Ainsi la suite (vn) est strictement croissante.
(c) Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle converge.
Partie B
1. Pour tout entier naturel n:
wn+1 −wn=1
vn+1 −3−1 vn−3=1
9
6−vn
−3
−1
vn−3=6−vn 3vn−9−1 vn−3=6−vn−3 3vn−9
=−vn+ 3
3vn−9=−
vn−3
3 (vn−3) =−1 3.
La suite (wn) est donc arithmétique de raison r=−1
3.
2. wn=w0+nr =1
1−3−1 3n=−1 2−1 3n.
vn=1
wn
+ 3 = 1
−1
2−1 3n
+ 3 = 6
−3−2n+ 3.
3. lim
n→+∞
6
−3−2n= 0, donc lim
n→+∞
vn= 3.
Page 1/1