Terminale S Correction de l’exercice type bac (liban 2013) Partie A 1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v0 à vn mais n’affiche que le dernier vn . L’algorithme no 2 calcule n fois de suite v1 à partir de v0 : il ne calcule pas les termes de v0 à vn . L’algorithme no 3 calcule tous les termes de v0 à vn et les affiche tous. C’est donc l’algorithme no 3 qui convient. 2. Il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3. 3. (a) Initialisation : v0 = 1 donc 0 < v0 < 3. La propriété est vraie au rang 0. Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel k tel que 0 < vk < 3. Alors : 0 > −vk > −3 6 > 6 − vk > 3 1 1 1 < < car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ 6 6 − vk 3 9 3 < <3 2 6 − vk 3 1 < < vk+1 < 3 2 Si la propriété est vraie au rang k, alors elle est vraie au rang k + 1. Conclusion : Pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3. (b) Pour tout entier naturel n : 9 9 − vn (6 − vn ) (vn − 3)2 vn+1 − vn = − vn = = . 6 − vn 6 − vn 6 − vn Or, d’après la question précédente, 0 < vn < 3 pour tout n entier naturel, donc 6 − vn > 0 et (vn − 3)2 > 0. (3 − vn )2 > 0, et donc vn+1 − vn = 6 − vn Ainsi la suite (vn ) est strictement croissante. (c) Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle converge. Partie B 1. Pour tout entier naturel n : 1 1 wn+1 − wn = − = vn+1 − 3 vn − 3 1 1 6 − vn 1 6 − vn − 3 − = − = 9 3vn − 9 vn − 3 3vn − 9 − 3 vn − 3 6 − vn −vn + 3 vn − 3 1 = =− =− . 3vn − 9 3 (vn − 3) 3 1 La suite (wn ) est donc arithmétique de raison r = − . 3 1 1 1 1 2. wn = w0 + nr = − n = − − n. 1−3 3 2 3 1 6 1 + 3. +3= +3= vn = 1 1 wn −3 − 2n − − n 2 3 3. lim n→+∞ 6 = 0, donc lim vn = 3. n→+∞ −3 − 2n Page 1/1